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1.12:

寸法分析

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Chemistry
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Dimensional Analysis

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あらゆる物理量の 正しい科学的測定は 希望するSI単位で表現された 正確な数値によって 表されます 因子ラベル法としても 知られる次元分析は 量の単位が関連する数値と 同じ数学的操作を 受けなければならないという 原則に基づく 数学的アプローチです 多くの場合 単一の物理量は 異なるが同等の単位で 表現されることがあります 例えば 物体の長さは メートルやセンチメートルで 表すことができ 1メートルは 100センチメートルと 同じ長さを表します 単位間の変換を 単位変換係数を使用して 容易に行うことができます 単位換算係数とは 同じ物理量を測定する 2つの異なる単位間の 比率のことです 例えば メートルまたは センチメートル単位の長さは 変換係数を使用して 相互変換することができます 100センチは1メートル 1メートルは100センチです 選択の比率は 希望する結果の 単位に依存します したがって メートルで 長さを決定するには 正しい単位変換係数は センチメートルの単位を キャンセルして メートルを残す比率です 身長500センチのキリンを 考えてみましょう その身長をメートルで表すには 数字と単位の両方に 適切な換算係数を かける必要があります 数字は 5をもたらし 単位は メートルを除いて お互いを相殺します したがって キリンの身長は 5メートルに相当します 直接測定できない物理量が 他の直接測定された特性から 方程式や 算術演算を使って 計算されることがあります 例えば 物体の密度は その質量と 体積から計算することができます 例えば 質量12グラム 体積6立方センチメートルの プラスチック製のボールを 考えてみましょう その質量を体積で割ることで 密度を求めることができます 数字と単位を分割して 1立方センチメートルあたり 2グラムとなります 単位は 数字と同じように 計算のすべてのステップで 使われます 最終的には 製品の量は 希望する単位を使うべきであり そうでない場合 これは 変換係数の使用のエラーを 示しています 例えば質量45キログラムの犬が 毎秒11メートルの速度で 走るときの運動エネルギーは 質量×速度の2乗を2で割った 数式を使って 計算することができます 犬の速度を 秒速121メートルを2乗にして 質量45キログラムを 掛け合わせます 最後に 合計量を2で割ると 犬の運動エネルギーは 2722となり キログラムメートルの2乗/秒が 単位です 有効数字を考慮すると 運動エネルギーは 2700に四捨五入され 2.7×10の3乗になります エネルギーのSI単位は ジュールであり これはキログラム xメートルの2乗/秒の2乗 つまり2.7 x 10の3乗 ジュールに 相当します

1.12:

寸法分析

寸法分析は、係数ラベル法とも呼ばれ、数学演算のための汎用的なアプローチです。 このアプローチの主な原則は、数量の単位は、関連する数値と同じ数学演算を受ける必要があるということです。 この方法は、単純な単位変換から、複数の異なる数量と単位を含むより複雑な複数ステップの計算まで、さまざまな計算に適用できます。

換算係数と寸法分析

単位変換係数は、異なる測定単位で表された 2 つの等価な数量の比率のことです。 例えば、 1.0936 ヤードおよび 1 メートルは同じ長さを測定します(定義によると、 1.0936 ヤード = 1 m )。 したがって、これら 2 つの等価単位の間で変換する場合、比率から単位変換係数を導き出します。

Eq1

数量(ヤード単位の距離など)を適切な単位変換係数で乗算または除算すると、数量は異なる単位(メートル単位の距離など)を持つ等しい値に変換されます。 例えば、 25.0 m の長さの芝生は、適切な変換係数を掛けてヤードに変換できます。

Eq2

この単純な算術演算には数量が含まれるため、寸法解析の前提として、数値と単位の両方を乗算する必要があります。 これら 2 つの数量の数値が乗算されて、生成物の量の数値が 27.3 になります。同様に、単位も乗算されます。 数値の場合と同様に、同一の単位の比率も数値的に 1 に等しいため、単位積はヤードに単純化されます。 同一の単位が分割して 1 の係数になることを、「相殺」といいます。

単位変換係数の適切な適用を確認するために、寸法分析を行うことがあります。 高さ 500cm のキリンを考えてみましょう。 高さをメートル単位で計算するには、正しい変換係数を使用する必要があります。これにより、メートル以外のすべての単位が相殺されます。メートルとセンチメートルの長さの単位変換係数は、次のように表されます

Eq3

正しい単位変換係数は、センチメートルの単位を相殺して、メートル単位の答えを出す比率です。

Eq4

指数単位を上げる単位変換

指数単位を上げる単位に変換係数を適用すると、数値と単位の両方が同じ指数に上がります。 たとえば、 yd2 から m2 に変換するには、 yd と m の関係を使用します。        

Eq5

Eq6

Eq7

Eq8

単純な単位変換だけでなく、係数ラベル法を使用して、計算に関連するより複雑な問題を解決できます。 基本的なアプローチは同じです。計算に含まれるすべての要素は、その単位が適切に相殺されたり、組み合わせたりして、結果として目的の単位が得られるように、適切に方向付けられる必要があります。

このテキストは 、 Openstax, Chemistry 2e, Section 1.6: Measurement Results の数学的な処理に基づいています。