Mätning av Chladni Mode Shapes med en optisk levermetod

Summary

En enkel metod för att mäta Chladni-lägesformen på en elastisk platta av principen om en optisk hävstång föreslås.

Abstract

Kvantitativt bestämma Chladni mönster av en elastisk platta är av stort intresse för både fysisk vetenskap och tekniska tillämpningar. I detta papper föreslås en metod för att mäta lägesformer av en vibrerande platta baserad på en optisk hävarmmetod. Tre cirkulära akrylplattor var anställda i mätningen under olika centerharmonikiska excitationer. Skiljer sig från en traditionell metod, endast en vanlig laserpenna och en ljusskärm av slipat glas är anställda i denna nya strategi. Tillvägagångssättet är följande: laserpennan projicerar en stråle till vibrerande plattan vinkelrätt, och därefter reflekteras strålen till ljusskärmen i avståndet, på vilket ett linjesegment som är tillverkat av den reflekterade fläcken bildas. På grund av principen om vision uthållighet, kunde ljusfläcken läsas som en ljus rak linje. Förhållandet mellan lägesformens lutning, ljusfläckens längd och vibrerande plattans avstånd och ljusskärmen kan erhållas med algebraiska operationer. Då kan lägesformen bestämmas genom att lutningsfördelningen integreras med passande randförhållanden. Full-field mode former chladni plattan kan också bestämmas ytterligare på ett sådant enkelt sätt.

Introduction

Chladni-lägesformer är av stort intresse för både naturvetenskapliga och ingenjörsmässiga tillämpningar. Chladni mönster är reaktioner av fysiska vågor, och man kan illustrera vågmönstret med olika metoder. Det är en välkänd metod för att visa de olika vibrationslägena på en elastisk platta genom att skissera de nodallinjer. Små partiklar är alltid anställda för att visa Chladni-mönstren, eftersom de kan stanna vid noderna där den relativa vibrerande amplituden av plattan är noll, och nodernas positioner varierar med resonansläge för att bilda olika Chladni-mönster.

Många forskare har uppmärksammat olika Chladni mönster, men de visar bara nodal linjerna i läget former, är läget former (dvs vibrationer amplitud) mellan nodal linjerna inte illustreras. Waller undersökte de fria vibrationerna av en cirkel¹, en kvadrat², en likvinner rätt vinklade^{trianglar 3}, en rektangulär⁴, elliptiska^{5 plattor,} och olika Chladni mönster illustreras däri. Tuan et al. rekonstruerade olika Chladni mönster genom både experimentella och teoretiska tillvägagångssätt, och den inhomogena Helmholtz ekvationen antas under den teoretiska modellering^6,7. Det är en populär metod för att använda Laser Doppler Vibrometer (LDV) eller Elektroniska Speckle Mönster Interferometry (ESPI) för att kvantitativt mäta läge formerna av Chladni mönster^8,9,10. Även om LDV möjliggör femtometer amplitud upplösning och mycket hög frekvensintervall, tyvärr, priset på LDV är också lite dyrt för klassrummet demonstration och / eller högskoleutbildning fysik. Med detta övervägande föreslog det föreliggande papperet en enkel metod för att kvantitativt bestämma lägesformerna för ett Chladni-mönster med låg kostnad, eftersom endast en extra laserpenna och en ljusskärm behövs här.

Den föreliggande mätmetoden illustreras i figur 1¹¹. Vibrerande plattan har tre olika lägen: viloläge, läge 1 och läge 2. Position 1 och 2 representerar de två maximala vibrerande ställena av plattan. En laserpenna projicerar en rak stråle på plattans yta, och om plattan lokaliserar vid vilopositionen kommer laserstrålen att direkt reflekteras till ljusskärmen. Medan plattan lokaliserar på position 1 och 2, då laserstrålen kommer att reflekteras till punkt A och B på ljusskärmen, respektive. På grund av effekten av uthållighet vision, kommer det att finnas en ljus rak linje på ljusskärmen. Längden på det starka ljuset L är relaterad till avståndet D mellan ljusskärmen och laserpunktens placering. Olika punkter på plattan har olika backar, som skulle kunna bestämmas av förhållandet mellan L och D. Efter att ha erhållit lägesformens lutning på olika ställen på plattan, förvandlas problemet till en bestämd integral. Med hjälp av plattans gränsvibrationsamplitud och de diskreta lutningsdata kan vibrerande plattans lägesform erhållas enkelt. Hela experimentupplägget anges i figur 2¹¹.

Detta dokument beskriver den experimentella inställning och förfarande för optiska spaken metod för att mäta Chladni läge former. Vissa typiska experimentella resultat illustreras också.

Protocol

1. Experimentell inställning och förfaranden

OBS: Sätt upp experimentsystemet enligt bild 2.

1. Förberedelse av vibrationssystemet
   1. Förbered tre 1,0-mm-tjocklek speglade cirkelformade akrylplattor med diameter på 150 mm, 200 mm respektive 250 mm. Borra ett hål på 3 mm i diameter vid mitten av varje platta. Markera flera svarta punkter var 5 mm längs en godtycklig radie.
   2. Fäst varje platta på vibratorns stång med en bult i mittpunkten. Kör vibratorn med en sinusvåg med hjälp av en vågformsgenerator, och standardinställningar kommer att räcka för resonansexperimentet.
      OBS: Vibratorns excitationsriktning är horisontell för att underlätta att du flyttar skärmen efteråt.
   3. Förvärv av resonansfrekvensen
      1. Placera laserpennan för att projicera laserstrålen till den vibrerande plattan vinkelrätt så att strålen reflekteras till ljusskärmen i fjärran. Avstånden mellan laserpennan och plattan och ljusskärmen är 120 mm respektive 500 mm.
         OBS: Ju längre avståndet mellan ljusskärmen och den vibrerande plattan, desto mer uppenbart visas fenomenet. Det noteras också att den nuvarande metoden kan användas för att mäta antingen axelsymmetriska eller icke-axelsystmetriska lägesformer. På grund av hänsyn till enkelhet och bekvämlighet, visar föreliggande manuskript endast ansökan vid fastställandet av axelsymetriska läge former av tre cirkulära plattor. Då behöver vi bara mäta vibrationsamplituden längs någon radiell riktning för att rekonstruera plattans tvådimensionella lägesform.
      2. Flytta laserpennan längs riktningen vinkelrätt mot dess längdriktning för att göra incidentpunktens avsökning över en diameter medan signalgeneratorn ändrar sin frekvens kontinuerligt. Gör det snabbt tills spotlängden är betydligt sträckt längs diametern vid skanning i ett visst frekvensområde, och vissa fläckar med nästan ingen expansion visas. För plattan med en diameter på 150 mm, 200 mm och 250 mm är de frekvensomfång som sveps med 200–400 Hz, 100–300 Hz respektive 50–250 Hz.
      3. Skanna denna viss frekvensområdet långsamt och plocka ut den frekvens som platsen expanderar mest uppenbart. Det konstateras att för plattan med en diameter på 150 mm, 200 mm och 250 mm är resonansfrekvenserna 346 Hz, 214 Hz respektive 150 Hz.
2. Förberedelse av ljusbanan och mätsystemet
   1. Placera ljusskärmen parallellt med den vibrerande plattan. Markera avståndet med en mätarlinjal, och använd 500 mm som startsträcka.
   2. Placera laserpennan för att projicera strålen vinkelrätt på plattan så att strålen reflekteras till ljusskärmen i fjärran. Se till att märket som gjorts innan kan skannas medan laserpennan rör sig.
      OBS: Laserstrålens ljus måste projiceras vinkelrätt på plattan.
3. Experimentell mätning
   1. Sätt på signalgeneratorn och ställ in magnetiseringsfrekvensen till samma som resonansfrekvensen som erhålls i steg 1.1.3.3. Signalintensiteten bör så liten som möjligt när ljusfläcken på ljusskärmen är tillräckligt stor för att spelas in.
   2. Justera laserpennan för att få incidentpunkten att sammanfalla med den första markören, som är den närmaste markören till plattans fasta punkt.
   3. Flytta skärmen från ett avstånd D på 500 mm till 1000 mm och mät spotlängden L på skärmen var 50 mm. Registrera data i tabellform.
   4. Justera laserpennan så att infallandet blir angränsande till nästa markör i tur och ordning och upprepa steg 1.3.3 tills alla brytpunkter har mätts.
      OBS: Eftersom akrylplattor lätt deformeras plastiskt under excitering, kan den experimentella mätprocessen av en platta inte pausas under lång tid.
   5. Byt ut den tidigare plattan mot nästa och upprepa steg 1.3.1 till 1.3.4.

2. Databehandling

1. Bestäm vinkeln θ mellan incidenten och reflekterat ljus med relation:
   
   där D är avståndet mellan vibrerande plattans vibrerande plattas vibreringsläge och ljusskärmen, w är vibrerande amplitud av plattan, och L är längden på ljusfläcken på ljusskärmen. Flera par av D och L erhålls i steg 1.3.3.
2. Bestäm lägesformens lutning genom att:
   
   OBS: Den erhållna lutningen är alltid positiv med Eqs. (1) och (2).
3. Använd ett minustecken mellan två nollpunkter för att erhålla den sanna lutningsfördelningen.
   OBS: Det spelar ingen roll om revideringen börjar från den första eller den andra nollpunkten.
4. Integrera lutningsfördelningen för varje platta och bestäm integralkonstanten genom noderna för att erhålla lägesformen med:
   
   OBS: Noder motsvarar lägesformens största lutning. är en konstant som bestäms av platsen för nodallinjerna i Chladni-mönstret som visas i figur 2.
5. Beräkna osäkerheten av slutta^{12 med:}
   
   OBS: t_0,95(n – 2) är t fördelningsfaktor med 95% förtroende och frihetsgrader n-2, och det handlar om 2 här. S_r är standardfelet för den linjära regressionen med D och L, U_m betecknar osäkerheten för det uppmätta avståndet D_i, och är 0,5 mm här. Det genomsnittliga uppmätta avståndet definieras av , och n betecknar det totala antalet uppmätta D_i.

Representative Results

Excitationsfrekvensen som kan excitera axisymmetriskt Chladni-mönster bestäms genom frekvenssvepningstestet. Tre cirkulära akrylplattor med diametrar på 150 mm, 200 mm och 250 mm testas, och resultat visar att den första ordningens axelsymetriska resonansfrekvenser är 346 Hz, 214 Hz respektive 150 Hz för de tre plattorna. Slutsatsen är att med större diameter är plattan mer flexibel, och motsvarande resonansfrekvens blir mindre. Akrylplattans Chladnimönster med olika diametrar anges i figur 3¹¹.

Under motsvarande resonansfrekvens kan längden på ljusfläcken på olika plattors ljusskärm mätas och registreras. Regressionsvärdet för lägesformlutning kan erhållas med Eq.(1), vars fördelningar längs plattan A, B och C:s radiella riktning anges i tabell 1¹¹, och de bestäms genom mätning av flera olika ljusfläckslängder L av den specifika laserpunkten med olika avstånd D.

Numerisk simulering med ANSYS utförs för att verifiera de föreliggande experimentella resultaten. Skriptkoden för APDL (ANSYS Parametric Design Language) tillhandahålls som en Tilläggsfil 1. I figur 4¹¹ visas jämförelserna av de föreliggande experimentella resultaten och numeriska resultat på olika plattors lägesform. Det är mycket tydligt att alla resultat med olika förhållanden jämför mycket väl, som bevisar genomförbarheten av den nuvarande metoden i mätning av lägesformen av plattor.

Figur 1: Illustration av föreliggande mätmetod.
Den grundläggande mätobjektet illustreras i denna figur, med tonvikt på infallande och reflektera ljusstråle och förhållandet mellan olika geometriska parametrar. Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Bild 2: Den experimentella uppställningen.
Bilden av experimentella setup ges för klart förstå och replikera mätmetoden lätt. Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Figur 3: Chladni-mönster av olika akrylplattor: (a) 150 mm, (b) 200 mm, (c) 250 mm.
Chladni-mönstren för tre olika akrylcirkulerade plattor ges respektive. De bruna partiklarna är sand och visar tydligt nodallinjen i Chladni-mönstren. Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Figur 4: Jämförelser av försöksresultat och numerisk simulering för olika plattors lägesformer: a) 150 mm, b) 200 mm, c) 250 mm.
De numeriska resultat som erhålls med ANSYS och de föreliggande experimentella resultaten jämförs för att verifiera tillförlitligheten hos den föreliggande experimentella metoden. Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Platta A (Diameter=150 mm)			Platta B (Diameter=200 mm)			Platta C (Diameter=250 mm)
r/mm	Direkt beräknad lutning	Reviderad lutning	r/mm	Direkt beräknad lutning	Reviderad lutning	r/mm	Direkt beräknad lutning	Reviderad lutning
5	0.001913	0.001913	7	0.002668	0.002668	7	0.0013	0.0013
10	0.001478	0.001478	12	0.00269	0.00269	12	0.001613	0.001613
15	0.00144	0.00144	17	0.002785	0.02785	17	0.002055	0.002055
20	0.001088	0.001088	22	0.00269	0.00269	22	0.002283	0.002283
25	0.00061	0.00061	28	0.002543	0.002543	27	0.002618	0.002618
30	0.000388	0.000388	38	0.001858	0.001858	32	0.00256	0.00256
35	0.000883	-0.000883	48	0.000748	0.000748	37	0.00209	0.00209
40	0.001733	-0.001733	58	0.000668	0.000668	42	0.002128	0.002128
45	0.002478	-0.002478	68	0.00082	-0.00082	47	0.001723	0.001723
50	0.003433	-0.003433	72	0.001583	-0.001583	52	0.001568	0.001568
55	0.00389	-0.00389	77	0.00241	-0.00241	57	0.001	0.001
60	0.002705	-0.002705	82	0.002813	-0.002813	62	0.004175	0.004175
65	0.002283	-0.002283	87	0.0026	-0.0026	67	0.001175	0.001175
70	0.002223	-0.002223	97	0.002264	-0.002264	72	0.002825	-0.002825
						77	0.000873	-0.000873
						82	0.001205	-0.001205
						87	0.001538	-0.001538
						92	0.00176	-0.00176
						97	0.001983	-0.001983
						102	0.002278	-0.002278
						107	0.002745	-0.002745
						112	0.00269	-0.00269
						117	0.002783	-0.002783
						122	0.002218	-0.002218

Tabell 1: Lägesformens lutningsfördelning längs radiell riktning. Lägesformens beräknade lutningsfördelning längs radiell riktning tillhandahålls, och både ursprunglig och reviderad lutning ges för att illustrera revideringsprocessen.

Tillägg Fil 1: ANSYS-skript för simulering av en plattas dynamiska svars- och lägesform. Vänligen klicka här för att ladda ner denna fil.

Discussion

Den optiska hävarmen metoden antas i detta papper för att bestämma lägesformen för en platta, eftersom Chladni-mönstret bara kan visa nodallinjerna i en vibrerande platta. För att bestämma plattans lägesform bör förhållandet mellan ljusskärmens och dekorlängdens lutning och avstånd erhållas i förväg. Sedan genom bestämd integration beräkning, läge formen av Chladni mönstret kunde kvantitativt fastställas.

Generellt omfattar hela processen för det nuvarande tillvägagångssättet följande steg: (1) Utför det forcerad vibrationstestet för att erhålla resonansfrekvensen hos plattan. (2) Genomföra forcerad vibrationstest nära resonansfrekvensen, och registrera koordinaterna för noderna i Chladni-mönstret. Dessa data används för att kalibrera den absoluta lägesform som erhålls genom experimentella tester. (3) Laserplatsen projiceras vinkelrätt till olika radiella platser av plattan, och längden på ljusfläcken på ljusskärmen mäts. Detta test behöver upprepas flera gånger med olika avstånd mellan vibrerande platta och ljusskärm för att erhålla lägesformlutningens linjära regressionsvärde med Eq. (2). (4) Erhåll den experimentella läge formen av Chladni mönstret med Eq. (4) genom efterbearbetning av råda experimentella data.

Det bör påpekas att, även om den nuvarande experimentella demonstrationen endast visar mätning av axelsymmetriska Chladni mönster, det också skulle kunna användas för bestämning av nonaxisymmetriska Chladni mönster i en framåt sätt. Inte bara cirkulära plattor, men även andra former, såsom triangel, rektangulära, och även oregelbundna former kan användas för att visa skönheten i Chladni mönster. Om mätpunktstätheten, laserkällan, mätverktyget, liksom den integrerade beräkningsmetoden väljs noggrant, skulle dessutom den föreslagna metodens noggrannhet kunna anpassas till erforderlig nivå.

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
Acrylic plates	Dongguan Jinzhu Lens Products Factory		Three 1.0-mm-thickness mirrored circular acrylic plates with diameter of 150 mm, 200 mm and 250 mm respectively. They are easily deformed.
Laser pen	Deli Group	2802	Red laser is more friendly to the viewer. The finer the laser beam, the better.
Light screen	Northern Tempered Glass Custom Taobao Store		Several layers of frosted stickers can be placed on the glass to achieve the effect of frosted glass.
Ruler	Deli Group	DL8015	The length is 1m and the division value is 1mm.
Signal generator	Dayang Science Education Taobao Store	TFG6920A	Common ones in university laboratories are available.
Vibrator	Dayang Science Education Taobao Store		The maximum amplitude is 1.5cm.The power is large enough to cause a noticeable phenomenon when the board vibrates. Otherwise, add a power amplifier.