Vettori in più direzioni

I vettori sono quantità con grandezza e direzione, a differenza degli scalari, che hanno solo una grandezza e un segno.

Forza, accelerazione e velocità sono esempi di vettori. Mentre la massa, l'energia e il tempo sono esempi di scalari.

Un vettore è solitamente rappresentato da una freccia. La lunghezza della freccia corrisponde alla sua grandezza e l'angolo indica la direzione.

Questo video mostrerà un sistema di forze che possono essere analizzate con l'addizione e la sottrazione vettoriale e dimostrerà come tali operazioni producano risultati importanti per la comprensione di diversi fenomeni fisici.

La descrizione di un vettore richiede un sistema di coordinate. All'interno di questo sistema di riferimento scelto, questo esempio di una palla calciata in aria ha un vettore di velocità iniziale. Come spiegato in precedenza, la lunghezza della freccia rappresenta l'entità della velocità. E la direzione del vettore è il suo angolo dal suolo.

Ogni vettore può essere scomposto in componenti, che sono vettori stessi lungo gli assi x e y. Se la velocità iniziale della palla è di 20 metri al secondo a 60 gradi, la componente orizzontale è la velocità moltiplicata per il coseno di 60 gradi e ha un'ampiezza di 10 metri al secondo. La componente verticale è una velocità sinusoidale di 60 gradi e ha una magnitudine di circa 17,3 metri al secondo.

L'addizione vettoriale di componenti orizzontali e verticali ricostruisce il vettore di velocità originale. Per aggiungere vettori, immagina di posizionare la testa di uno sulla coda dell'altro. In questo esempio i vettori si trovano ad angolo retto. La somma risulta quando si viaggia direttamente dalla coda del primo alla testa del secondo.

Queste componenti sono ad angolo retto, quindi l'entità della somma è data dal teorema di Pitagora. L'angolo è l'arcotangente della componente verticale diviso per la componente orizzontale.

Quando si aggiungono due vettori che non sono perpendicolari, scomporre ciascuno in componenti x e y, quindi aggiungere i componenti corrispondenti. Infine, calcola la somma vettoriale delle componenti orizzontali e verticali come spiegato in precedenza. Sottrarre un vettore da un altro equivale a negare il secondo vettore e aggiungerlo al primo. Come prima, scomponi ogni vettore in componenti x e y. Quindi sottrai la componente x più piccola da quella più grande e fai lo stesso per le componenti y. Quindi, come prima, calcola la somma vettoriale delle componenti x e y risultanti.

Per dimostrare l'addizione e la sottrazione di vettori in un laboratorio di fisica, l'attrezzatura comunemente utilizzata è una tabella delle forze. Si tratta di un disco con angoli segnati attorno al perimetro, un anello al centro attaccato a corde con masse all'altra estremità sospese da pulegge. Le masse producono forze, che sono i vettori da studiare. La forza lungo ogni corda è uguale alla forza gravitazionale, o mg, con unità di Newton.

Ora, in questa configurazione, se ci sono solo due masse uguali a 180 gradi l'una dall'altra, allora producono forze con una somma vettoriale pari a zero. Questa condizione è chiamata equilibrio, che si traduce in un'accelerazione zero e quindi l'anello non si muove.

Ma se le due forze che tirano l'anello non si annullano a vicenda, ad esempio a causa di un cambiamento di angolo, allora la forza netta diversa da zero causerebbe il movimento dell'anello. In tali casi, se conosciamo le grandezze e le direzioni di queste forze, allora possiamo usare l'addizione e la sottrazione vettoriale per calcolare la terza forza necessaria per ristabilire l'equilibrio.

Nella prossima sezione mostreremo come condurre tali esperimenti con la tabella delle forze che testano i principi teorici dell'addizione e della sottrazione vettoriale

Se le due forze sono uguali e opposte, l'anello al centro della tabella non dovrebbe muoversi. In questo caso, ogni vettore di forza si oppone esattamente all'altro in grandezza e direzione. La somma vettoriale ha grandezza zero, che è la condizione di forza netta zero, o equilibrio.

Per convalidare i principi dell'addizione e della sottrazione vettoriale, impostare le masse e gli angoli per le forze A e B come indicato nella prima riga di questa tabella. Mantenete l'angolo per A a zero gradi. Ora, imposta la terza forza aggiungendo masse e modificando l'angolo fino a quando l'anello non si muove.

Dopo aver raggiunto l'equilibrio, calcola la forza di C moltiplicando la sua massa per l'accelerazione dovuta alla gravità. Inoltre, registra l'entità e l'angolo della forza C.

Ripeti questo test per i tre diversi casi e registra ogni volta l'entità e l'angolo della forza C.

Per le quattro configurazioni sperimentali, questa tabella mostra le grandezze calcolate delle forze A e B e gli angoli di B rispetto ad A. Utilizzando la prima configurazione come esempio, possiamo calcolare la forza C necessaria per stabilire l'equilibrio sulla tabella.

Qui la forza A ha una magnitudine di 0,98 Newton a 0?. La forza B ha la stessa magnitudine di 0,98 Newton ma un angolo di 20?. Per determinare il vettore per C, le forze di decomposizione A e B nelle loro componenti x e y. Si noti che la forza A è diretta solo lungo l'asse x e non ha alcun componente y. Quindi aggiungi i componenti per ottenere i vettori x e y, che sono la somma dei vettori A e B.

Per raggiungere l'equilibrio, le componenti x e y di C devono essere l'opposto di questi vettori. Per ottenere il vettore C, spostare la coda della sua componente y verso la testa della componente x. Quindi aggiungi i due vettori usando il teorema di Pitagora per trovare la grandezza del vettore C. E l'angolo per C è l'arcotangente della componente verticale divisa per la componente orizzontale. Pertanto, la magnitudine calcolata di C risulta essere 1,93 Newton con un angolo di 10? rispetto all'asse x.

Ora, durante l'esperimento, calcoliamo C attraverso l'osservazione e tentativi ed errori, regolando i pesi e gli angoli per prevenire il movimento dell'anello sulla tabella delle forze.

E questa tabella mostra che i risultati sperimentali e calcolati sia per la magnitudine che per l'angolo corrispondono strettamente per tutte e quattro le configurazioni. Questo accordo convalida la rappresentazione delle forze come vettori. La differenza può essere attribuita a limitazioni nella precisione dei pesi, alla precisione di misurazione dell'angolo e alle forze non contabilizzate causate dall'attrito sulla tabella delle forze e con le pulegge.

L'addizione e la sottrazione vettoriale sono utilizzate sia in applicazioni semplici che complesse. Diamo un'occhiata ad alcuni di essi.

Quando si visita una città come New York, la distanza viene solitamente misurata in isolati e le direzioni sono nord, sud, est e ovest.

Una persona che cammina per quattro isolati a est e tre isolati a nord subisce un cambiamento di posizione, che è una quantità vettoriale. Pertanto, applicando le equazioni per l'addizione vettoriale, è possibile calcolare la grandezza e la direzione del vettore tra i punti di inizio e fine della camminata.

Dalla camminata al volo: un pilota esegue costantemente addizioni e sottrazioni mentali di vettori per manovrare l'aereo. Utilizzando i flap e gli alettoni delle ali, un pilota può regolare la portanza contro la gravità. Se la portanza è maggiore della forza gravitazionale, l'aereo sale. Se la portanza è inferiore alla forza gravitazionale, scende.

Allo stesso modo, un pilota usa i motori per regolare la spinta contro la resistenza. Se la spinta è maggiore della resistenza, l'aereo accelera. Se la spinta è inferiore alla resistenza, decelera.

Quando la somma di queste quattro forze è uguale a zero, l'aereo è in equilibrio e naviga a velocità e altitudine costanti.

Hai appena visto l'introduzione di JoVE ai vettori. Ora dovresti sapere come aggiungere e sottrarre vettori e capire come si comportano determinate quantità fisiche come vettori. Grazie per l'attenzione!