問題解決：体積

ジェット機の翼に搭載された燃料タンクの体積は、回転体を用いてモデル化できます。この場合、タンクは、数学関数で定義された2次元領域をx軸のまわりに回転させることによって形成されます。この領域は軸に沿って0 mから2 mまで広がり、結果として得られる3次元形状は回転軸に対して対称です。境界曲線が回転軸に接しているため、体積を求めるには円板法が適切な手法です。

円板法を用いると、固体は概念的にx軸に垂直な無数の極めて薄い円形断面に分割されます。各断面は、その位置における定義関数の値を半径とする円板となります。各円板の面積は、円周率に半径の2乗を乗じた値に等しいです。個々の円板はタンクのごく一部しか表していませんが、すべての円板を合わせることで、全体の体積を近似できます。

全体の体積を求めるには、すべての円板の面積をタンクの長さに沿って積分します。タンクの形状を定義する関数を2乗すると、得られる式は、定数に水平位置の2乗と、2とその位置との差を掛け合わせた形に簡略化されます。この式を展開すると、変数の3乗および4乗を含む項が得られます。これらの項を積分すると、積分軸に沿って体積がどのように蓄積されるかを表す原始関数が得られます。

0 mから2 mまでの定積分を計算し、上端と下端を代入すると、数値結果が得られます。簡略化の後、計算された体積は約1 m^3となります。この値は、燃料タンクの全内部容量を表します。このような計算は、燃料容量、重量配分、さらには航空機全体の性能を評価するために正確な体積推定が必要とされる航空宇宙工学において、極めて重要です。