문제 풀이: 부피

제트 항공기 날개에 장착된 연료 탱크의 부피는 회전입체의 개념을 이용해 모델링할 수 있습니다. 이 경우 탱크는 수학적 함수로 정의된 이차원 영역을 x축을 기준으로 회전하여 형성됩니다. 이 영역은 축을 따라 0에서 2 m까지 뻗어 있으며, 결과로 얻어지는 삼차원 형상은 회전축에 대해 대칭입니다. 경계 곡선이 회전축에 바로 닿아 있으므로, 원판법이 부피를 구하기에 적절한 기법입니다.

원판법에서는 입체를 x축에 수직인 매우 얇은 원형 단면들로 무한히 많이 분할한다고 생각합니다. 각 단면은 그 위치에서 정의 함수의 값과 같은 반지름을 갖는 원판을 이룹니다. 각 원판의 면적은 반지름의 제곱에 π를 곱한 값에 비례합니다. 각각의 원판은 탱크의 극히 작은 부분에 불과하지만, 모든 원판을 합하면 전체 부피를 매우 가깝게 근사합니다.

총부피를 구하기 위해 탱크 길이를 따라 모든 원판의 면적을 적분으로 누적합니다. 탱크 형상을 정의하는 함수를 제곱하면, 얻어지는 식은 상수와 수평 위치의 제곱 및 2와 그 위치의 차의 곱으로 단순화됩니다. 그다음 이 식을 전개하면 변수의 세제곱과 네제곱 항이 포함된 항들이 생성됩니다. 이 항들을 적분하면 적분축을 따라 부피가 어떻게 누적되는지를 나타내는 원시함수를 얻습니다.

0에서 2 m 사이에서 정적분을 계산하고 상·하한을 대입하면 수치 결과가 얻어집니다. 이를 정리하면 계산된 부피는 약 1 m^3입니다. 이 값은 연료 탱크의 총 내부 용량을 나타냅니다. 이와 같은 계산은 항공우주공학에서 연료 용량, 중량 분포, 그리고 항공기 성능을 결정하기 위해 정밀한 부피 추정이 필요하다는 점에서 중요합니다.