מומנטום זוויתי

למסה מסתובבת יש תכונה של תנע זוויתי ושימור תנע זוויתי הוא מרכזי לפתרון בעיות בדינמיקה סיבובית.

כפי שהוסבר בסרטון אחר של אוסף זה, התנע הליניארי של אובייקט אינו משתנה, כלומר ?p הוא אפס עד שמופעל כוח חיצוני נטו.

אותו עיקרון שימור חל על תנע זוויתי, המסומן באות L. L הוא גם אפס עד להפעלת מומנט חיצוני נטו.

כאן, נסביר תחילה את המושג תנע זוויתי ונראה כיצד הוא נשמר באמצעות דוגמאות שונות. לאחר מכן הסרטון ידגים ניסוי מעבדה הכולל מדידת תנע זוויתי עבור מוט מסתובב.

כדי להבין תנע זוויתי, בואו ניקח בחשבון כדור המחובר למיתר שעובר תנועה סיבובית סביב ציר. גודל התנע הזוויתי של כדור זה 'L' הוא r - רדיוס המעגל - כפול p, שהוא התנע התרגומי. עכשיו p הוא מסה כפול מהירות, כאשר מהירות היא המהירות המשיקית. המהירות המשיקית היא המהירות הזוויתית '?' כפול r. כיוון התנע הזוויתי ניתן על ידי הכלל הימני. אם אתה מסלסל את אצבעות יד ימין בכיוון הסיבוב, אז האגודל המורחב מצביע לכיוון המומנטום הזוויתי של המערכת.

בהתבסס על נוסחה זו ועל עקרון שימור התנע הזוויתי, אנו יכולים לחזות כי בהיעדר מומנט חיצוני נטו, אם r מופחת ? יגדל, ואם R יגדל? יקטן.

עיקרון זה של שימור מומנטום זוויתי ניכר בהחלקה אמנותית. כשהזרועות בחוץ המחליק מסתובב במהירות אחת, אך ברגע שהוא מכניס את זרועותיו פנימה, מהירות הסיבוב עולה משמעותית.

כעת, לאחר שסקרנו את העיקרון של שימור תנע זוויתי, בואו נראה אותו בפעולה במעבדת פיזיקה. בהדגמה הראשונה, שבו בכיסא שיכול להסתובב בחופשיות והחזיקו שתי משקולות במרחק זרוע. בקש מאדם אחר לסובב את הכיסא. תוך כדי סיבוב, קרבו את המשקולות לחזה ושימו לב כיצד מהירות הסיבוב של הכיסא עולה.

כמו במחליק הקרח המסתובב, כאשר המשקולות מוחזקות רחוק מהגוף, לאדם על הכיסא יש רגע גבוה של אינרציה עקב r גדול יחסית. קירוב המשקולות לגוף מפחית את מומנט האינרציה של המערכת, וכך עקב שימור המומנטום הזוויתי, מהירות הסיבוב עולה.

בהדגמה השנייה, שבו שוב בכיסא שיכול להסתובב בחופשיות והחזיקו גלגל אופניים בידיות כך שצירו יהיה אנכי. לאחר מכן סובב את הגלגל נגד כיוון השעון, תוך שמירה על הכיסא נייח. לפי הכלל הימני, כיוון וקטור התנע הזוויתי של הגלגל הוא אנכי, מצביע כלפי מעלה.

הפוך את הגלגל כך שהוא מסתובב בכיוון השעון כאשר הציר שוב אנכי. עכשיו המומנטום הזוויתי שלו מצביע כלפי מטה. שימו לב כיצד הכיסא מסתובב בתגובה.

גלגל האופניים, האדם המחזיק אותו והכיסא מהווים מערכת של חפצים מרובים. כאשר הגלגל לבדו מסתובב, למערכת זו יש מומנטום זוויתי כולל מסוים. למרות שהאדם המחזיק את ההגה מפעיל מומנט כדי להפוך אותו, מומנט זה מקורו במערכת והמומנט החיצוני נטו הוא אפס.

ללא מומנט מופעל חיצוני, המומנטום הזוויתי נשמר, כלומר הוא אינו משתנה. סיבוב הגלגל הופך את כיוון התנע הזוויתי שלו. על מנת לשמור על הכמות הכוללת של התנע הזוויתי במערכת, האדם והכיסא חייבים להסתובב, כך שווקטור התנע הזוויתי המשולב שלהם מתנגד לזה של הגלגל.

כתוצאה מכך, המומנטום הזוויתי הכולל של האדם, הכיסא והגלגל ההפוך חייב להיות באותו גודל ולהיות באותו כיוון כמו המומנטום הזוויתי של הגלגל במיקומו המקורי.

לאחר מכן, בואו נראה ניסוי הכולל מדידת תנע זוויתי של מוט מסתובב. לשם כך, משקל נופל מושך חוט שנכרך סביב ציר. גודל המומנט המתקבל הוא המתח במיתר כפול רדיוס הציר. מומנט זה מסובב את הציר, וגורם לתאוצה סיבובית של המוט המחובר אליו. ניתן לחשב את מומנט האינרציה של המוט מהמסה שלו M ואורכו L.

התאוצה הזוויתית של המוט המסתובב שווה למומנט זה חלקי מומנט האינרציה של המוט. בעזרת מידע זה, ניתן לחשב מהירות זוויתית בכל עת מהמשוואות עבור קינמטיקה סיבובית.

לבסוף, באמצעות מומנט האינרציה והמהירות הזוויתית של המוט, המומנטום הזוויתי של המוט המסתובב ייקבע בשתי נקודות: כאשר המשקל ירד באמצע הדרך וכאשר הוא הגיע לסוף נסיעתו.

לפני תחילת הניסוי, מדוד את אורך המוט והמסה ואז חשב את רגע האינרציה שלו. השתמש במקל מד כדי לקבוע את נקודת האמצע של תנועת המשקל כלפי מטה. סמן נקודה זו עם סרט על הקורה האנכית. מחברים 200 גרם לקצה החוט ומלפפים אותו עד שהמשקל מגיע למעלה.

שחרר את המשקל ומדוד את משך הזמן להגיע לנקודת האמצע ואת משך הזמן להגיע לתחתית. רשום את התוצאות. עשה זאת שלוש פעמים והשתמש בערכים הממוצעים כדי לחשב את התנע הזוויתי בשתי הנקודות.

הגדל את המשקל על המיתר ל -500 גרם. בצע את ההליך ארבע פעמים ורשום את התוצאות. לאחר מכן הגדל את המשקל ל 1000 גרם, חזור על ההליך ורשום את התוצאות.

ככל שמסת המשקל הנופל עולה, המומנט והתאוצה הזוויתית על ציר המוט המסתובב צריכים לגדול באופן יחסי. תיאורטית, בכל זמן נתון גם המהירות הזוויתית וגם המומנטום הזוויתי צריכים לגדול באופן פרופורציונלי עם מומנט זה.

בכל מרחק נתון שבו המשקל נפל, התנע הזוויתי של המוט המסתובב היה צריך להיות פרופורציונלי לשורש הריבועי של מסת המשקולת. הניסוי הראה שהמומנטה הזוויתית עם משקל 500 גרם אכן הייתה בערך 1.6 או השורש הריבועי של פי 5/2 מזה של משקל 200 גרם. באופן דומה, המומנטה עם משקל 1000 גרם הייתה בערך 1.4 - או השורש הריבועי של פי 2 מהמשקל של 500 גרם.

יתר על כן, עבור משקל נתון המומנט והתאוצה הזוויתית צריכים להיות קבועים. בתנאי זה, המהירות הזוויתית של המוט המסתובב צריכה לעלות באופן פרופורציונלי עם השורש הריבועי של המרחק שהמשקל נופל. המרחק הסופי היה כפול מהמרחק בנקודת המחצית, כך שהמומנטום הזוויתי הסופי היה 1.4 או השורש הריבועי של פי 2 מהמומנטום הזוויתי בנקודת המחצית.

התוצאות מניסוי זה תואמות את התיאוריה ומאשרות את הקשר בין מומנט לתנע זוויתי.

תנע זוויתי הוא תכונה חשובה של עצמים מסתובבים והשפעותיו נמצאות בליבם של מכשירים מכניים רבים ופעילויות יומיומיות.

בטח שמתם לב שקל יותר לאזן על אופניים כשהם בתנועה. הסיבה לכך היא תנע זוויתי. כאשר הגלגלים בתנועה, תהיה להם מידה מסוימת של מומנטום זוויתי עם כיוון בניצב למסגרת. ככל שהמומנטום הזוויתי גדול יותר כך המומנט הנדרש לשינוי המומנטום גדול יותר, ולכן קשה יותר להטות את האופניים.

מערכת נוספת המשתמשת בשימור תנע זוויתי היא מסוקים עם שני רוטורים. כאן הרוטור הקדמי מסובב את הלהבים בכיוון השעון ורוטור הזנב מסובב את הלהבים נגד כיוון השעון. סיבובים אלה מביאים לשני מומנטים זוויתיים מנוגדים, המבטלים זה את זה... וכתוצאה מכך שימור מומנטום זוויתי עבור המערכת כולה. וזה מה שמונע מהמסוק לצאת משליטה.

זה עתה צפיתם בהקדמה של JoVE לתנע זוויתי. כעת עליך להבין מהו תנע זוויתי, כיצד הוא נשמר במערכות שונות וכיצד הוא משפיע על התנהגותם של עצמים מסתובבים. כמו תמיד, תודה שצפית!