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1.12:

차원 해석

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Chemistry
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Dimensional Analysis

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모든 물리적 양에 대한 올바른 과학적 측정값은 정확한 수치와 적절한 SI 단위로 표현됩니다. 인자 레이블 방법으로도 알려져 있는 차원 해석법은 수량 단위가 해당 숫자와 동일한 수학적 연산에 기초해야 한다는 원칙에 기반한 수학적 접근법입니다. 보통 한 가지 물리량은 상응하는 다른 단위로 표현할 수 있습니다.예를 들어 물체의 길이는 미터 또는 센티미터로 표현될 수 있습니다. 1 미터는 100 센티미터와 같은 길이를 나타냅니다. 차원 해석은 단위 변환 인자를 사용하여 상응하는 단위 사이의 변환을 용이하게 합니다.단위 변환 인자는 동일한 물리량을 측정하는 서로 다른 두 단위 사이의 비율입니다. 예를 들어 미터 또는 센티미터 단위의 길이는 100 센티미터 당 1 미터, 그리고 1 미터 당 100 센티미터의 변환 인자를 사용하여 서로 변환할 수 있습니다. 결과적으로 원하는 단위에 따라 비율을 선택하면 됩니다.따라서 미터 단위로 길이를 결정하기 위해 올바른 단위 변환 인자는 센티미터 단위 대신에 미터를 남기는 비율입니다. 키가 500 센티미터인 기린을 생각해 봅시다. 키를 미터로 표현하려면 숫자와 단위를 모두 적절한 변환 인자로 곱해야 합니다.숫자는 최종값 5를 산출하고 단위는 미터를 제외하고 서로 상쇄되어야 합니다. 따라서 기린의 키는 5미터와 같습니다. 때로는 어떤 물리량을 직접 측정할 수 없으므로 직접 측정 가능한 다른 특성에 방정식과 산술 연산을 적용하여 계산합니다.예를 들어, 물체의 밀도는 질량과 부피로부터 계산할 수 있습니다. 질량이 12그램이고 부피가 6세제곱 센티미터인 플라스틱 공을 생각해 보세요. 이 공의 밀도는 질량을 부피로 나누어서 결정할 수 있습니다.숫자와 단위를 나누어 밀도를 세제곱 센티미터 당 2 그램으로 산출합니다. 단위는 숫자와 마찬가지로 모든 계산 단계를 거칩니다. 마지막에 산출량은 적절한 단위를 가져야 하는데 그렇지 않은 경우 이는 전환 인자가 잘못되었음을 뜻합니다.예를 들어, 질량이 45킬로그램인 개가 초속 11미터로 달리는 경우 운동 에너지는 질량을 속도의 두제곱으로 곱하고 2로 나눈 수학적 방정식을 사용하여 계산할 수 있습니다. 개의 속도는 초 제곱당 121 미터 제곱으로 되고 거기에 45 킬로그램의 질량을 곱합니다. 마지막으로, 총량을 2로 나누어서 개의 운동 에너지를 초의 두제곱 당 2722.5 킬로그램 미터 제곱으로 산출합니다.유효 숫자를 고려하여 운동 에너지를 2700으로 반올림하거나 2.7 곱하기 103 제곱 초당 킬로그램 미터 제곱을 산출합니다. 에너지의 SI 단위는 줄이며 1줄은 1제곱 초당 1 킬로그램 미터 제곱과 같으므로 2.7 곱하기 103 줄로 운동 에너지를 산출합니다.

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차원 해석

인자 레이블 메서드라고도 하는 치수 분석은 수학적 작업에 대한 다목적 접근 방식입니다. 이 방법의 주요 원칙은 수량 단위가 관련 번호와 동일한 수학적 작업을 수행해야 한다는 것입니다. 이 메서드는 간단한 단위 변환에서 여러 가지 수량 및 해당 단위를 포함하는 보다 복잡하고 다중 단계 계산에 이르기까지 계산에 적용할 수 있습니다.

전환 요인 및 치수 분석

단위 변환 계수는 서로 다른 측정 단위로 표현된 두 개의 동등한 수량의 비율입니다. 예를 들어 1.0936 야드와 1미터는 동일한 길이를 측정합니다(정의에 따르면 1.0936 yd = 1m). 따라서, 이 두 개의 동등한 단위 사이를 변환하기 위하여, 단위 변환 계수는 비율에서 파생됩니다

Eq1

수량(예: 야드의 거리)이 적절한 단위 변환 계수로 곱되거나 분할되면 수량은 서로 다른 단위(예: 미터의 거리)와 동등한 값으로 변환됩니다. 예를 들어, 25.0m 길이의 잔디를 적절한 변환 계수와 곱하여 야드로 변환할 수 있습니다.

Eq2

이 간단한 산술은 수량을 포함하기 때문에 치수 분석의 전제는 숫자와 단위를 모두 곱해야합니다. 이 두 수량의 숫자가 곱되어 제품 수의 수를 산출하기 위해 27.3, 마찬가지로 단위가 곱됩니다. 숫자와 마찬가지로 동일한 단위의 비율도 숫자와 같으며 단위 제품은 yd로 단순화됩니다. 동일한 단위가 1의 계수를 산출하기 위해 분할하면 “취소”라고 합니다.

치수 분석은 단위 변환 계수의 적절한 적용을 확인하기 위해 사용될 수있다. 500cm 키 기린을 생각해 보십시오. 미터의 높이를 계산하려면 미터를 제외한 다른 모든 단위를 취소해야 하는 올바른 변환 계수를 사용해야 합니다. 미터 및 센티미터 의 길이에 대한 단위 변환 계수는

Eq3

올바른 단위 변환 계수는 센티미터 단위를 취소하고 미터 단위로 답을 제공하는 비율입니다.

Eq4

전원으로 기체로 단위 변환

전원에 제기 된 단위에 대한 변환 요소를 적용하는 동안, 숫자와 단위모두 동일한 전력으로 제기된다. 예를 들어 yd2에서 m2로변환하려면 yd와 m 간의 관계가 사용됩니다.

Eq5

Eq6

Eq7

Eq8

간단한 단위 변환 외에도 계수 레이블 방법을 사용하여 계산과 관련된 보다 복잡한 문제를 해결할 수 있습니다. 기본 방법은 동일합니다- 계산에 관련된 모든 요소는 해당 장치가 적절하게 취소 및/또는 결합하여 결과에 원하는 단위를 산출할 수 있도록 적절하게 지향되어야 합니다.

이 텍스트는 Openstax, 화학 2e, 섹션 1.6: 측정 결과의 수학적 처리에서 적용되었습니다.