$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
ベクトルは、スカラーで乗算したり、他のベクトルに加算したり、他のベクトルから減算したりできます。 「2 つ以上のベクトルの和」は、結果ベクトル、または略して合力と呼ばれます。
幾何学的手法を使って合成ベクトルを構成し、その後三角法を使用してベクトルの大きさと方向を見つけます。 平面内の 2 つのベクトルの和を幾何学的に構築するには、力の平行四辺形に従います。 2 つのベクトルが任意の位置にあるとします。 それらのいずれかを他方のベクトルの先頭と平行に移動し、移動後に両方のベクトルの原点が同じ点になるようにします。 ここで、最初のベクトルの終わりに、2 番目のベクトルに平行な線を描きます。 2 番目のベクトルの終わりに、最初のベクトルと平行な線を描きます。 このようにして、平行四辺形が得られます。 2 つのベクトルの原点から、2 つのベクトルの合成である対角線を描きます。
この平行四辺形のもう一方の対角線は、2 つのベクトルの差ベクトルです。 平行四辺形の法則から、合成ベクトルの大きさも差分ベクトルの大きさも、ベクトルの大きさの単純な合計や差として表現できないことがわかります。 対角線の長さは辺の長さの単純な和では表現できないからです。 3 つ以上のベクトルを追加する必要がある場合は、すべての合成ベクトルの結果が見つかるまで、ベクトルのペアに対して力の平行四辺形を繰り返します。
多くのベクトルの合成ベクトルの描画は、次の尾部から頭側への幾何学構造を使用して一般化できます。 いずれかのベクトルを最初のベクトルとして選択し、2 番目のベクトルの始点と終点が一致する位置に 2 番目のベクトルをその始点が 最初のベクトルの終点 に一致するように平行移動します。次に、3 番目のベクトルを選択し、3 番目のベクトルの原点が 2 番目のベクトルの終端と一致する位置に 3 番目のベクトルを平行移動します。 すべてのベクトルが先頭から末尾まで配置されるまで、この手順を繰り返します。 最初のベクトルの始点と最後のベクトルの終点を結んで、結果のベクトルを描画します。 結果のベクトルの終わりは、最後のベクトルの終わりになります。 ベクトルの加算は結合的かつ可換的であるため、この構築でどのベクトルを 1 番目、2 番目、3 番目、または 4 番目に選択したかに関係なく、同じ結果のベクトルが得られます。
ベクトルのスカラー乗算によりベクトル量が得られます。 スカラー量に関連付けられた符号に応じて、ベクトルの方向が決まります。 たとえば、ベクトル量に正のスカラーを乗算すると、新しいベクトルは指定されたベクトルと平行になり、その逆も同様です。
このテキストは Openstax、University Physics Volume 1, Section 2.3: Algebra of Vectors から編集されたものです。
