矢量代数：图解法

矢量可以与标量相乘、与其他矢量相加或相减。 两个（或多个）矢量的矢量和称为合成矢量，或简称合成。

我们利用几何定律来构造合成矢量，并借助三角法求出矢量的大小和方向。 对于平面上两个矢量之和的几何构造，我们遵循平行四边形规则。 假设两个矢量处于任意位置，将其中任一矢量平行平移，使其起点与另一矢量的起点重合。此时，在第一个矢量的末端画一条与第二个矢量平行的直线，在第二个矢量的末端画一条与首个矢量平行的直线，由此构成一个平行四边形。 从两个矢量的共同起点出发，画出平行四边形的对角线，它就是这两个矢量的合成矢量。

这个平行四边形的另一条对角线即为两个矢量的差矢量。 根据平行四边形法则，合成矢量和差矢量的大小都不能简单地表示为各矢量大小的和或差。 因为对角线的长度并不是边长的简单和。 如果我们需要求三个或更多矢量的合成矢量，可以对矢量对重复平行四边形法则，直至求得所有矢量的合成结果。

绘制许多矢量的合成矢量可以采用尾对头几何构造。 我们任选一个矢量作为首矢量，然后将第二个矢量平行平移，使其起点与首矢量的终点重合；接着，选择第三个矢量，将其平行平移，使其起点与第二个矢量的终点重合；依此类推，直至所有矢量依次排列成尾对头的形式。最后，将首矢量的起点与末矢量的终点相连，即得合成矢量。由于矢量加法满足结合律和交换律，无论先后顺序如何，所得合成矢量均相同。

矢量与标量相乘仍得矢量。根据标量的正负不同，矢量的方向也会随之变化。例如，将矢量乘以正标量，所得矢量与原矢量平行；反之，乘以负标量，则所得矢量方向与原矢量相反。 

本文改编自 Openstax，《大学物理》第 1 卷，第 2.3 节：矢量代数。