Test de la dérivée première : résolution de problèmes

Imaginez le prix d’un actif qui s’effondre jusqu’à un point bas, rebondit vivement lorsque des investisseurs à l’affût de bonnes affaires interviennent, puis décline progressivement. Un tel comportement peut être modélisé par une fonction lisse dont les points de retournement représentent des zones localement surévaluées ou sous-évaluées. Un exemple commode illustrant un rebond suivi d’une phase de décroissance est le suivant :

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

Les points hauts et les points bas de cette courbe sont déterminés à l’aide du test de la dérivée première, qui permet d’identifier les endroits où la fonction passe du régime croissant au régime décroissant, ou inversement. Pour commencer, on calcule la dérivée première. Comme la fonction est le produit d’un terme polynomial et d’un terme exponentiel, la différentiation nécessite l’application de la règle du produit. Après dérivation, l’expression obtenue est simplifiée en mettant en facteur les termes communs à l’ensemble de la dérivée.

On pose ensuite la dérivée égale à zéro, et la résolution de cette équation fournit les points critiques — c’est-à-dire les valeurs où la pente est nulle ou celles pour lesquelles le test du signe de la dérivée doit être vérifié. Ces points critiques partitionnent l’ensemble de définition en intervalles destinés à une analyse ultérieure.

On choisit ensuite des points d’essai à l’intérieur de chaque intervalle et on évalue le signe de la dérivée. Une dérivée positive indique que le prix de l’actif modélisé augmente sur l’intervalle considéré, tandis qu’une dérivée négative indique qu’il diminue. Un changement de signe de la dérivée, de positif à négatif, signale un passage de la hausse à la baisse et permet d’identifier un maximum local. Un changement de signe de négatif à positif identifie un minimum local, correspondant à un creux de la courbe de prix.

Enfin, en remplaçant les valeurs critiques dans la fonction initiale, on obtient les niveaux de prix correspondants à ces points de retournement. Ces extrema locaux occupent une place centrale dans l’analyse de la valorisation, car ils marquent des zones potentielles de retournement et aident à quantifier les moments où la dynamique bascule, de la reprise vers le déclin ou du déclin vers la reprise.