18.10: Statisch unbestimmte Problemlösung

Statisch unbestimmte Probleme sind solche, bei denen die Statik allein die inneren Kräfte oder Reaktionen nicht bestimmen kann. Stellen Sie sich eine Struktur vor, die aus zwei zylindrischen Stäben aus Stahl und Messing besteht. Diese Stäbe werden am Punkt B verbunden und an den Punkten A und C durch starre Stützen gehalten. Nun sollen die Reaktionen an den Punkten A und C und die Durchbiegung am Punkt B bestimmt werden. Diese Stabstruktur wird als statisch unbestimmt eingestuft, da die Struktur mehr Stützen aufweist, als zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts erforderlich sind, was zu einem Überschuss an unbekannten Reaktionen gegenüber den verfügbaren Gleichgewichtsgleichungen führt.

Die statische Unbestimmtheit wird aufgelöst, indem man die Reaktion am Punkt C als überflüssig betrachtet und sie von ihrem Träger befreit. Diese redundante Reaktion wird als zusätzliche Belastung behandelt. Mithilfe der Superpositionsmethode wird dann die Verformung in jedem Abschnitt der Stabstruktur ermittelt. Durch die Kombination dieser einzelnen Verformungen wird der Gesamtverformungsausdruck für die gesamte Struktur abgeleitet. Unter Berücksichtigung der Ausdrücke, dass die Gesamtverformung der Stabstruktur gleich Null ist und die Summe aller Lasten gleich Null ist, werden die unbekannten Reaktionskräfte bestimmt. Schließlich wird die Durchbiegung am Punkt B berechnet, indem die Verformungen in den Stabstrukturabschnitten vor Punkt B summiert werden.

Betrachten wir zwei zylindrische Stäbe, einen aus Stahl und einen aus Messing, die an Punkt B verbunden und an den Punkten A und C durch starre Stützen gehalten werden.

Bestimmen Sie die Reaktionen an den Punkten A und C. Bestimmen Sie auch die Durchbiegung an Punkt B.

Hier wird die Stabstruktur als statisch unbestimmt angesehen, da sie mehr Stützen hat, als für den Gleichgewichtszustand notwendig sind, was zu einem Überschuss an unbekannten Reaktionen über Gleichgewichtsgleichungen führt.

Die Reaktion an Punkt C wird also als redundant betrachtet und aus dem Lager gelöst. Es wird als zusätzliche Last behandelt.

Anschließend wird mit der Überlagerungsmethode die Verformung in jedem Abschnitt der Stabstruktur bestimmt und kombiniert, um die Gesamtverformung zu bestimmen.

Unter Berücksichtigung des Ausdrucks der Gesamtverformung, der Gesamtverformung der Stabstruktur gleich Null und der Summe aller Lasten gleich Null werden die unbekannten Reaktionskräfte bestimmt.

Die Durchbiegung an Punkt B wird berechnet, indem die Verformungen in den Abschnitten vor Punkt B in der Stabstruktur summiert werden.