$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
Vetores podem ser multiplicados por escalares, adicionados a outros vetores ou subtraídos de outros vetores. A soma vetorial de dois (ou mais) vetores é chamada vetor resultante ou, abreviadamente, resultante.
Usamos as leis da geometria para construir vetores resultantes, seguidas de trigonometria para encontrar magnitudes e direções dos vetores. Para uma construção geométrica da soma de dois vetores em um plano, seguimos a regra do paralelogramo. Suponha que dois vetores estejam em posições arbitrárias. Movemos um deles em paralelo ao ponto de início do outro vetor, de modo que, após a translação, ambos os vetores tenham suas origens no mesmo ponto. Agora, no final do primeiro vetor, desenhamos uma linha paralela ao segundo vetor. No final do segundo vetor, desenhamos uma linha paralela ao primeiro vetor. Dessa forma, obtemos um paralelogramo. A partir da origem dos dois vetores, traçamos uma diagonal que é o resultado dos dois vetores.
A outra diagonal desse paralelogramo é a diferença vetorial dos dois vetores. Segue da regra do paralelogramo que nem a magnitude do vetor resultante nem a magnitude do vetor diferença podem ser expressas como uma simples soma ou diferença das magnitudes dos vetores. Isso ocorre porque o comprimento de uma diagonal não pode ser expresso como uma simples soma de comprimentos de lados. Se precisarmos somar três ou mais vetores, repetimos a regra do paralelogramo para os pares de vetores até encontrar o resultado de todos os vetores resultantes.
Desenhar o vetor resultante de muitos vetores pode ser generalizado usando a seguinte construção geométrica, conhecida como cabeça-cauda. Selecionamos um dos vetores como o primeiro vetor e fazemos uma translação paralela de um segundo vetor para uma posição onde a origem (cauda) do segundo vetor coincide com o final (cabeça) do primeiro vetor. Em seguida, selecionamos um terceiro vetor e fazemos uma translação paralela do terceiro vetor para uma posição onde a origem do terceiro vetor coincide com o final do segundo vetor. Repetimos esse procedimento até que todos os vetores estejam em uma disposição cabeça-cauda. Desenhamos o vetor resultante conectando a origem (cauda)do primeiro vetor com o final (cabeça) do último vetor. O final do vetor resultante está no final do último vetor. Devido à propriedade associativa e comutativa da adição de vetores, obtemos o mesmo vetor resultante independentemente de qual vetor escolhemos para ser o primeiro, segundo, terceiro ou quarto nessa construção.
A multiplicação escalar de um vetor gera uma quantidade vetorial. Dependendo do sinal associado à quantidade escalar, a direção do vetor é determinada. Por exemplo, se multiplicarmos a quantidade vetorial por um escalar positivo, o novo vetor será paralelo ao vetor original e vice-versa.
Este texto foi adaptado de Openstax, University Physics Volume 1, Section 2.3: Algebra of Vectors.
