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Diagramas de Equilíbrio e Corpo Livre
 
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Diagramas de Equilíbrio e Corpo Livre

Overview

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Department of Physics & Astronomy, School of Physical Sciences, University of California, Irvine, CA

O equilíbrio é um caso especial na mecânica que é muito importante no cotidiano. Ocorre quando a força líquida e o torque líquido em um objeto ou sistema são ambos zero. Isso significa que as acelerações lineares e angulares são zero. Assim, o objeto está em repouso, ou seu centro de massa está se movendo a uma velocidade constante. No entanto, isso não significa que nenhuma força esteja agindo sobre os objetos dentro do sistema. Na verdade, há muito poucos cenários na Terra em que nenhuma força está agindo sobre qualquer objeto. Se uma pessoa atravessa uma ponte, ela exerce uma força descendente na ponte proporcional à sua massa, e a ponte exerce uma força ascendente igual e oposta sobre a pessoa. Em alguns casos, a ponte pode flexionar em resposta à força descendente da pessoa, e em casos extremos, quando as forças são grandes o suficiente, a ponte pode ficar seriamente deformada ou pode até mesmo fraturar. O estudo dessa flexibilização de objetos em equilíbrio é chamado de elasticidade e se torna extremamente importante quando os engenheiros estão projetando edifícios e estruturas que usamos todos os dias.

Principles

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Os requisitos para um sistema obter equilíbrio são simples de anotar. Em equilíbrio, a soma das forças e a soma dos torques são zero:

Σ F = 0 (Equação 1)

e

Σ τ = 0. (Equação 2)

O torque é uma força angular, definida como o produto cruzado do comprimento do braço da alavanca de onde a força é aplicada ao eixo de rotação. Essa distância é denotada como r:

τ = r x F, (Equação 3)

= r F pecado(φ)

onde φ é o ângulo em que a força é aplicada no braço da alavanca. Para forças perpendiculares em relação ao braço da alavanca, a Equação 3 simplesmente se torna τ = r · F.

Essas equações são simples o suficiente para escrever, mas à medida que o sistema em questão se torna mais complexo, mais forças e torques estão envolvidos, e encontrar a configuração ideal que satisfaz o equilíbrio pode se tornar bastante difícil. A abordagem geral para resolver a Equação 1 é decompor as forças nas direções x-, y e ze, em seguida, resolver a Equação 1 para cada uma das três direções (por exemplo,Σ Fx = Σ Fy = Σ Fz = 0). Em situações em que há apenas movimento no plano xixy, o torque é calculado sobre um eixo perpendicular a esse plano. Este eixo é arbitrariamente escolhido para simplificar os cálculos; se todos os objetos do sistema estiverem em repouso, então a Equação 2 será verdadeira sobre qualquer eixo. Em três dimensões, o eixo de rotação é novamente geralmente escolhido de modo que os cálculos são os mais simples, o que depende da configuração do sistema. Por exemplo, escolher o eixo de rotação para que uma das forças desconhecidas atue através desse eixo resultará em braço de alavanca zero e não produzirá torque (ver Equação 3), fazendo com que um termo a menos apareça na equação de torque. Não há uma única técnica para resolver problemas de equilíbrio, mas escolher sistemas de coordenadas convenientes pode simplificar muito o processo de resolução das Equações 1 e 2.

Quando os objetos do sistema sofrem forças de equilíbrio, alguns deles comprimem ou expandem, dependendo do seu material e da configuração dentro do sistema. Por exemplo, quando uma força é exercida sobre uma vara ou mola, seu comprimento se expandirá proporcionalmente à força, dada pela lei de Hooke:

F = k ΔL, (Equação 4)

onde ΔL é o comprimento da expansão e k é uma constante de proporcionalidade chamada de "constante da primavera".

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Procedure

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1. Observe o equilíbrio em um sistema estático e verifique se a soma das forças e torques é zero. Confirme as constantes de mola k usadas no sistema.

  1. Obtenha uma vara de medidor, duas escamas de mola com constantes de mola conhecidas, dois estandes para suspender as nascentes, dois pesos de massas diferentes, e um mecanismo para suspender os pesos da vara do medidor.
  2. Segure as duas arquibancadas na mesa, com 1 m de diferença.
  3. Coloque as molas nas arquibancadas.
  4. Coloque a mola em cada extremidade da vara do medidor.
  5. Fixar o primeiro peso ao meio da vara do medidor.
  6. Calcule tanto a força quanto o torque exercidos pelo peso na vara do medidor e grave-os na Tabela 1.
  7. Registo a força exercida em cada uma das molas da Tabela 1.
  8. Mude o peso para a esquerda em 0,2 m e repita os passos 1.6-1.7.
  9. Mude o peso para a esquerda mais 0,2 m, de modo que o deslocamento total do centro da vara do medidor é de 0,4 m. Em outras palavras, o comprimento do braço do momento para a mola à esquerda é de 0,1 m, e o comprimento do braço momento para a mola à direita é de 0,9 m.
  10. Repita as etapas 1.5-1.9 para o outro peso.
  11. Calcule a diferença percentual das forças calculadas nas molas esquerda e direita, FL e FR,contra as forças correspondentes lidas nas escalas de mola.

O equilíbrio é um caso especial na mecânica clássica, mas é onipresente na vida cotidiana, enquanto os diagramas de corpo livre ajudam a decifrar as forças subjacentes presentes.

Um sistema está em equilíbrio translacional se as forças que atuam nele são equilibradas, ou seja, a força líquida é zero. O equilíbrio também pode ser estabelecido em um sistema rotacional se o torque líquido, t,for zero.

Além desses casos de equilíbrio estático em que os sistemas estão em repouso, o equilíbrio dinâmico implica que um sistema está se movendo, mas não experimentando aceleração linear ou aceleração angular, a.

Agora, mesmo que um sistema esteja em equilíbrio, uma infinidade de forças individuais ou torques podem estar agindo nele, e diagramas de corpo livre - compostos de formas simples e flechas - são frequentemente implementados a fim de conceituar essas forças e/ou torques agindo em um sistema.

O objetivo deste experimento é entender o equilíbrio de um sistema composto por múltiplos componentes sob a influência de várias forças.

Antes de analisar esse sistema complexo, vamos revisitar os conceitos de equilíbrio e diagramas de corpo livre. Como mencionado anteriormente, o equilíbrio ocorre em um sistema translacional, como uma mola carregada, quando a força restauradora equilibra o peso gravitacional. Em um sistema rotacional, exemplo quando os pesos são ligados a um feixe livremente rotativo, o equilíbrio é estabelecido quando os torques se equilibram. Note que, em relação ao eixo de rotação, o torque é positivo para rotação no sentido anti-horário e negativo para rotação no sentido horário.

Nestes casos, as forças líquidas ou torques são iguais a zero e, portanto, não existe aceleração linear ou angular. De acordo com a Primeira Lei de Newton, uma vez que esses sistemas estão em equilíbrio estático, eles devem permanecer em repouso.

Apesar da ausência de força líquida ou torque, várias forças estão agindo sobre os objetos dentro desses sistemas. Diagramas de corpo livre, ou diagramas de força, são frequentemente desenhados para entender as forças e torques que atuam em sistemas em equilíbrio.

Cada força ou torque contribuinte é representado por uma seta cujo tamanho e direção descrevem totalmente o vetor em questão. Através da adição vetorial, o sistema translacional é mostrado estar em equilíbrio. Da mesma forma, ao contabilizar a direção do torque em relação ao eixo, o sistema rotacional também está em equilíbrio.

Agora, imagine combinar esses sistemas de tal forma que um peso é anexado ao centro do feixe enquanto o feixe em si é suspenso em suas extremidades por duas molas. O sistema é complexo, mas pode ser entendido usando dois diagramas separados do corpo livre. O sistema translacional inclui o peso e as forças de restauração da mola esquerda e direita, denotadas como FL e FR, respectivamente.

Uma vez que o sistema está em equilíbrio, a soma das magnitudes de FL e FR deve ser igual à magnitude do peso. Esta equação descreve o equilíbrio transitório.

No sistema rotacional, em vez de forças temos torques. Lembre-se que o torque é definido como a força perpendicular vezes a distância r que a força é aplicada a partir do eixo de rotação. Como o peso está posicionado no eixo de rotação, ele não exerce torque na viga. Considerando que para as molas neste caso, as forças perpendiculares são as forças restauradoras e r é a respectiva distância do peso.

Agora, novamente, uma vez que o sistema está em equilíbrio, as magnitudes desses torques devem ser iguais, e esta equação ilustra o equilíbrio rotacional.

Mover o peso para longe do centro faz com que o feixe se incline. Para o sistema translacional, a soma das forças restauradoras ainda é igual e oposta à do peso. Portanto, a equação para o equilíbrio translacional - lidando com a magnitude dessas forças - permanece a mesma.

Para o sistema rotacional, a inclinação por um ângulo φ muda as forças nos torques de mola para o componente cosseno das respectivas forças restauradoras. Os comprimentos dos braços rotacionais também mudam. No entanto, o peso ainda está no eixo de rotação e, portanto, não exerce torque na viga.

Como este sistema também está em equilíbrio, as magnitudes dos torques aplicados pelas molas devem ser as mesmas. Cancelar o cosseno φ, resulta na mesma fórmula de equilíbrio rotacional.

Agora que você entende os princípios do equilíbrio, vamos aplicar esses conceitos a um sistema que experimenta forças e torques. Este experimento consiste em uma vara de medidor, duas escamas de mola, dois estandes, e dois pesos de massa diferente capaz de ser suspenso da vara do medidor.

Para começar, coloque os dois de um metro de distância sobre a mesa certificando-se de que eles estão seguros. Suspenda uma escala de mola de cada suportee conecte cada extremidade de uma vara de um medidor ao fundo de uma escala de mola.

Em seguida, conecte o peso menos massivo ao bastão do medidor no meio do caminho entre as escamas de mola. Com o sistema em equilíbrio translacional e rotacional, calcule as forças individuais que atuam na vara do medidor e grave-as.

Leia os valores em cada uma das escalas de mola e regise essas forças restauradoras exercidas pelas molas.

Agora mude o peso 0,2 m para a esquerda fazendo o braço de rotação esquerda 0,3 m e o braço de rotação direita 0,7 m. Repita o cálculo das forças individuais e as medições da escala de mola.

Por fim, deslocar o peso para a esquerda por mais 0,2 m e realizar os cálculos de força e as medições da escala de mola. Repita este experimento de equilíbrio para o peso mais massivo.

As forças individuais que atuam na vara do medidor consistem na força gravitacional no peso ligado e nas forças restauradoras das molas. Ao olhar para os diagramas de corpo livre do sistema sob equilíbrio translacional e rotacional, duas equações podem ser usadas para determinar as duas forças restauradoras desconhecidas.

Os braços de rotação são idênticos quando o peso está no meio do caminho entre as molas. Portanto, cada uma das forças restauradoras deve igualar metade do peso. Para os experimentos quando o peso é movido do centro, as forças restauradoras são ditadas pela razão de seus respectivos braços de rotação.

Esses valores calculados podem ser comparados com as forças restauradoras determinadas a partir das medições da escala de mola. As diferenças entre os valores estão dentro dos erros de medição do experimento. Portanto, invocando condições de equilíbrio, as forças restauradoras podem ser determinadas com conhecimento da massa do peso e do comprimento das armas de rotação.

Os princípios básicos do equilíbrio podem ser inestimáveis quando os engenheiros estão projetando estruturas que usamos todos os dias.

Uma ponte está sempre em equilíbrio estático enquanto constantemente experimenta grandes forças e torques tanto de seu próprio peso quanto das cargas que se movem através dela. Portanto, a construção de uma ponte suspensa, como a Golden Gate em São Francisco, requer esforços significativos de engenharia estrutural para garantir que o equilíbrio seja mantido mesmo durante os tempos de tráfego pesado

Da mesma forma, os arranha-céus têm um complexo sistema de vigas de aço sob tremendas forças, que compõem completamente um sistema rígido em equilíbrio estático. Portanto, a compreensão dos conceitos por trás do equilíbrio ajuda um arquiteto a decidir os parâmetros de construção, para que essas estruturas possam suportar uma certa quantidade de torque, especialmente nas zonas propensas a terremotos.

Você acabou de assistir a introdução de JoVE ao Equilibrium. Agora você deve entender os princípios do equilíbrio e como os diagramas de corpo livre podem ser usados para determinar as forças e torques que contribuem para um sistema em equilíbrio. Obrigado por assistir!

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Results

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Os resultados representativos para o experimento podem ser encontrados na Tabela 1. A força exercida sobre as duas molas pela massa pendurada são denotadas por suas localizações: esquerda e direita, denotadas pelos subscritores L e R. Uma vez que há duas incógnitas neste experimento, FLe FR, duas equações são necessárias para resolver para eles. Assim, as Equações 1 e 2 são usadas para resolver para as duas forças. Os torques são usados para obter uma relação entre FLe FR .

Uma vez que a força exercida pelo peso é para baixo, o ângulo φ na Equação 3 é de 90°, e o torque é apenas r · F. Os torques τLe τR também estão em direções opostas, onde o sentido anti-horário é definido como a direção positiva. Usando a Equação 2

-τL + τR = 0 = -rL FL + rR FR. (Equação 5)

Equivalentemente

FL = FR rR/rL. (Equação 6)

Usando a Equação 1

FL + FR = m g, (Equação 7)

onde m é a massa do peso e g é a constante gravitacional de 9,8 m/s2. Em outras palavras, a força descendente do peso é igual à soma das forças que sustentam o sistema de vara de peso e medidor, que são apenas as duas molas à esquerda e à direita, que estão suspendendo o sistema. Com estas duas equações (6 e 7), as incógnitas FL e FR podem ser calculadas. Estes são mostrados na Tabela 1. Esses valores são comparados com as forças exercidas nas molas nas duas últimas colunas da tabela. Pequenas discrepâncias são esperadas a partir de erros de medição. Além disso, assumiu-se que a massa da vara do medidor é zero, o que é incorreto, estritamente falando, mas ainda assim uma boa aproximação. Este laboratório usa escalas de mola, que mostram quantos Newtons estão sendo aplicados na mola quando esticadas, por isso não é necessário saber a constante da mola, k.

Mesa 1. Resultados teóricos e experimentais.

Massa (g) rL (cm) rR (cm) FL (N) FR (N) FL,primavera (N) FR,primavera (N) % diff (esquerda) % diff (à direita)
100 50 50 0.5 0.5 0.45 0.45 9.9 9.9
100 30 70 0.68 0.29 0.65 0.3 4.4 3.4
100 10 90 0.9 0.1 0.85 0.1 5.5 0
200 50 50 0.98 0.98 1 1 0 0
200 30 70 1.38 0.59 1.35 0.55 2.1 7.2
200 10 90 1.8 0.2 1.85 0.2 2.7 0

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Applications and Summary

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Todas as pontes estão sob algum estresse, tanto do seu próprio peso quanto do peso das cargas que se movem. Pontes suspensas, como a Golden Gate, são um complexo sistema de objetos sob forças muito pesadas e em equilíbrio. Os cabos que seguram a ponte são elásticos, e sua elasticidade foi considerada quando os engenheiros estruturais projetaram a ponte. Da mesma forma, os arranha-céus têm um complexo sistema de vigas de aço sob tremendas forças, que compõem completamente um sistema rígido em equilíbrio estático. A elasticidade desempenha um papel nos materiais usados para construir edifícios, pois eles precisam ser capazes de suportar uma certa quantidade de flexão, especialmente em áreas onde os terremotos são prevalentes. Os guindastes utilizados para a construção dessas estruturas também estão em equilíbrio, com um complexo sistema de cabos e polias para levantar e baixar os materiais de construção.

Neste estudo, observou-se o equilíbrio de um sistema composto por múltiplos componentes sob várias forças. Os efeitos dos componentes elásticos também foram observados utilizando-se escalas de mola de constantes conhecidas da mola. As forças exercidas sobre as molas foram computadas utilizando as duas condições necessárias para o equilíbrio: a soma das forças e a soma dos torques são zero.

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Transcript

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