אלגברה וקטורית: שיטה גרפית

ניתן להכפיל וקטורים בסקלרים, להוסיף לוקטורים אחרים או להחסיר בוקטורים אחרים. סכום הווקטור של שני וקטורים (או יותר) נקרא הווקטור המתקבל או בקיצור התוצאה.

אנו משתמשים בחוקי הגיאומטריה כדי לבנות וקטורים מתקבלים, ואחריהם בטריגונומטריה כדי למצוא גדלים וכיוונים וקטוריים. לבנייה גיאומטרית של סכום שני וקטורים במישור, אנו פועלים לפי הכלל המקבילית. נניח ששני וקטורים נמצאים במיקומים שרירותיים. תרגם כל אחד מהם במקביל לתחילת הווקטור השני, כך שלאחר התרגום, מקורם של שני הוקטורים באותה נקודה. כעת, בסוף הווקטור הראשון, נשרטט קו מקביל לווקטור השני. בסוף הווקטור השני, נשרטט קו מקביל לווקטור הראשון. בדרך זו, אנו מקבלים מקבילית. מהמקור של שני הוקטורים, אנו מציירים אלכסון שהוא התוצאה של שני וקטורים.

האלכסון השני של מקבילית זו הוא ההפרש הווקטורי של שני הוקטורים. מכלל המקביליות נובע שלא ניתן לבטא לא את גודל הווקטור המתקבל, ולא את גודל וקטור ההפרש, כסכום פשוט או הפרש גדלים של וקטורים. הסיבה לכך היא שלא ניתן לבטא את אורך האלכסון כסכום פשוט של אורכי צלעות. אם עלינו להוסיף שלושה וקטורים או יותר, נחזור על כלל המקביליות עבור זוגות וקטורים עד שנמצא את התוצאה של כל וקטורים המתקבלים.

אפשר להכליל את הווקטור שנוצר של וקטורים רבים באמצעות הבנייה הגיאומטרית זנב לראש הבאה. אנו בוחרים כל אחד מהווקטורים כווקטור הראשון, ונבצע תרגום מקביל של וקטור שני למיקום שבו המקור ("זנב") של הווקטור השני עולה בקנה אחד עם הסוף (" ראש") של הווקטור הראשון. לאחר מכן, אנו בוחרים וקטור שלישי ונבצע תרגום מקביל של הווקטור השלישי למיקום שבו מקור הווקטור השלישי עולה בקנה אחד עם סוף הווקטור השני. אנו חוזרים על הליך זה עד שכל הוקטורים נמצאים בסידור ראש אל זנב. אנו מציירים את הווקטור שנוצר על ידי חיבור המקור ("זנב") של הווקטור הראשון עם הקצה ("הראש") של הווקטור האחרון. הסוף של הווקטור המתקבל נמצא בסוף הווקטור האחרון. מכיוון שהוספת וקטורים היא אסוציאטיבית וקומוטטיבית, אנו מקבלים את אותו וקטור תוצאה ללא קשר לאיזה וקטור אנו בוחרים להיות ראשון, שני, שלישי או רביעי בבנייה זו.

כפל סקלר של וקטור נותן כמות וקטורית. בהתאם לסימן הקשור לכמות הסקלרית, כיוון הווקטור נקבע. לדוגמה, אם נכפיל את כמות הווקטור עם סקלאר חיובי, הווקטור החדש יהיה מקביל לווקטור הנתון ולהיפך.

טקסט זה מותאם מ Openstax, University Physics Volume 1, Section 2.3: Algebra of Vectors.