Medição de formas do modo Chladni com um método de alavanca óptica

Summary

Propõe-se um método simples de medir a forma do modo Chladni em uma placa elástica pelo princípio de uma alavanca óptica.

Abstract

Determinar quantitativamente o padrão Chladni de uma placa elástica é de grande interesse tanto na ciência física quanto nas aplicações de engenharia. Neste artigo, propõe-se um método de medição de formas de modo de uma placa vibratória com base em um método de alavanca óptica. Três placas de acrílico circular foram empregadas na medição sob diferentes excitações harmônicas do centro. Diferente de um método tradicional, apenas uma caneta laser comum e uma tela de luz feita de vidro moído são empregados nesta nova abordagem. A abordagem é a seguinte: a caneta laser projeta um feixe para a placa vibratória perpendicularmente, e então o feixe é refletido à tela de luz à distância, na qual um segmento de linha feito do ponto refletido é formado. Devido ao princípio da persistência da visão, o ponto de luz poderia ser lido como uma linha reta brilhante. A relação entre a inclinação da forma do modo, o comprimento do ponto de luz e a distância da placa vibratória e da tela de luz podem ser obtidas com operações algébridas. Em seguida, a forma do modo pode ser determinada integrando a distribuição da inclinação com condições de limite adequadas. As formas de modo de campo completo da placa Chladni também poderiam ser determinadas mais de forma tão simples.

Introduction

As formas do modo Chladni são de grande interesse em aplicações científicas e de engenharia. Padrões chladni são reações de ondas físicas, e pode-se ilustrar o padrão de onda com vários métodos. É um método bem conhecido para mostrar os vários modos de vibração em uma placa elástica, delineando as linhas nodais. Pequenas partículas são sempre empregadas para mostrar os padrões chladni, uma vez que podem parar nos nós onde a amplitude vibratória relativa da placa é zero, e as posições dos nós variam com o modo ressonante para formar vários padrões Chladni.

Muitos pesquisadores têm prestado atenção a vários padrões chladni, mas eles só mostram as linhas nodais das formas de modo, as formas de modo (ou seja, amplitude de vibração) entre as linhas nodais não são ilustradas. Waller investigou as vibrações livres de um círculo¹, um quadrado², um isósceles triângulos angulares retos³, um retangular⁴, placas elípticas^5, e diferentes padrões Chladni são ilustrados. Tuan et al. reconstruíram diferentes padrões chladni através de abordagens experimentais e teóricas, e a equação inhomogêneo de Helmholtz é adotada durante a modelagem teórica^6,7. É um método popular de usar o Laser Doppler Vibrometer (LDV) ou Interferometry padrão de mancha eletrônica (ESPI) para medir quantitativamente as formas de modo dos padrões Chladni^8,9,10. Embora o LDV permita a resolução de amplitude femtómetro e faixas de frequência muito altas, infelizmente, o preço do LDV também é um pouco caro para demonstração em sala de aula e/ou educação física universitária. Com essa consideração, o presente artigo propôs uma abordagem simples para determinar quantitativamente as formas de modo de um padrão Chladni de baixo custo, uma vez que apenas uma caneta laser extra e uma tela de luz são necessárias aqui.

O presente método de medição é ilustrado na Figura 1¹¹. A placa vibratória tem três posições diferentes: a posição de descanso, a posição 1 e a posição 2. As posições 1 e 2 representam os dois lugares máximos vibratórios da placa. Uma caneta laser projeta um feixe reto na superfície da placa, e se a placa se localizar na posição de descanso, o raio laser será diretamente refletido na tela de luz. Enquanto a placa se localiza na posição 1 e 2, então o raio laser será refletido para o ponto A e B na tela de luz, respectivamente. Devido ao efeito da persistência da visão, haverá uma linha reta brilhante na tela de luz. O comprimento da luz brilhante L está relacionado à distância D entre a tela de luz e a localização do ponto laser. Diferentes pontos na placa possuem inclinações diferentes, que poderiam ser determinadas pela relação entre L e D. Depois de obter a inclinação da forma do modo em diferentes pontos da placa, o problema se transforma em uma integral definitiva. Com a ajuda da amplitude de vibração de limite da placa e dos dados de inclinação discretos, a forma de modo da placa vibratória pode ser obtida facilmente. Toda a configuração experimental é dada na Figura 2¹¹.

Este artigo descreve a configuração experimental e o procedimento para o método de alavanca óptica para medir as formas do modo Chladni. Alguns resultados experimentais típicos também são ilustrados.

Protocol

1. Configuração e procedimentos experimentais

NOTA: Configure o sistema experimental conforme mostrado na Figura 2.

1. Preparação do sistema de vibração
   1. Prepare três placas de acrílico circular espelhadas de 1,0 mm com diâmetro de 150 mm, 200 mm e 250 mm, respectivamente. Faça um orifício de 3 mm de diâmetro no centro de cada placa. Marque vários pontos pretos a cada 5 mm ao longo de um raio arbitrário.
   2. Coloque cada placa na barra de atuação do vibrador com um parafuso no ponto médio. Dirija o vibrador com uma onda seno usando um gerador de forma de onda, e as configurações padrão serão suficientes para o experimento de ressonância.
      NOTA: A direção de excitação do vibrador é horizontal para a conveniência de mover a tela depois.
   3. Aquisição da frequência de ressonância
      1. Coloque a caneta laser para projetar o raio laser na placa vibratória perpendicularmente para que o feixe seja refletido à tela de luz à distância. As distâncias entre a caneta laser e a placa e a tela de luz são de 120 mm e 500 mm, respectivamente.
         NOTA: Quanto mais distante a distância entre a tela de luz e a placa vibratória, mais óbvio aparece o fenômeno. Observa-se também que o presente método pode ser usado para medir formas de modo metricimétrico ou não-eixo. Devido à consideração da simplicidade e conveniência, o presente manuscrito apenas demonstra a aplicação na determinação de formas de modo eixosmétricos de três placas circulares. Então só precisamos medir a amplitude de vibração ao longo de qualquer direção radial para reconstruir a forma de modo bidimensional da placa.
      2. Mova a caneta laser ao longo da direção perpendicular à sua direção de comprimento para fazer o ponto de incidente escanear um diâmetro enquanto o gerador de sinal muda sua frequência continuamente. Faça-o rapidamente até que o comprimento da mancha seja significativamente estendido ao longo do diâmetro ao digitalizar em uma determinada faixa de frequência, e alguns pontos com quase nenhuma expansão aparecem. Para a placa com diâmetro de 150 mm, 200 mm e 250 mm, as faixas de frequência varridas são de 200-400 Hz, 100-300 Hz e 50-250 Hz, respectivamente.
      3. Escaneie este certo intervalo de frequência lentamente e escolha a frequência em que o local se expande mais obviamente. Verifica-se que para a placa com diâmetro de 150 mm, 200 mm e 250 mm, as frequências de ressonância são de 346 Hz, 214 Hz e 150 Hz, respectivamente.
2. Preparação do caminho leve e sistema de medição
   1. Coloque a tela de luz paralela à placa vibratória. Marque a distância com uma régua de medidor, e use 500 mm como a distância inicial.
   2. Coloque a caneta laser para projetar o feixe perpendicularmente na placa de tal forma que o feixe seja refletido à tela de luz à distância. Certifique-se de que a marca feita antes pode ser escaneada enquanto a caneta laser estiver se movendo.
      NOTA: A luz do raio laser deve ser projetada perpendicularmente na placa.
3. Medição experimental
   1. Ligue o gerador de sinal e defina a frequência de excitação como a mesma da frequência de ressonância obtida na etapa 1.1.3.3. A intensidade do sinal deve ser o menor possível, uma vez que o ponto de luz na tela de luz é grande o suficiente para ser gravado.
   2. Ajuste a caneta laser para fazer o ponto de incidente coincidir com o primeiro marcador, que é o marcador mais próximo do ponto fixo da placa.
   3. Mova a tela de uma distância D de 500 mm a 1000 mm e meça o comprimento do ponto L na tela a cada 50 mm. Registo de dados em forma tabular.
   4. Ajuste a caneta laser para fazer o ponto de incidente adjacente ao próximo marcador por sua vez e repita o passo 1.3.3 até que todos os marcadores tenham sido medidos.
      NOTA: Uma vez que as placas de acrílico são facilmente deformadas plasticamente sob excitação, o processo experimental de medição de uma placa não pode ser pausado por um longo tempo.
   5. Substitua a placa anterior pela próxima e repita as etapas 1.3.1 para 1.3.4.

2. Processamento de dados

1. Determine o ângulo φ entre o incidente e a luz refletida com a relação:
   
   onde D é a distância entre a posição de descanso da placa vibratória e a tela de luz, w está vibrando amplitude da placa, e L é o comprimento do ponto de luz na tela de luz. Vários pares de D e L são obtidos na etapa 1.3.3.
2. Determine a inclinação da forma de modo por:
   
   NOTA: A inclinação obtida é sempre positiva com eqs. (1) e (2).
3. Use um sinal de menos entre dois pontos zero para obter a distribuição da inclinação verdadeira.
   NOTA: Não importa se a revisão começa a partir do primeiro ou do segundo ponto zero.
4. Integre a distribuição de inclinação de cada placa e determine a constante integral pelos nódulos para obter a forma do modo com:
   
   NOTA: Os nódulos correspondem à maior inclinação da forma do modo. é uma constante determinada pela localização das linhas nodais do padrão Chladni mostradas na Figura 2.
5. Calcule a incerteza da inclinação¹² com:
   
   NOTA: t_0,95(n – 2) é o fator de distribuição t com 95% de confiança e graus de liberdade n-2, e é cerca de 2 aqui. S_r é o erro padrão da regressão linear com D e L, U_m denota a incerteza da distância medida D_i, e é de 0,5 mm aqui. A distância média medida é definida por , e n denota o número total de D_imedido .

Representative Results

A frequência de excitação que pode excitar o padrão de Chladni eixos é determinada através do teste de varredura de frequência. Três placas de acrílico circular com diâmetros de 150 mm, 200 mm e 250 mm são testadas, e os resultados mostram que as primeiras frequências de ressonância mesmétricas do eixo de primeira ordem são de 346 Hz, 214 Hz e 150 Hz para as três placas, respectivamente. Conclui-se que, com maior diâmetro, a placa é mais flexível, e a frequência de ressonância correspondente será menor. Os padrões chladni da placa acrílica com diâmetros diferentes são dados na Figura 3¹¹.

Sob a frequência ressonante correspondente, o comprimento do ponto de luz na tela de luz de diferentes placas pode ser medido e registrado. O valor de regressão da inclinação da forma do modo pode ser obtido com Eq.(1), cujas distribuições ao longo da direção radial das placas A, B e C são dadas na Tabela 1¹¹, e são determinadas medindo vários comprimentos de ponto de luz diferentes L do ponto laser específico com distância diferente D.

A simulação numérica com a ANSYS é realizada para verificar os resultados experimentais atuais. O código de script do APDL (ANSYS Parametric Design Language) é fornecido como um arquivo suplementar 1. A Figura 4¹¹ mostra as comparações dos resultados experimentais atuais e os resultados numéricos na forma de modo de diferentes placas. É muito claro que todos os resultados com condições diferentes se comparam muito bem, que comprovam a viabilidade do método atual na medição da forma do modo das placas.

Figura 1: Ilustração do presente método de medição.
O princípio da medição básica é ilustrado nesta figura, com ênfase no incidente e reflete o feixe de luz e a relação de diferentes parâmetros geométricos. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.

Figura 2: A configuração experimental.
A imagem da configuração experimental é fornecida para entender e replicar claramente a abordagem de medição facilmente. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.

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Figura 3: Padrão chladni de diferentes placas acrílicas: (a) 150 mm, (b) 200 mm, (c) 250 mm.
Os padrões Chladni de três diferentes placas circulares acrílicas são dados, respectivamente. As partículas marrons são areias e mostram claramente a linha nodal dos padrões Chladni. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.

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Figura 4: Comparações de resultados experimentais e simulação numérica para as formas de modo de diferentes placas: (a) 150 mm, (b) 200 mm, (c) 250 mm.
Os resultados numéricos obtidos com a ANSYS e os resultados experimentais atuais são comparados para verificar a confiabilidade do presente método experimental. Clique aqui para ver uma versão maior desta figura.

Placa A (Diâmetro=150 mm)			Placa B (Diâmetro=200 mm)			Placa C (Diâmetro=250 mm)
r/mm	Inclinação diretamente calculada	Inclinação revisada	r/mm	Inclinação diretamente calculada	Inclinação revisada	r/mm	Inclinação diretamente calculada	Inclinação revisada
5	0.001913	0.001913	7	0.002668	0.002668	7	0.0013	0.0013
10	0.001478	0.001478	12	0.00269	0.00269	12	0.001613	0.001613
15	0.00144	0.00144	17	0.002785	0.02785	17	0.002055	0.002055
20	0.001088	0.001088	22	0.00269	0.00269	22	0.002283	0.002283
25	0.00061	0.00061	28	0.002543	0.002543	27	0.002618	0.002618
30	0.000388	0.000388	38	0.001858	0.001858	32	0.00256	0.00256
35	0.000883	-0.000883	48	0.000748	0.000748	37	0.00209	0.00209
40	0.001733	-0.001733	58	0.000668	0.000668	42	0.002128	0.002128
45	0.002478	-0.002478	68	0.00082	-0.00082	47	0.001723	0.001723
50	0.003433	-0.003433	72	0.001583	-0.001583	52	0.001568	0.001568
55	0.00389	-0.00389	77	0.00241	-0.00241	57	0.001	0.001
60	0.002705	-0.002705	82	0.002813	-0.002813	62	0.004175	0.004175
65	0.002283	-0.002283	87	0.0026	-0.0026	67	0.001175	0.001175
70	0.002223	-0.002223	97	0.002264	-0.002264	72	0.002825	-0.002825
						77	0.000873	-0.000873
						82	0.001205	-0.001205
						87	0.001538	-0.001538
						92	0.00176	-0.00176
						97	0.001983	-0.001983
						102	0.002278	-0.002278
						107	0.002745	-0.002745
						112	0.00269	-0.00269
						117	0.002783	-0.002783
						122	0.002218	-0.002218

Tabela 1: Distribuição de inclinação da forma do modo ao longo da direção radial. A distribuição calculada da inclinação da forma do modo ao longo da direção radial é fornecida, e tanto a inclinação original quanto revisada são dadas para ilustrar o processo de revisão.

Arquivo de suplemento 1: Script ANSYS para simular a resposta dinâmica e a forma do modo de uma placa. Clique aqui para baixar este arquivo.

Discussion

O método de alavanca óptica é adotado neste artigo para determinar a forma de modo de uma placa, uma vez que o padrão Chladni só pode mostrar as linhas nodais de uma placa vibratória. Para determinar a forma do modo da placa, a relação entre a inclinação e a distância da tela de luz e o comprimento do ponto deve ser obtida com antecedência. Então, através do cálculo de integração definitivo, a forma de modo do padrão Chladni poderia ser quantitativamente determinada.

Geralmente, todo o processo da abordagem atual inclui as seguintes etapas: (1) Realize o teste de vibração forçada para obter a frequência de ressonância da placa. (2) Realizar teste de vibração forçada perto da frequência de ressonância e registrar as coordenadas dos nódulos do padrão Chladni. Esses dados são usados para calibrar a forma de modo absoluto obtida por testes experimentais. (3) O ponto laser é perpendicularmente projetado para diferentes locais radiais da placa, e o comprimento do ponto de luz na tela de luz é medido. Este teste precisa ser repetido várias vezes com diferentes distâncias entre a placa vibratória e a tela de luz para obter o valor de regressão linear da inclinação da forma do modo com Eq. (2). (4) Obtenha a forma de modo experimental do padrão Chladni com Eq. (4) através do pós-processamento dos dados experimentais brutos.

Deve-se ressaltar que, embora a presente demonstração experimental mostre apenas a medição dos padrões de Chladni eixos, também poderia ser usada para a determinação de padrões chladni não ambímétricos de forma avançada. Não apenas placas circulares, mas também outras formas, como triângulo, retangular e até formas irregulares poderiam ser empregadas para mostrar a beleza dos padrões chladni. Além disso, se a densidade do ponto de medição, a fonte de laser, a ferramenta de medição, bem como o método de cálculo integral forem cuidadosamente escolhidos, a precisão do método proposto poderá ser adaptada ao nível necessário.

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
Acrylic plates	Dongguan Jinzhu Lens Products Factory		Three 1.0-mm-thickness mirrored circular acrylic plates with diameter of 150 mm, 200 mm and 250 mm respectively. They are easily deformed.
Laser pen	Deli Group	2802	Red laser is more friendly to the viewer. The finer the laser beam, the better.
Light screen	Northern Tempered Glass Custom Taobao Store		Several layers of frosted stickers can be placed on the glass to achieve the effect of frosted glass.
Ruler	Deli Group	DL8015	The length is 1m and the division value is 1mm.
Signal generator	Dayang Science Education Taobao Store	TFG6920A	Common ones in university laboratories are available.
Vibrator	Dayang Science Education Taobao Store		The maximum amplitude is 1.5cm.The power is large enough to cause a noticeable phenomenon when the board vibrates. Otherwise, add a power amplifier.