Vektoren in mehrere Richtungen

Vektoren sind Größen mit sowohl Größe als auch Richtung - im Gegensatz zu Skalaren, die nur eine Größe und ein Vorzeichen haben.

Kraft, Beschleunigung und Geschwindigkeit sind Beispiele für Vektoren. Während Masse, Energie und Zeit Beispiele für Skalare sind.

Ein Vektor wird in der Regel durch einen Pfeil dargestellt. Die Länge des Pfeils entspricht seiner Größe und der Winkel gibt die Richtung an.

Dieses Video zeigt ein System von Kräften, die mit Vektoraddition und -subtraktion analysiert werden können, und zeigt, wie solche Operationen zu Ergebnissen führen, die für das Verständnis verschiedener physikalischer Phänomene wichtig sind.

Zum Beschreiben eines Vektors ist ein Koordinatensystem erforderlich. Innerhalb dieses gewählten Bezugsrahmens hat dieses Beispiel eines in die Luft getretenen Balls einen Anfangsgeschwindigkeitsvektor. Wie bereits erläutert, stellt die Länge des Pfeils die Größe der Geschwindigkeit dar. Und die Richtung des Vektors ist sein Winkel zum Boden.

Jeder Vektor kann in Komponenten zerlegt werden, die selbst Vektoren entlang der x- und y-Achse sind. Wenn die Anfangsgeschwindigkeit des Balls 20 Meter pro Sekunde bei 60 Grad beträgt, ist die horizontale Komponente Geschwindigkeit mal Kosinus von 60 Grad und hat eine Größe von 10 Metern pro Sekunde. Die vertikale Komponente ist die Geschwindigkeit mal Sinus von 60 Grad und hat eine Größe von etwa 17,3 Metern pro Sekunde.

Durch die Vektoraddition von horizontalen und vertikalen Komponenten wird der ursprüngliche Geschwindigkeitsvektor rekonstruiert. Um Vektoren hinzuzufügen, stellen Sie sich vor, dass Sie den Kopf des einen auf den Schwanz des anderen legen. In diesem Beispiel stehen die Vektoren zufällig im rechten Winkel. Die Summe ergibt sich, wenn man direkt vom Schwanz des ersten zum Kopf des zweiten reist.

Diese Komponenten stehen im rechten Winkel, so dass die Größe der Summe durch den Satz des Pythagoras gegeben ist. Der Winkel ist der Arkustangens der vertikalen Komponente dividiert durch die horizontale Komponente.

Wenn Sie zwei Vektoren hinzufügen, die nicht senkrecht stehen, zerlegen Sie sie in x- und y-Komponenten und fügen Sie dann entsprechende Komponenten hinzu. Berechnen Sie abschließend die Vektorsumme der horizontalen und vertikalen Komponenten, wie zuvor erläutert. Das Subtrahieren eines Vektors von einem anderen ist gleichbedeutend mit dem Negieren des zweiten Vektors und dem Hinzufügen zum ersten. Zerlegen Sie wie zuvor jeden Vektor in x- und y-Komponenten. Subtrahieren Sie dann die kleinere x-Komponente von der größeren und machen Sie dasselbe für y-Komponenten. Berechnen Sie dann, wie zuvor, die Vektorsumme der resultierenden x- und y-Komponenten.

Um die Addition und Subtraktion von Vektoren in einem Physiklabor zu demonstrieren, wird häufig eine Krafttabelle verwendet. Es handelt sich um eine Scheibe mit Winkeln um den Umfang, einem Ring in der Mitte, der an Schnüren befestigt ist, deren Massen am anderen Ende an Rollen aufgehängt sind. Die Massen erzeugen Kräfte, die die zu untersuchenden Vektoren sind. Die Kraft entlang jedes Strangs ist gleich der Gravitationskraft oder mg mit Einheiten von Newton.

Wenn es in diesem Aufbau nur zwei gleiche Massen in einem Winkel von 180 Grad voneinander gibt, erzeugen sie Kräfte mit einer Vektorsumme von Null. Dieser Zustand wird als Gleichgewicht bezeichnet, was zu einer Nullbeschleunigung führt und somit den Ring nicht bewegt.

Wenn sich jedoch die beiden Kräfte, die am Ring ziehen, nicht gegenseitig aufheben, z. B. aufgrund einer Winkeländerung, dann würde die Nettokraft ungleich Null dazu führen, dass sich der Ring bewegt. Wenn wir in solchen Fällen die Größen und Richtungen dieser Kräfte kennen, können wir die Vektoraddition und -subtraktion verwenden, um die dritte Kraft zu berechnen, die zur Wiederherstellung des Gleichgewichts erforderlich ist.

Im nächsten Abschnitt werden wir zeigen, wie man solche Krafttabellen-Experimente durchführt, die die theoretischen Prinzipien der Vektoraddition und -subtraktion testen

Wenn die beiden Kräfte gleich und entgegengesetzt sind, sollte sich der Ring in der Mitte des Tisches nicht bewegen. In diesem Fall steht jeder Kraftvektor dem anderen in Größe und Richtung genau entgegen. Die Vektorsumme hat eine Größe von Null, was der Bedingung von Null Nettokraft oder Gleichgewicht entspricht.

Um die Prinzipien der Vektoraddition und -subtraktion zu validieren, richten Sie die Massen und Winkel für die Kräfte A und B ein, wie in der ersten Zeile dieser Tabelle angegeben. Halten Sie den Winkel für A bei null Grad. Stellen Sie nun die dritte Kraft ein, indem Sie Massen addieren und den Winkel ändern, bis sich der Ring nicht mehr bewegt.

Nachdem du das Gleichgewicht erreicht hast, berechne die Kraft von C, indem du seine Masse mit der Erdbeschleunigung multiplizierst. Notieren Sie außerdem die Größe und den Winkel für die Kraft C.

Wiederholen Sie diesen Test für die drei verschiedenen Fälle und notieren Sie jedes Mal die Größe und den Winkel der Kraft C.

Für die vier Versuchsanordnungen zeigt diese Tabelle die berechneten Größen der Kräfte A und B sowie die Winkel von B in Bezug auf A. Am Beispiel des ersten Aufbaus können wir die Kraft C berechnen, die erforderlich ist, um das Gleichgewicht auf dem Tisch herzustellen.

Hier hat Kraft A eine Größe von 0,98 Newton bei 0?. Kraft B hat die gleiche Größe von 0,98 Newton, aber einen Winkel von 20?. Um den Vektor für C zu bestimmen, zerlegen Sie die Kräfte A und B in ihre x- und y-Komponenten. Hinweis: Kraft A ist nur entlang der x-Achse gerichtet und hat keine y-Komponente. Addieren Sie dann die Komponenten, um die x- und y-Vektoren zu erhalten, die die Summe der A- und B-Vektoren sind.

Um ein Gleichgewicht zu erreichen, müssen die x- und y-Komponenten von C das Gegenteil dieser Vektoren sein. Um den Vektor C zu erhalten, verschieben Sie den Schwanz seiner y-Komponente an den Kopf der x-Komponente. Addieren Sie dann die beiden Vektoren mit dem Satz des Pythagoras, um die Größe des Vektors C zu ermitteln. Und der Winkel für C ist der Arkustangens der vertikalen Komponente dividiert durch die horizontale Komponente. Daher stellt sich heraus, dass die berechnete Größe von C 1,93 Newton bei einem Winkel von 10? in Bezug auf die x-Achse.

Während des Experiments berechnen wir C durch Beobachtung und Versuch und Irrtum, indem wir die Gewichte und Winkel anpassen, um eine Bewegung des Rings auf dem Krafttisch zu verhindern.

Und diese Tabelle zeigt, dass die experimentellen und berechneten Ergebnisse sowohl für die Größe als auch für den Winkel für alle vier Setups eng übereinstimmen. Diese Übereinstimmung validiert die Darstellung von Kräften als Vektoren. Der Unterschied kann auf Einschränkungen in der Genauigkeit der Gewichte, der Messgenauigkeit des Winkels und nicht berücksichtigten Kräften zurückgeführt werden, die durch Reibung auf dem Krafttisch und mit den Riemenscheiben verursacht werden.

Vektoraddition und -subtraktion werden sowohl in einfachen als auch in komplexen Anwendungen eingesetzt. Werfen wir einen Blick auf einige von ihnen.

Wenn man eine Stadt wie New York bereist, wird die Entfernung normalerweise in Blöcken gemessen, und die Richtungen sind Norden, Süden, Osten und Westen.

Eine Person, die vier Blocks nach Osten und drei Blocks nach Norden geht, erfährt eine Positionsänderung, die eine Vektorgröße ist. Daher kann man durch Anwendung der Gleichungen für die Vektoraddition die Größe und Richtung des Vektors zwischen dem Start- und Endpunkt des Spaziergangs berechnen.

Vom Gehen zum Fliegen: Ein Pilot führt ständig mentale Vektoraddition und -subtraktion durch, um das Flugzeug zu manövrieren. Mit den Klappen und Querrudern der Flügel kann ein Pilot den Auftrieb gegen die Schwerkraft anpassen. Ist der Auftrieb größer als die Gravitationskraft, steigt das Flugzeug auf. Wenn der Auftrieb geringer ist als die Gravitationskraft, sinkt er ab.

In ähnlicher Weise verwendet ein Pilot die Triebwerke, um den Schub gegen den Luftwiderstand anzupassen. Wenn der Schub größer als der Luftwiderstand ist, beschleunigt das Flugzeug. Wenn der Schub geringer ist als der Widerstand, bremst er ab.

Wenn die Summe dieser vier Kräfte gleich Null ist, befindet sich das Flugzeug im Gleichgewicht und fliegt mit konstanter Geschwindigkeit und Höhe.

Sie haben gerade die Einführung von JoVE in Vektoren gesehen. Sie sollten jetzt wissen, wie Sie Vektoren addieren und subtrahieren können, und verstehen, wie sich bestimmte physikalische Größen als Vektoren verhalten. Danke fürs Zuschauen!