$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
Векторы могут быть умножены на скаляры, добавлены к другим векторам или вычтены из других векторов. Векторная сумма двух (или более) векторов называется результирующим вектором или, короче, результатом.
Мы используем законы геометрии для построения результирующих векторов, а затем тригонометрию для определения векторных величин и направлений. Для геометрического построения суммы двух векторов в плоскости мы используем правило параллелограмма. Предположим, что два вектора находятся в произвольных положениях. Переведите любой из них параллельно началу другого вектора, чтобы после перевода оба вектора имели свои начала в одной точке. Теперь на конце первого вектора мы проводим линию, параллельную второму вектору. В конце второго вектора мы проводим линию, параллельную первому вектору. Таким образом мы получаем параллелограмм. Из начала двух векторов мы проводим диагональ, которая является результирующим вектором.
Другая диагональ этого параллелограмма является разностью векторов. Следует из правила параллелограмма, что ни величина результирующего вектора, ни величина разностного вектора не могут быть выражены как простая сумма или разность величин векторов. Это связано с тем, что длина диагонали не может быть выражена как простая сумма длин сторон. Если нам нужно сложить три или более векторов, мы повторяем правило параллелограмма для пар векторов, пока не найдем результирующий вектор из всех результирующих векторов.
Построение результирующего вектора из множества векторов можно обобщить с использованием следующего геометрического построения "хвост-голова". Мы выбираем любой из векторов как первый вектор и делаем параллельный перевод второго вектора в позицию, где начало («хвост») второго вектора совпадает с концом («головой») первого вектора. Затем мы выбираем третий вектор и делаем параллельный перевод третьего вектора в позицию, где начало третьего вектора совпадает с концом второго вектора. Мы повторяем эту процедуру до тех пор, пока все векторы не будут организованы в порядке "голова-хвост". Мы рисуем результирующий вектор, соединяя начало («хвост») первого вектора с концом («головой») последнего вектора. Конец результирующего вектора находится в конце последнего вектора. Поскольку сложение векторов ассоциативно и коммутативно, мы получаем один и тот же результирующий вектор вне зависимости от того, какой вектор мы выбираем первым, вторым, третьим или четвёртым в этом построении.
Скалярное умножение вектора даёт векторную величину. В зависимости от знака, связанного со скалярной величиной, определяется направление вектора. Например, если мы умножаем векторную величину на положительный скаляр, новый вектор будет параллелен заданному вектору и наоборот.
Этот текст адаптирован из Openstax, University Physics Volume 1, Section 2.3: Algebra of Vectors.
