第1導関数判定法：問題解法

資産価格が最安値まで急落し、割安と判断した投資家の参入によって急反発した後、徐々に下落していく様子を想像してください。このような動きは、転換点が局所的な過大評価領域および過小評価領域を表す滑らかな関数でモデル化できます。反発とそれに続く減衰を捉える便利な例を以下に示します。

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

この曲線の極大値と極小値は、第1導関数判定法によって特定されます。この判定法は、関数が増加から減少へ、あるいはその逆に変化する点を判定するものです。まず、第1導関数を計算します。この関数は多項式項と指数項の積であるため、微分には積の微分法が必要となります。微分後、得られた式は、導関数のすべての項に共通する因子をくくり出すことで簡略化されます。

次に、導関数をゼロと等置し、それを解くことで臨界点（傾きがゼロとなる、あるいは傾き検定を行う必要がある入力値）が得られます。これらの臨界点は、さらなる分析のために定義域を区間に分割します。

続いて、各区間内にテスト点を選び、導関数の符号を評価します。導関数が正である場合、モデル化された資産価格はその区間で増加しており、導関数が負である場合は減少していることを示します。導関数が正から負へと変化する場合は、上昇から下降への転換を示し、局所最大値を与えます。負から正への変化は局所最小値を示し、価格曲線における谷に対応します。

最後に、臨界点の入力値を元の関数に代入することで、これらの転換点に対応する価格水準が得られます。これらの局所極値は、潜在的な反転領域を示し、モメンタムが回復から下落へ、あるいは下落から回復へと移行する位置を定量的に把握するため、評価分析において重要な役割を果たします。