$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
Les vecteurs peuvent être multipliés par des scalaires, ajoutés à d'autres vecteurs ou soustraits à d'autres vecteurs. La somme vectorielle de deux (ou plus) vecteurs est appelée le vecteur résultant ou, simplement, la résultante.
Nous utilisons les lois de la géométrie pour construire les vecteurs résultants, suivies de la trigonométrie pour trouver les magnitudes et les directions des vecteurs. Pour une construction géométrique de la somme de deux vecteurs dans un plan, nous suivons la règle du parallélogramme. Supposons que deux vecteurs soient à des positions arbitraires. Traduisez l'un d'eux parallèlement au début de l'autre vecteur, de sorte qu'après la translation, les deux vecteurs aient leur origine au même point. Maintenant, à l'extrémité du premier vecteur, nous traçons une droite parallèle au deuxième vecteur. À l'extrémité du deuxième vecteur, nous traçons une droite parallèle au premier vecteur. De cette manière, nous obtenons un parallélogramme. À partir de l'origine des deux vecteurs, nous traçons une diagonale qui est la résultante des deux vecteurs.
L'autre diagonale de ce parallélogramme est la différence vectorielle des deux vecteurs. Il découle de la règle du parallélogramme que ni la magnitude du vecteur résultant, ni la magnitude du vecteur différence, ne peuvent être exprimées comme une simple somme ou différence des magnitudes des vecteurs. Cela est dû au fait que la longueur d'une diagonale ne peut pas être exprimée comme une simple somme des longueurs des côtés. Si nous devons ajouter trois vecteurs ou plus, nous répétons la règle du parallélogramme pour les paires de vecteurs jusqu'à ce que nous trouvions la résultante de tous les vecteurs résultants.
Le dessin du vecteur résultant de nombreux vecteurs peut être généralisé en utilisant la construction géométrique "queue-tête" suivante. Nous sélectionnons l'un des vecteurs comme premier vecteur et effectuons une translation parallèle d'un deuxième vecteur à une position où l'origine ("queue") du deuxième vecteur coïncide avec l'extrémité ("tête") du premier vecteur. Ensuite, nous sélectionnons un troisième vecteur et effectuons une translation parallèle du troisième vecteur à une position où l'origine du troisième vecteur coïncide avec l'extrémité du deuxième vecteur. Nous répétons cette procédure jusqu'à ce que tous les vecteurs soient disposés en arrangement "tête-queue". Nous traçons le vecteur résultant en reliant l'origine ("queue") du premier vecteur à l'extrémité ("tête") du dernier vecteur. L'extrémité du vecteur résultant se trouve à l'extrémité du dernier vecteur. Étant donné que l'addition des vecteurs est associative et commutative, nous obtenons le même vecteur résultant quel que soit le choix du premier, du deuxième, du troisième ou du quatrième vecteur dans cette construction.
La multiplication scalaire d'un vecteur donne une quantité vectorielle. Selon le signe associé à la quantité scalaire, la direction du vecteur est déterminée. Par exemple, si nous multiplions la quantité vectorielle par un scalaire positif, le nouveau vecteur sera parallèle au vecteur donné et vice versa.
Ce texte est adapté de Openstax, University Physics Volume 1, Section 2.3: Algebra of Vectors.
