Drehimpuls

Eine rotierende Masse hat die Eigenschaft des Drehimpulses, und die Erhaltung des Drehimpulses ist von zentraler Bedeutung für die Lösung von Problemen in der Rotationsdynamik.

Wie in einem anderen Video dieser Sammlung erklärt, ändert sich der lineare Impuls eines Objekts nicht, d.h. ?p ist Null, bis eine externe Nettokraft ausgeübt wird.

Das gleiche Erhaltungsprinzip gilt für den Drehimpuls, der mit dem Buchstaben L bezeichnet wird. Also ? L ist ebenfalls Null, bis ein externes Nettodrehmoment aufgebracht wird.

Hier erklären wir zunächst das Konzept des Drehimpulses und zeigen anhand verschiedener Beispiele, wie er erhalten bleibt. Anschließend wird im Video ein Laborexperiment gezeigt, bei dem der Drehimpuls für einen rotierenden Stab gemessen wird.

Um den Drehimpuls zu verstehen, betrachten wir eine Kugel, die an einer Schnur befestigt ist und eine Rotationsbewegung um eine Achse durchläuft. Die Größe des Drehimpulses dieser Kugel 'L' ist r - der Radius des Kreises - mal p, was dem Translationsimpuls entspricht. Nun ist p die Masse mal Geschwindigkeit, wobei die Geschwindigkeit die Tangentialgeschwindigkeit ist. Die Tangentialgeschwindigkeit ist die Winkelgeschwindigkeit '?' mal r. Die Richtung des Drehimpulses wird durch die Rechtsregel vorgegeben. Beugt man die Finger der rechten Hand in Drehrichtung, dann zeigt der ausgestreckte Daumen in Richtung des Drehimpulses des Systems.

Basierend auf dieser Formel und dem Prinzip der Drehimpulserhaltung können wir vorhersagen, dass in Abwesenheit des externen Nettodrehmoments, wenn r reduziert wird ? würde zunehmen, und wenn r erhöht wird ? würde abnehmen.

Dieses Prinzip der Drehimpulserhaltung zeigt sich auch im Eiskunstlauf. Mit ausgestreckten Armen dreht sich der Skater mit einer Geschwindigkeit, aber sobald er seine Arme nach innen bringt, erhöht sich die Rotationsgeschwindigkeit erheblich.

Nachdem wir nun das Prinzip der Drehimpulserhaltung überprüft haben, sehen wir es in einem Physiklabor in Aktion. Setzen Sie sich für die erste Demonstration auf einen Stuhl, der sich frei drehen kann, und halten Sie zwei Gewichte auf Armlänge. Bitten Sie eine andere Person, den Stuhl zu drehen. Bringen Sie die Gewichte während des Drehens nahe an die Brust und beobachten Sie, wie sich die Rotationsgeschwindigkeit des Stuhls erhöht.

Wie beim sich drehenden Schlittschuhläufer hat die Person auf dem Stuhl ein hohes Trägheitsmoment, wenn die Gewichte weit vom Körper entfernt gehalten werden, da das r relativ groß ist. Durch die Nähe des Körpers verringert sich das Trägheitsmoment des Systems, wodurch sich durch die Erhaltung des Drehimpulses die Rotationsgeschwindigkeit erhöht.

Setzen Sie sich für die zweite Demonstration wieder auf einen Stuhl, der sich frei drehen kann, und halten Sie ein Fahrradrad an den Griffen, so dass seine Achse vertikal ist. Drehen Sie dann das Rad gegen den Uhrzeigersinn und halten Sie den Stuhl still. Nach der Rechte-Hand-Regel ist die Richtung des Drehimpulsvektors des Rades vertikal und zeigt nach oben.

Drehen Sie das Rad so, dass es sich im Uhrzeigersinn dreht, wenn die Achse wieder vertikal ist. Nun zeigt sein Drehimpuls nach unten. Achte darauf, wie sich der Stuhl als Reaktion dreht.

Das Fahrradrad, die Person, die es hält, und der Stuhl bilden ein System aus mehreren Objekten. Wenn sich allein das Rad dreht, hat dieses System einen bestimmten Gesamtdrehimpuls. Obwohl die Person, die das Rad hält, ein Drehmoment aufwendet, um es umzudrehen, entsteht dieses Drehmoment innerhalb des Systems und das externe Nettodrehmoment ist Null.

Da kein externes Drehmoment angewendet wird, bleibt der Drehimpuls erhalten, d.h. er ändert sich nicht. Durch Drehen des Rades wird die Richtung seines Drehimpulses umgekehrt. Um die Gesamtmenge des Drehimpulses im System konserviert zu halten, müssen sich die Person und der Stuhl drehen, so dass ihr kombinierter Drehimpulsvektor dem des Rades entgegengesetzt ist.

Daraus folgt, dass der Gesamtdrehimpuls der Person, des Stuhls und des umgeklappten Rades die gleiche Größe und Richtung haben muss wie der Drehimpuls des Rades in seiner ursprünglichen Position.

Als nächstes sehen wir uns ein Experiment an, bei dem der Drehimpuls eines rotierenden Stabes gemessen wird. Dazu zieht ein fallendes Gewicht an einer Schnur, die um eine Achse gewickelt ist. Die Größe des resultierenden Drehmoments ist die Spannung in der Saite multipliziert mit dem Radius der Achse. Dieses Drehmoment dreht die Achse, was zu einer Rotationsbeschleunigung der daran befestigten Stange führt. Das Trägheitsmoment der Stange kann aus ihrer Masse M und ihrer Länge L berechnet werden.

Die Winkelbeschleunigung der sich drehenden Stange ist gleich diesem Drehmoment geteilt durch das Trägheitsmoment der Stange. Mit diesen Informationen ist es jederzeit möglich, die Winkelgeschwindigkeit aus den Gleichungen für die Rotationskinematik zu berechnen.

Schließlich wird anhand des Trägheitsmoments und der Winkelgeschwindigkeit der Spinnstange der Drehimpuls der Spinnstange an zwei Punkten bestimmt: wenn das Gewicht auf halber Strecke gefallen ist und wenn es das Ende seines Weges erreicht hat.

Messen Sie vor Beginn des Experiments die Länge und Masse des Stabes und berechnen Sie dann sein Trägheitsmoment. Verwenden Sie einen Messstab, um die Hälfte der Abwärtsbewegung des Gewichts zu bestimmen. Markieren Sie diesen Punkt mit Klebeband auf dem vertikalen Balken. Befestigen Sie 200 Gramm am Ende der Schnur und wickeln Sie sie auf, bis das Gewicht die Spitze erreicht.

Lassen Sie das Gewicht los und messen Sie die Zeit bis zum Erreichen der Hälfte und die Zeit bis zum Erreichen des Bodens. Notieren Sie die Ergebnisse. Wiederholen Sie dies dreimal und verwenden Sie die Durchschnittswerte, um den Drehimpuls an beiden Punkten zu berechnen.

Erhöhen Sie das Gewicht auf der Schnur auf 500 Gramm. Führen Sie den Vorgang viermal durch und notieren Sie die Ergebnisse. Erhöhen Sie dann das Gewicht auf 1000 Gramm, wiederholen Sie den Vorgang und protokollieren Sie die Ergebnisse.

Mit zunehmender Masse des fallenden Gewichts sollten das Drehmoment und die Winkelbeschleunigung an der Achse der Spinnstange proportional zunehmen. Theoretisch sollten zu jedem Zeitpunkt sowohl die Winkelgeschwindigkeit als auch der Drehimpuls proportional zu diesem Drehmoment zunehmen.

Bei jeder Entfernung, aus der das Gewicht gefallen wäre, hätte der Drehimpuls des Spinnstabes proportional zur Quadratwurzel der Masse des Gewichts sein müssen. Das Experiment zeigte, dass die Drehimpulse bei dem 500-Gramm-Gewicht tatsächlich etwa das 1,6-fache oder die Quadratwurzel des 5/2-fachen des 200-Gramm-Gewichts betrugen. In ähnlicher Weise betrugen die Impulse mit dem 1000-Gramm-Gewicht etwa 1,4 - oder die Quadratwurzel des 2-fachen des 500-Gramm-Gewichts.

Darüber hinaus sollten bei einem gegebenen Gewicht das Drehmoment und die Winkelbeschleunigung konstant sein. Unter dieser Bedingung sollte die Winkelgeschwindigkeit der Spinnstange proportional mit der Quadratwurzel der Entfernung zunehmen, über die das Gewicht fällt. Die endgültige Entfernung war doppelt so groß wie die Entfernung auf halber Strecke, so dass der endgültige Drehimpuls 1,4 betrug - oder die Quadratwurzel des 2-fachen Drehimpulses auf halber Strecke.

Die Ergebnisse dieses Experiments stimmen mit der Theorie überein und bestätigen den Zusammenhang zwischen Drehmoment und Drehimpuls.

Der Drehimpuls ist eine wichtige Eigenschaft rotierender Objekte und seine Auswirkungen sind der Kern vieler mechanischer Geräte und alltäglicher Aktivitäten.

Sie müssen bemerkt haben, dass es einfacher ist, auf einem Fahrrad zu balancieren, wenn es in Bewegung ist. Der Grund dafür ist der Drehimpuls. Wenn die Räder in Bewegung sind, haben sie einen gewissen Drehimpuls mit einer Richtung senkrecht zum Rahmen. Je größer der Drehimpuls ist, desto größer ist das Drehmoment, das erforderlich ist, um den Impuls zu ändern, und daher ist es schwieriger, das Fahrrad umzukippen.

Ein weiteres System, das die Erhaltung des Drehimpulses nutzt, sind Hubschrauber mit zwei Rotoren. Dabei dreht der Frontrotor die Blätter im Uhrzeigersinn und der Heckrotor die Blätter gegen den Uhrzeigersinn. Durch diese Rotationen ergeben sich zwei gegensätzliche Drehimpulse, die sich gegenseitig aufheben... Dies führt zu einer Drehimpulserhaltung für das gesamte System. Und das ist es, was verhindert, dass der Hubschrauber außer Kontrolle gerät.

Sie haben gerade die Einführung von JoVE in den Drehimpuls gesehen. Sie sollten nun verstehen, was Drehimpuls ist, wie er in verschiedenen Systemen erhalten bleibt und wie er das Verhalten rotierender Objekte beeinflusst. Wie immer vielen Dank fürs Zuschauen!