Векторы в нескольких направлениях

Векторы — это величины как с величиной, так и с направлением, в отличие от скаляров, которые имеют только величину и знак.

Сила, ускорение и скорость являются примерами векторов. В то время как масса, энергия и время являются примерами скалярий.

Вектор обычно представлен стрелкой. Длина стрелки соответствует ее величине, а угол указывает направление.

В этом видео будет показана система сил, которую можно анализировать с помощью сложения и вычитания векторов, и будет продемонстрировано, как такие операции дают результаты, важные для понимания нескольких физических явлений.

Для описания вектора требуется система координат. В рамках выбранной системы отсчета этот пример мяча, подброшенного в воздух, имеет начальный вектор скорости. Как объяснялось ранее, длина стрелки представляет собой величину скорости. А направление вектора - это его угол от земли.

Любой вектор может быть разложен на компоненты, которые сами являются векторами вдоль осей x и y. Если начальная скорость мяча равна 20 метрам в секунду при 60 градусах, то горизонтальная составляющая равна скорости умноженной на косинус 60 градусов и имеет величину 10 метров в секунду. Вертикальная составляющая равна скорости умноженной на синус 60 градусов и имеет величину около 17,3 метра в секунду.

Векторное сложение горизонтальной и вертикальной составляющих восстанавливает исходный вектор скорости. Чтобы добавить векторы, представьте, что голова одного из них находится в хвосте другого. В этом примере векторы расположены под прямым углом. Сумма получается при движении непосредственно от хвоста первого к голове второго.

Эти компоненты находятся под прямым углом, поэтому величина суммы задается теоремой Пифагора. Угол — это арктангенс вертикальной составляющей, деленный на горизонтальную составляющую.

При сложении двух векторов, которые не перпендикулярны, разложите каждый на x- и y-компоненты, а затем добавьте соответствующие компоненты. Наконец, вычислите векторную сумму горизонтальных и вертикальных компонентов, как объяснялось ранее. Вычитание одного вектора из другого эквивалентно отрицанию второго вектора и присоединению его к первому. Как и раньше, разложите каждый вектор на x- и y-компоненты. Затем вычтите меньшую x-компоненту из большей и проделайте то же самое для y-компонентов. Затем, как и раньше, вычислим векторную сумму полученных x- и y-компонентов.

Чтобы продемонстрировать сложение и вычитание векторов в физической лаборатории, обычно используется таблица сил. Это диск с размеченными по периметру углами, кольцо в центре, прикрепленное к шнурам с массами на другом конце, подвешенным на шкивах. Массы создают силы, которые являются векторами для изучения. Сила, действующая вдоль каждого шнура, равна гравитационной силе, или мг, выраженной в ньютонах.

Теперь, в этой схеме, если есть всего две равные массы под углом 180 градусов друг от друга, то они создают силы с векторной суммой, равной нулю. Это состояние называется равновесием, которое приводит к нулевому ускорению и, таким образом, кольцо не будет двигаться.

Но если две силы, тянущие кольцо, не компенсируют друг друга, например, из-за изменения угла, то ненулевая результирующая сила заставит кольцо двигаться. В таких случаях, если мы знаем величины и направления этих сил, то мы можем использовать сложение и вычитание векторов для вычисления третьей силы, необходимой для восстановления равновесия.

В следующем разделе мы покажем, как проводить такие эксперименты с таблицей сил, которые проверяют теоретические принципы сложения и вычитания векторов

Если две силы равны и противоположны, кольцо в центре таблицы не должно двигаться. В этом случае каждый вектор силы точно противоположен другому по величине и направлению. Векторная сумма имеет нулевую величину, которая является условием нулевой результирующей силы, или равновесия.

Чтобы проверить принципы сложения и вычитания векторов, установите массы и углы для сил A и B, как указано в первой строке этой таблицы. Держите угол для A равным нулю градусов. Теперь настройте третью силу, добавив массы и изменяя угол до тех пор, пока кольцо не перестанет двигаться.

После достижения равновесия рассчитайте силу С, умножив ее массу на ускорение, вызванное действием силы тяжести. Также запишите величину и угол силы C.

Повторите этот тест для трех разных случаев и каждый раз записывайте величину и угол силы C.

Для четырех экспериментальных установок в этой таблице показаны рассчитанные величины сил A и B, а также углы B относительно A. Используя первую установку в качестве примера, мы можем рассчитать силу C, необходимую для установления равновесия на столе.

Здесь сила A имеет величину 0,98 Ньютона при 0?. Сила B имеет ту же величину 0,98 ньютона, но угол 20°. Чтобы определить вектор для C, разложите силы A и B на их x- и y-компоненты. Обратите внимание, что сила A направлена только вдоль оси x и не имеет y-компонента. Затем сложите компоненты, чтобы получить x- и y-векторы, которые являются суммой векторов A и B.

Для достижения равновесия x- и y-компоненты C должны быть противоположны этим векторам. Чтобы получить вектор C, переместите хвост его y-компонента в голову x-компонента. Затем сложите два вектора, используя теорему Пифагора, чтобы найти величину вектора C. А угол для C — это арктангенс вертикальной составляющей, деленный на горизонтальную составляющую. Следовательно, расчетная величина С оказывается равной 1,93 Ньютона под углом 10? Относительно оси X.

Теперь во время эксперимента мы вычисляем C путем наблюдений и проб и ошибок, регулируя веса и углы, чтобы предотвратить движение кольца на таблице сил.

И эта таблица показывает, что экспериментальные и расчетные результаты как для величины, так и для угла близко совпадают для всех четырех установок. Это соглашение подтверждает представление сил в виде векторов. Разница может быть связана с ограничениями в точности весов, точности измерения угла и неучтенными силами, вызванными трением о таблицу сил и со шкивами.

Векторное сложение и вычитание используются как в простых, так и в сложных приложениях. Давайте рассмотрим некоторые из них.

Когда вы путешествуете по такому городу, как Нью-Йорк, расстояние обычно измеряется в кварталах, а направления — север, юг, восток и запад.

Человек, идущий четыре квартала на восток и три квартала на север, претерпевает изменение положения, которое является векторной величиной. Таким образом, применяя уравнения для сложения векторов, можно вычислить величину и направление вектора между начальной и конечной точками прогулки.

От ходьбы к полету: пилот постоянно выполняет сложение и вычитание мысленного вектора для маневрирования самолетом. Используя закрылки и элероны крыла, пилот может регулировать подъемную силу против силы тяжести. Если подъемная сила больше силы тяжести, самолет поднимается вверх. Если подъемная сила меньше гравитационной силы, она опускается.

Точно так же пилот использует двигатели для регулировки тяги в зависимости от лобового сопротивления. Если тяга больше лобового сопротивления, самолет ускоряется. Если тяга меньше лобового сопротивления, она замедляется.

Когда сумма этих четырех сил равна нулю, самолет находится в равновесии и движется с постоянной скоростью и высотой.

Вы только что посмотрели введение в векторы от JoVE. Теперь вы должны знать, как складывать и вычитать векторы, а также понимать, как определенные физические величины ведут себя как векторы. Спасибо за просмотр!