Test pierwszej pochodnej: Rozwiązywanie problemów

Można rozważyć cenę aktywa, która gwałtownie spada do niskiego poziomu, następnie gwałtownie się odbija wraz z pojawieniem się inwestorów poszukujących okazji, a potem stopniowo maleje. Takie zachowanie można modelować za pomocą gładkiej funkcji, której punkty zwrotne reprezentują obszary lokalnie przewartościowane i niedowartościowane. Wygodnym przykładem, który odzwierciedla odbicie, a następnie spadek, jest:

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

Maksima i minima tej krzywej są identyfikowane za pomocą testu pierwszej pochodnej, który określa, gdzie funkcja zmienia się z rosnącej na malejącą lub odwrotnie. Na początek obliczana jest pierwsza pochodna. Ponieważ funkcja jest iloczynem wielomianu i funkcji wykładniczej, różniczkowanie wymaga zastosowania reguły iloczynu. Po różniczkowaniu otrzymane wyrażenie upraszcza się poprzez wyciągnięcie wspólnych czynników ze wszystkich składników pochodnej.

Pochodna zostaje następnie przyrównana do zera, a rozwiązanie daje punkty krytyczne — wartości argumentu, dla których nachylenie wynosi zero lub dla których należy zastosować test znaku pochodnej. Te wartości krytyczne dzielą dziedzinę na przedziały do dalszej analizy.

Następnie w każdym przedziale wybierane są punkty testowe, a znak pochodnej jest oceniany. Dodatnia pochodna wskazuje, że modelowana cena aktywa rośnie w tym przedziale, natomiast ujemna wskazuje, że maleje. Zmiana znaku pochodnej z dodatniego na ujemny sygnalizuje przejście ze wzrostu do spadku, identyfikując lokalne maksimum. Zmiana z ujemnego na dodatni identyfikuje lokalne minimum, odpowiadające dołkowi na krzywej cenowej.

Na koniec podstawienie wartości krytycznych argumentu z powrotem do funkcji wyjściowej daje odpowiadające im poziomy cen w tych punktach zwrotnych. Te lokalne ekstrema są kluczowe dla analizy wyceny, ponieważ wyznaczają potencjalne obszary odwrócenia i pomagają ilościowo określić, gdzie impet zmian przechodzi z fazy odbicia w fazę spadku lub ze spadku w odbicie.