回転慣性

Rotational Inertia

JoVE Science Education
Physics I

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JoVE Science Education Physics I

Rotational Inertia

1.9: Equilibrium and Free-body Diagrams

1.13: Energy and Work

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07:48 min

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February 06, 2015

Overview

ソース:ニコラス・ティモンズ、 Asantha Cooray、PhD、物理教室 & 天文学、物理的な科学の学校、カリフォルニア大学、アーバイン、カリフォルニア州

慣性加速する物体の抵抗であります。直線運動でこの概念は直接オブジェクトの質量に関連します。オブジェクトより多くの力をより大規模なオブジェクトを加速する必要があります。これはニュートンの第 2 法則は、力は質量と加速度と等しい状態で直接見られます。

回転、回転慣性という似たようなコンセプトがあります。この場合、回転の慣性は加速されて回転する物体の抵抗です。回転慣性は回転の中心から質量の距離にも、質量だけでなく依存です。

この実験の目的は 2 つの回転固まりの回転慣性を測定し、質量と回転の軸からの距離に依存を決定します。

Principles

特定のオブジェクトまたはオブジェクトのシステムにはいくつかの回転慣性があります。特定の軸についての回転の慣性モーメントと呼びます。質量から回転軸までの距離が重要なために、単一のオブジェクトは回転する軸によって非常に異なる慣性モーメントを持つことができます。オブジェクトの断面 2 次モーメントは、として定義されます。

、 (関係式 1)

オブジェクトの数が。

式 1、 rは質量と回転の軸からの距離です。式でわかるように、慣性モーメントは質量から回転軸までの距離の二乗と物体の質量に依存しています。

回転運動は、類似運動方程式だけどのように線形運動のように運動方程式がある。たとえば、直線的な動きのニュートンの第 2 法則です。

.(式 2)

同じような回転式になります。

、 (式 3)

どこトルクは、は慣性モーメントとは角加速度。ここでは、慣性モーメントでは、ニュートンの第二法則が質量項のアナログ。同様に、慣性モーメントは回転運動の他の重要な方程式であります。

、 (関係式 4)

、 (式 5)

どこオブジェクトの角速度です。

この実験のため質量は文字列の傷の回転の軸線のまわりで回転するアームに接続されます。実験のセットアップのように見える像は、図 1を参照してください。回転アームに接続される 2 つの質量、摩擦はこの実験で無視され、総慣性モーメントは回転の固まりの瞬間プラス回転アームの瞬間に等しくなります。

質量は、重力の影響のために落ちる、回転アームのトルクを制定します。方程式 2、、。ここでは、緊張から来るオブジェクトの力は、、文字列内と力から回転軸までの距離です。ここでは、その距離は回転の軸に巻き弦の端からの距離です。

角加速度によって定義された、どこで落下重量加速度に対応する巻き弦上のポイントの線形加速です。一緒にすべてを置く与える。ニュートンの第 2 法則は、緊張を見つけるためです。オブジェクトの力の合計は、質量と加速度と等しくする必要があります。ここで、落下の重量力は重力 () と緊張、。一定の加速度を想定して、重量が移動する距離とその距離を落下するのにかかる時間です。これは、運動の運動方程式から来ています。

実験では測定可能な量の面で慣性モーメントの式を結果一緒にすべてを置きます。

.(関係式 7)

2 つの質量が等しい距離で回転アームに接続されているかどうか、回転軸から慣性モーメントになります。

、 (関係式 8)

この実験の理論値であります。

図 1。実験のセットアップ。

Procedure

1. 長い棒の慣性モーメントを測定します。

風重量は回転に腕の近くまで重量に接続されている文字列。
体重を落とすし、削除にかかる時間だけでなく、ドロップ距離を測定します。
手順 1.2 3 倍の慣性モーメントは、式 7を使用して、平均を計算します。
次の数式を使用して回転ロッドの理論的な慣性モーメントを計算: 、ロッドの質量と長さです。
実測値と理論値を比較し、違いを記録します。

2. 2 つの塊をロッドに接続されています。

ロッドの中心から離れた場所に 2 つの 100 kg 質量 20 cm。
1.2 と 1.3 添付の固まりとの手順を繰り返します。
総慣性モーメントは、接続されている大衆の moment of inertia プラス棒の慣性モーメントに等しいはずです。この事実、ステップ 1 と式 8からの結果を使用して、接続されている大衆のため理論的・実験的瞬間の慣性を決定します。
実測値と理論値を比較し、相違点を記録します。

3. 距離の慣性モーメントに与える影響。

演習の手順 2 を繰り返しますが、回転の中心から 10 cm に接続されている大衆を移動します。重量やロッドの回転の立ち下がりの変化に注意します。
実測値と理論値を比較し、相違点を記録します。

4. 質量慣性モーメントの効果。

演習の手順 2 を繰り返しますが、大容量サイズを 200 kg に変更します。
実測値と理論値を比較し、相違点を記録します。

回転慣性トルクとオブジェクトの回転加速度との関係を特徴付けます。

慣性は、オブジェクトがその運動状態の変化に抵抗です。直線運動で慣性の概念は、オブジェクトの質量に直結します。オブジェクトより多くの力をより大規模なオブジェクトを加速する必要があります。

回転運動の概念は加速されて回転する物体の抵抗である回転慣性と呼ぶ。表されます文字私、回転の慣性は回転、またはrの中心から質量の距離、また、質量だけでなく、依存します。数学的に、それは私の式に等しいmによって与えられる、*rのスクエア。

小文字のiが回転を受けているオブジェクトの数によって、この数式を与えられた–個々回転慣性の合計である 1 つ以上の回転オブジェクト、システム全体の回転慣性がある場合に注意してください。

このビデオは理論と実験により接続されている質量と回転アームの回転慣性を測定する方法を示します。

プロトコルの詳細に入る前に実験のセットアップや法律やこのシステムの回転慣性を支配方程式についてお話しましょう。

最初のセットアップは、自由に回転の軸線のまわりの回転である車軸で構成されます。文字列に付加するウェイトがあるし、文字列は、重量がロッドの近くにありますが、車軸のまわりに巻かれています。

重量を離すと、文字列の緊張は回転するロッドの力を提供します。回転慣性とも呼ばれる慣性モーメントや角マスとかこのロッドのすることができます実験この数式を使用して計算されます。ここで、 rは車軸のmの半径は落下物体の質量、 tは、測定距離dに該当するオブジェクトに必要な時間、 gは重力加速度

理論上は、任意の円筒棒の慣性モーメントはMロッドとLの質量はロッドの長さはこの式で与えられます。

次の実験では、風の文字列を再び、同じ距離で棒に 2 つの同一の質量を添付中心から x。これらの 2 つの質量慣性モーメント、自分、2 回 m x 正方形を等しい数式によって理論的に与えられました。

今重量を解放すると、ロッドが再び回転します。この場合、前述の数式は、システム指定の実験的慣性は考慮に入れる 2 つの質量の慣性とロッドの慣性の両方。したがって、この値から最初の実験で得られた棒の慣性を差し引くと、このシステムの固まりだけの実験的回転慣性を得られます。

今、あなたが理解してどのように理論的と実験を見てみましょう、このシステムの要素の回転慣性を計算セットアップ実験してどのように値を記録する方法

前述のように、最初の実験では単独での回転棒の慣性モーメントを測定します。体重に関連付けられている文字列を取るし、重量に近い腕まで、車軸のまわり風。体重を落とします。測定し、落ちる距離と落下にかかる時間を記録します。

文字列を風し、3 回以上体重を落とします。回転ロッドの平均慣性モーメントを計算するこれらの試験からの結果を使用し、理論値を計算します。

実験の次のセットは、ロッドに付加質量を配置する必要があります。中心からそれぞれ 20 センチメートルの棒の反対側に 2 つの 1 キログラムの質量を配置します。

風になるまで重量、腕の車軸のまわりの文字列。重量を解放する前との距離を測定それ落ちるし、落下するのにかかる時間。さらに 3 回、この手順を繰り返します。

これらの実験の結果、平均合計の慣性重量をもつ回転ロッドを計算します。

距離が慣性モーメントに及ぼす影響を研究するには、ので、ロッドの中心から各 10 センチ、1 キログラムの固まりを再配置します。

4 回の実験手順し、自転速度に影響に注意してください。新しい平均の慣性固まりおよび結果のレコードのみを計算します。

最後に、質量慣性モーメントの効果を分析するよう各 2 キロ 2 つの塊に変更、ロッドの中心から 20 センチ、それらの位置を変更します。

4 回実験手順を実行し、再び回転ロッドの動作に変更を通知します。新しい平均の慣性固まりおよび結果のレコードのみを計算します。

ロッドとだけで、添付の固まりの慣性モーメントの理論値と実験値は、回転慣性を記述する方程式を確認する合理的にも、同意します。測定精度の制限は、予測と実際の結果のパーセントの違いを説明します。

慣性モーメントは質量、結果 1 キログラムの固まり回転の軸から 20 センチの位置に比例するため、半分 2 キログラムの同じ距離での固まり。

回転固まりの慣性モーメントは回転の軸線からの距離の二乗に比例しています。センターから 20 センチの位置 1 キログラムの固まりは距離の倍を有し、として期待される、4 回慣性モーメントの 10 センチで同じ固まりと比較しています。

回転慣性が重要な影響を与えると、それは多くの状況で有利に使用できます。

綱渡りは、腕だけの使用と比較して彼の慣性のモーメントの増加に長い棒を運ぶ。安定して水平にバランスの取れた滞在する綱渡りを許可するより大きい回転の慣性のためポールが残っています。

車または任意の車両の車輪は、比較的軽量の中心を保ちつつ外側に固まりのほとんどを集中します。このような構成は軽量化だけではなく、固体ディスクより少ない回転慣性を持っています。

その結果、以下のトルクは、スピンし、減速、加速するときにエンジンへの要求を削減、ホイールを停止に必要です。

回転慣性のゼウスの概要を見てきただけ。今、どのような慣性モーメント、質量と回転の中心からの距離に依存する方法を理解しておくべき。いつも見てくれてありがとう!

Results

	理論値 (kg m²)	実験値 (kg m²)	違い (%)
パート 1	0.20	0.22	10
パート 2	0.08	0.07	14
その 3	0.02	0.02	0
その 4	0.16	0.15	6

実験の結果は、式 7 、 8によってなされる予言を確認します。1.4 の手順で数式によって指定された、回転棒の慣性モーメントは実験する.手順 3 で距離が短縮の結果、小さな慣性モーメント、予想通り。手順 4 で質量が大きいが、大きい慣性モーメント、方程式 8によって予測された結果になった

Applications and Summary

綱渡りをする軽業師が非常に長い棒を運ぶ理由を疑問があります?理由は、長い棒がその長さのために非常に大きな慣性モーメントを持っていることです。したがって、多量に回転トルクが必要です。これにより、ポールは堅調を保つ、バランスの取れた滞在する綱渡り。

車や自転車の車輪はありませんちょうど固体ディスク;代わりに、彼らは車軸からホイールをサポートするスポークがあります。これにより、軽量化設計の回転慣性を説明した速度、しかし、アクセシビリティ機能がこのデザインの本当の理由をすることができます。固体ディスクには、フープ状の形よりも大きな慣性モーメントがあります。フープはその小さいモーメントと回転以下のトルクを必要とし、おそらくもっと重要なは、回転が停止するより少ないトルクを必要とします。

野球選手は打席で速球を投げる投手に対して、彼いる場合は、ヒットを得るために彼のスウィングを高速化できます。彼は」窒息”と呼ばれるバットの重い終わりに近い彼の手を単に移動によってこれを達成することができます。これは回転の軸にバットの重心からの距離を短縮します、したがって、バットを回転するねり粉が容易になります。

この実験では、ロッドの断面 2 次モーメントと 2 つの質量の実験的測定し、理論的に計算。これらの値の違いを調べた。質量慣性モーメントの効果は、回転の軸からの距離の影響だけでなく、テストされました。

Transcript

Rotational inertia characterizes the relationship between torque and an object’s rotational acceleration.

Inertia is the resistance an object has to a change in its state of motion. In linear kinematics, the concept of inertia is directly related to the mass of an object. The more massive an object, the more force is required to accelerate that object.

In rotational kinematics, the concept is termed as rotational inertia, which is the resistance of an object to being rotationally accelerated. Rotational inertia, denoted by letter I, is dependent not only on the mass but also on the distance of the mass from the center of rotation, or r. And mathematically, it is given by the formula I equals m*r-square.

Note that if there is more than one rotating object, then the rotational inertia of the whole system is the sum of the individual rotational inertias — given by this formula where lowercase i is for number of objects undergoing rotation.

This video will show how to theoretically and experimentally measure the rotational inertia of a spinning arm with and without attached masses.

Before going into the details of the protocol, let’s talk about the experimental set-up and the laws and equations that govern rotational inertia in this system.

The first set-up consists of an axle, which is free to rotate around an axis of rotation. Then there is a weight attached to a string and the string is wound around the axle, such that the weight is close to the rod.

When the weight is released, the tension in the string provides the force for the rod to spin. The rotational inertia, also known as moment of inertia or angular mass or I of this rod can be experimental calculated using this formula. Here, r is the radius of the axle, m is the mass of the falling object, t is the time the object requires to fall to a measured distance d, and g is the acceleration due to gravity

Theoretically, the moment of inertia of any cylindrical rod is given by this formula, where M is the mass of the rod and L is the length of the rod.

In the next experiment, we will wind the string back, and attach two identical masses to the rod at the same distance x from the center. These two masses have their own moment of inertia, theoretically given by the formula I equals two times m x-square.

Now when the weight is released, the rod will spin again. In this case, the experimental inertia of the system-given by the previously discussed formula- will take into account both, the inertia of the two masses and the inertia of the rod. Therefore, subtracting the rod’s inertia obtained in the first experiment from this value, will yield the experimental rotational inertia of just the masses in this system.

Now that you understand how to theoretically and experimental calculate the rotational inertias for the elements of this system, let’s see how to set-up the experiment and how to record the values

As discussed, the first experiment measures the moment of inertia of the spinning rod alone. Take the string that is attached to the weight and wind it around the axle until the weight is close to the arm. Drop the weight. Measure and record the distance it falls and the time it takes to fall.

Wind the string and drop the weight three more times. Use the results from these trials to calculate the average moment of inertia for the spinning rod, then calculate the theoretical value.

The next set of experiment requires placing additional masses on the rod. Place two 1-kilogram masses on opposite sides of the rod, with each 20 centimeters from the center.

Wind the string around the axle until the weight is close to the arm. As before, release the weight and measure the distance it falls and the time it takes to fall. Repeat this procedure three more times.

With these experimental results, calculate the average total moment of inertia for the spinning rod with attached masses.

To study the effect of distance on the moment of inertia, reposition the 1 kilogram masses so they are each 10 centimeters from the center of the rod.

Perform the experimental procedure four times and notice any effect on the spin rate. Calculate the new average moment of inertia for only the masses and record the result.

Lastly, to analyze the effect of mass on the moment of inertia, change the two masses so they are each 2 kilograms and reposition them so they are 20 centimeters from the center of the rod.

Perform the experimental procedure four times and again notice any change in the behavior of the spinning rod. Calculate the new average moment of inertia for only the masses and record the result.

Theoretical and experimental values for the moment of inertia of the rod, and of the attached masses alone, agree reasonably well, confirming the equations describing rotational inertia. Limitations in measurement accuracy explain the percentage difference between expected and actual results.

Because moment of inertia is proportional to mass, the result for the 1 kilogram masses positioned 20 centimeters from the axis of rotation is half that of the 2 kilogram masses at the same distance.

Moment of inertia for the spinning masses is also proportional to the square of distance from the axis of rotation. The 1 kilogram masses located 20 centimeters from the center have twice the distance and, as expected, four times the moment of inertia compared to the same masses at 10 centimeters.

Rotational inertia is an important effect and it can be used advantageously in many situations.

A tightrope walker carries a long pole to increase his moment of inertia compared to using only his arms. Because of greater rotational inertia, the pole remains steady and horizontal, allowing the tightrope walker to stay balanced

The wheels of a car or any vehicle concentrate most of their mass on the outer side while keeping the center relatively lightweight. This hoop-like configuration is not only lighter but also has less rotational inertia than a solid disk.

As a result, less torque is needed to spin and stop the wheel, reducing demands on the engine when accelerating, as well as decelerating.

You’ve just watched JoVE’s introduction to rotational inertia. You should now understand what moment of inertia is and how it depends on mass and distance from the center of rotation. As always, thanks for watching!