Metoda Newtona

Metoda Newtona to technika iteracyjny służąca do znajdowania przybliżonych pierwiastków funkcji różniczkowalnych o wartościach rzeczywistych.

Pomaga rozwiązywać nieliniowe równania, które są zbyt złożone dla standardowych metod algebraicznych.

Na przykład metoda Newtona może oszacować stopę procentową na podstawie nieliniowego równania, które modeluje spłatę kredytu samochodowego. Równania te zapisuje się jako y równe f z x i często są przedstawiane graficznie, aby rozwinąć wzór.

Proces zaczyna się od początkowego przypuszczenia, opartego na przybliżonym oszacowaniu korzenia.

W zgadywanym punkcie rysuje się linię styczną na podstawie nachylenia funkcji. Przecięcie x tej prostej staje się nowym oszacowaniem, które wizualnie jest bliższe rzeczywistemu korzeniowi.

To nowe oszacowanie pochodzi z liniowego przybliżenia. Jest równa początkowej estymatice minus wartość funkcji podzielonej przez jej pochodną przy tej estymacji.

Proces powtarza się przy użyciu nowego oszacowania. Przy każdym powtórzeniu wartości często zbliżają się do rzeczywistego korzenia.

To prowadzi do ogólnego wzoru: nowa estymacja jest równa poprzedniej estymatice minus wartość funkcji podzielona przez jej pochodną.

Każdy krok udoskonala przybliżenie, czyniąc metodę Newtona skutecznym narzędziem iteracyjnym do rozwiązywania równań nieliniowych.