Угловой момент

Вращающаяся масса обладает свойством момента импульса, и сохранение момента импульса занимает центральное место в решении задач динамики вращения.

Как объясняется в другом видео из этой коллекции, линейный импульс объекта не изменяется, то есть ?p равен нулю до тех пор, пока не будет приложена результирующая внешняя сила.

Тот же принцип сохранения применим и к угловому моменту, обозначаемому буквой L. Итак? L также равно нулю до тех пор, пока не будет приложен чистый внешний крутящий момент.

Здесь мы сначала объясним концепцию углового момента и покажем, как он сохраняется, на различных примерах. Затем в ролике будет продемонстрирован лабораторный эксперимент по измерению момента импульса для спиннинга.

Чтобы понять угловой момент, давайте рассмотрим шар, прикрепленный к веревке, который совершает вращательное движение вокруг оси. Величина углового момента этого шара 'L' равна r - радиусу окружности - умноженному на p, который является поступательным моментом. Теперь p — масса, умноженная на скорость, где скорость — тангенциальная скорость. Тангенциальная скорость равна угловой скорости '?' умноженной на r. Направление углового момента задается правилом правой руки. Если сгибать пальцы правой руки в направлении вращения, то вытянутый большой палец указывает в направлении углового момента системы.

Основываясь на этой формуле и принципе сохранения момента импульса, мы можем предсказать, что при отсутствии результирующего внешнего крутящего момента, если r уменьшается ? увеличится, а если r увеличится ? уменьшится.

Этот принцип сохранения момента импульса проявляется и в фигурном катании. С вытянутыми руками конькобежец вращается с одной скоростью, но как только он опускает руки, скорость вращения значительно увеличивается.

Теперь, когда мы рассмотрели принцип сохранения момента импульса, давайте посмотрим на него в действии в физической лаборатории. Для первой демонстрации сядьте на стул, который может свободно вращаться и держать два груза на расстоянии вытянутой руки. Попросите другого человека покрутить стул. Во время вращения поднесите грузы близко к груди и обратите внимание, как увеличивается скорость вращения стула.

Как и в случае с вращающимся фигуристом, когда гири удерживаются далеко от тела, человек на стуле имеет высокий момент инерции из-за относительно большего r. Приближение грузов к телу снижает момент инерции системы, и таким образом, за счет сохранения углового момента скорость вращения увеличивается.

Для второй демонстрации снова сядьте в кресло, которое может свободно вращаться, и держите велосипедное колесо за ручки так, чтобы его ось была вертикальной. Затем вращайте колесо против часовой стрелки, удерживая кресло неподвижным. Согласно правилу правой руки, направление вектора углового момента колеса вертикальное, направленное вверх.

Поверните колесо так, чтобы оно вращалось по часовой стрелке, когда ось снова станет вертикальной. Теперь его угловой момент направлен вниз. Обратите внимание, как стул вращается в ответ.

Велосипедное колесо, человек, который его держит, и стул составляют систему из множества объектов. Когда вращается только колесо, эта система имеет определенный суммарный угловой момент. Хотя человек, держащий руль, прикладывает крутящий момент, чтобы перевернуть его, этот крутящий момент возникает внутри системы, и чистый внешний крутящий момент равен нулю.

При отсутствии внешнего крутящего момента угловой момент сохраняется, то есть он не изменяется. Переворачивание колеса изменяет направление его углового момента. Для того, чтобы сохранить общую величину момента импульса в системе, человек и стул должны вращаться так, чтобы их объединенный вектор момента импульса противостоял вектору колеса.

В результате суммарный угловой момент человека, стула и перевернутого колеса должен иметь одинаковую величину и находиться в том же направлении, что и угловой момент колеса в его исходном положении.

Далее рассмотрим эксперимент по измерению момента импульса спиннинга. Для этого падающий груз тянет за веревку, намотанную на ось. Величина результирующего крутящего момента равна натяжению струны, умноженному на радиус оси. Этот крутящий момент вращает ось, вызывая ускорение вращения прикрепленного к ней стержня. Момент инерции стержня можно рассчитать по его массе M и длине L.

Угловое ускорение спиннингового стержня равно этому крутящему моменту, деленному на момент инерции стержня. Обладая этой информацией, можно в любое время рассчитать угловую скорость из уравнений для кинематики вращения.

Наконец, используя момент инерции и угловую скорость удилища, угловой момент спиннинга будет определяться в двух точках: когда груз упал на полпути и когда он достиг конца своего хода.

Перед началом эксперимента измерьте длину и массу стержня, а затем рассчитайте момент его инерции. С помощью измерительной палочки определите середину движения груза вниз. Отметьте эту точку скотчем на вертикальной балке. Приложите 200 грамм к концу веревки и наматывайте ее до тех пор, пока груз не достигнет верха.

Отпустите груз и измерьте количество времени, чтобы достичь половины пути, и количество времени, чтобы достичь дна. Запишите результаты. Проделайте это три раза и используйте средние значения для вычисления углового момента в обеих точках.

Увеличьте груз на струне до 500 грамм. Выполните процедуру четыре раза и запишите результаты. Затем увеличьте вес до 1000 грамм, повторите процедуру и зафиксируйте результаты.

По мере увеличения массы падающего груза крутящий момент и угловое ускорение на оси спиннинга должны пропорционально увеличиваться. Теоретически, в любой момент времени и угловая скорость, и момент импульса должны увеличиваться пропорционально этому крутящему моменту.

На любом заданном расстоянии, на которое упал груз, угловой момент спиннингового удилища должен был быть пропорционален квадратному корню из массы груза. Эксперимент показал, что угловые моменты при весе 500 граммов действительно были примерно в 1,6 или квадратным корнем из 5/2 раза больше, чем у веса 200 граммов. Аналогичным образом, импульсы при весе 1000 граммов были примерно 1,4, или квадратный корень из 2 единиц массы 500 граммов.

Кроме того, для данного веса крутящий момент и угловое ускорение должны быть постоянными. При этом условии угловая скорость спиннинга должна увеличиваться пропорционально квадратному корню из расстояния, на которое падает груз. Конечное расстояние было в два раза больше расстояния в точке на полпути, поэтому конечный угловой момент был равен 1,4 или квадратному корню из 2 угловых моментов в точке на полпути.

Результаты этого эксперимента согласуются с теорией и подтверждают связь между крутящим моментом и угловым моментом.

Угловой момент является важным свойством вращающихся объектов, и его эффекты лежат в основе многих механических устройств и повседневной деятельности.

Вы наверняка заметили, что на велосипеде легче балансировать, когда он находится в движении. Причиной этого является угловой момент. Когда колеса находятся в движении, они будут иметь некоторое количество углового момента с направлением, перпендикулярным раме. Чем больше угловой момент, тем больше крутящий момент, необходимый для изменения импульса, и, следовательно, велосипед сложнее опрокинуть.

Еще одна система, использующая сохранение углового момента, – вертолеты с двумя несущими винтами. Здесь передний винт вращает лопасти по часовой стрелке, а хвостовой винт вращает лопасти против часовой стрелки. Эти вращения приводят к появлению двух противоположных угловых моментов, которые компенсируют друг друга... В результате достигается сохранение углового момента для всей системы. И именно это не дает вертолету выйти из-под контроля.

Вы только что посмотрели введение JoVE в угловой момент. Теперь вы должны понять, что такое угловой момент, как он сохраняется в различных системах и как он влияет на поведение вращающихся объектов. Как всегда, спасибо за просмотр!