複数の方向のベクトル

Physics I
 

Overview

ソース: ニコラス ・ ティモンズ、Asantha Cooray、PhD、物理学科 & 天文学、物理的な科学の学校、カリフォルニア大学、アーバイン、カリフォルニア州

この実験は、ベクトルを追加し、複数の方向を減算する方法を示しています。加算または減算の複数のベクトルの解析的計算する目標になり、実験、計算を確認します。

ベクトルとは、大きさと方向を持つオブジェクトです。ベクトルの大きさは、方向、 x軸と角度によって定義されます通常単に長さとして示されます。力はベクトルであるので、彼らはベクトルの物理的な表現として使用できます。力のシステムを設定して追加力勢力間の均衡が作成されますを見つけることにより、ベクトルのシステムは実験的検証できます。

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JoVE Science Education Database. 物理学の基礎 I. 複数の方向のベクトル. JoVE, Cambridge, MA, (2017).

Principles

図 1ベクトルを示していますEquation 21x 軸y軸との角度 θ をEquation 21 x軸となります。

Figure 1

図 1.

追加する 2 つのベクトルを減算するには、そのx 軸y 軸の成分ベクトルを記述することをお勧めします。X成分として数学的に表されるx 軸方向で指すベクトルの量であります。

Equation 1.(関係式 1)

Y成分を表します。

Equation 2.(式 2)

大きさEquation 21が定義されています。

Equation 3.(式 3)

追加する 2 つのベクトルを減算するには、単にベクトルのxおよびyコンポーネントに分割、追加または減算、それぞれ対応するコンポーネント。

たとえば場合、ベクターEquation 4とベクトルEquation 5、2 つのベクトルの付加、 Equation 6

ベクトルは、 x軸に対して角度 θ を決定するには、次の式を使用します。

Equation 7.(関係式 4)

ベクトルには大きさと方向の両方があるため 2 つのベクトルを乗算することは 2 つの数値を乗算することと同じくらい簡単ではありません。ベクトルを乗算する 2 つの方法があります: 内積と外積。内積として書き込むことができますEquation 8またはEquation 9ここで、θ は、2 つのベクトルの間の角度。結果のみ、大きさと方向ではないがあります。物理学で内積の応用は仕事 (W)、仕事が距離倍力として定義されているEquation 10として 2 つのベクターのクロス積を書き込むことができますEquation 11クロス積に用語が含まれて間積と同様に、 Equation 12 、2 つのベクトルに垂直な大きさ 1 のベクトルとして定義されているEquation 21Equation 22 。クロス積の結果はベクトルに。物理学でクロス積の 1 つの例はトルクEquation 13、半径を倍力の結果であります。Equation 14

ベクトルは、重力や摩擦などの力をベクトルとして表すことができるので物理学で役立ちます。この演習では、重力の力を使用して、ベクターの性質の力、それらの力が複数の方向に追加する方法をデモンストレーションします。地球の表面の重力の力は、次のように、

Equation 15(式 5)

どこEquation 16、物体の質量は、中Equation 17は、重力加速度 (9.8 m/s2) 地球の表面の近く。

Procedure

1. バランスを強制します。

  1. 力表正反対の方向 (180 ° の角度の相違) に直面している同じ質量を持つ 2 つのプーリーを設定します。
  2. それぞれの力に等しくなりますEquation 18。移動しないでください力の表の中央にリングを調べることによって、2 つの力が等しく、反対かどうかを確認します。
  3. これらの力に関連付けられているベクトルのコンポーネントを追加する場合、結果として生じるベクトルがゼロの大きさを持っている注意してください。これは、すべての力は、平衡を決定する方法です。

2. 分析の計算。

  1. この演習は、平衡の 3 つの力で構成されます。2 つの力を知られるが、3 番目が見つけた最初解析的ベクトル理論を用いたし、実験。この実習では、維持Equation 21期間の 0 °。
  2. されている場合Equation 21Equation 22が知られているとEquation 23均衡でその後は強制的に 2 つの原因、システムに追加されたとき、Equation 23の合計に反対の方向では、大きさが等しくの (Equation 21 + Equation 22 )。
  3. 大きさを計算するEquation 21Equation 22 。実際に使用するEquation 18の単位である 1 ニュートン (N) と等しい力のEquation 19
  4. どのような大きさの計算、ベクトルの理論を用いたEquation 23合計だったかどうかになる (Equation 21 + Equation 22 )。
  5. どのような角度の計算、ベクトルの理論を用いたEquation 23合計だったかどうかになる (Equation 21 + Equation 22 )。

3. 実験。

  1. テーブル 1の最初の行に次の値Equation 21Equation 22、力のテーブルに 2 つの力を設定。維持してくださいEquation 210 °。
  2. 第三勢力を設定Equation 23、重みを加えると平衡に達するまで角度を変えることによって。表 2にこれらの値を記録します。
  3. それぞれの 4 つの場合 3.2 の手順を繰り返します。
  4. 計算による解析結果からの差の割合を決定、 Equation 20 。これらの計算値を表 2を完了します。

ベクトルの大きさと大きさと記号のみを持つ方向は異なりスカラー量である.

力, 加速度, 速度ベクトルの例を示します。中質量、エネルギー、時間、スカラーの例を示します。

ベクトルは通常の矢印によって表されます。矢印の長さはその大きさに対応し、角度の方向を示します。

このビデオは、ベクトル加算、減算、分析することができますし、このような操作がいくつかの物理現象を理解するための重要な結果を生成する方法を示す力のシステムに表示されます。

ベクトルを記述するには、座標システムが必要です。この参照のフレームを選ばれた、内は、宙を蹴ったボールのこの例は、初期速度ベクトルをいます。前述のように、矢印の長さは、速度の大きさを表します。ベクトルの方向、地面からの角度です。

任意のベクトルは、x 軸と y 軸に沿ってベクトル自体であるコンポーネントに分解することがあります。ボールの初速が毎秒 60 度で 20 メートルの場合水平成分は 60 度の速度時間コサイン、秒速 10 メートルの大きさ。垂直成分は 60 度の速度時間正弦波で、1 秒あたり約 17.3 メートルの大きさ。

水平・上下成分のベクトル加算は、オリジナルの速度ベクトルを再構築します。ベクトルを追加するには、他の末尾に 1 つの頭を想像してみてください。この例では、ベクトルは直角に起こる。合計結果最初の尾から直接旅行するとき 2 番目の頭に。

これらのコンポーネントは、合計の大きさはピタゴラスの定理によって与えられる右の角度で。角度は水平成分で割った値垂直コンポーネントのアーク タンジェントです。

垂直でない、2 つのベクトルを追加するには、それぞれ x および y コンポーネントに分解し、対応するコンポーネントを追加します。最後に、前に説明したように水平・上下成分のベクトル和を計算します。別から 1 つのベクターを減算は、2 番目のベクトルを否定することと、最初に追加することと同じです。以前のように、それぞれのベクトル x コンポーネントと y コンポーネントに分解します。大きいものから小さい x 成分を減算し、y コンポーネントの同じ操作を行います。その後、同じ前に、結果 y 成分のベクトル和を計算します。

物理学研究室におけるベクトルの加減算を示すためには、一般的に使用される機器は力テーブルです。これは、角度、周囲のケーブルと滑車によって中断されるもう一方の端を大衆に接続されているセンターでリング マークのディスクです。大衆を作り出す力勉強するベクトルであります。各コードに沿って力、重力、またはmgニュートンの単位に等しい。

今、このセットアップに、互いからの 180 度で 2 つの等しい固まりがある場合、出すゼロのベクトル和と力。この状態を平衡、加速度がゼロになるとリングが動かないので。

しかし、リングを引っ張って二つの勢力は互いを取り消さない、たとえば角度を変更したため、非ゼロの正味の力だろうが移動するリング。このようなインスタンスで大きさとこれらの力の方向がわかっている場合私たちことができます使用してベクトル加算、減算計算第三勢力の均衡を再確立するために必要があります。

次のセクションでは、ベクトルの足し算と引き算の理論的な原理をテストするそのようなテーブルの力実験を実施する方法を紹介します

2 つの力が等しい場合と反対に、テーブルの中央にリングを移動しないでください。この場合、各フォース ベクトルはまさに他のマグニチュードと方向を反対にします。ベクトル和はゼロの純力または平衡の条件であるゼロの大きさがあります。

ベクトル加算、減算、このテーブルの最初の行に示されているように、大衆と力ABの角度を設定の原則を検証。Aのゼロ度の角度を保ちます。今、大衆を追加してリングが動かないまで角度を変えることによって第三勢力を設定します。

平衡を達成した後に、重力加速度、質量を乗じてCの力を計算します。また、レコードの大きさと角C をを力します。

3 つの異なるケースのこのテストを繰り返し、そのたびに強さおよび力Cの角度を記録します。

4 つの実験のセットアップこの表示しています力 A と B の計算された大きさと A. 使用して最初のセットアップに関して B の角度、例として C テーブルの上の均衡を確立するために必要な力を計算できます。

ここで力 A は 0 ° で 0.98 ニュートンの大きさを持っています。力 B は 0.98 ニュートンの同じ大きさが 20 ° の角度。C、分解のベクトルを決定するには、 x 軸y 軸部品にABを強制します。注意力 A は、x 軸に沿ってのみ監督は、y コンポーネントはありません。X と y のベクトル、A の合計であるを生成するコンポーネントを追加し、B ベクトル。

平衡を達成するためにCの x および y コンポーネントはこれらのベクトルの反対をする必要があります。ベクトルCを得るためには、その y 成分の尾を x 成分の頭に移動します。C. ベクトルの大きさを見つけるためのピタゴラスの定理を使用して 2 つのベクトルを追加します。C の角度、上下動の水平成分で割った値のアーク タンジェント。したがって、C の計算の大きさは x 軸に対して 10 ° の角度で 1.93 ニュートンをことが判明します。

今、実験中に我々 は計算C観察と試行錯誤を通じて重みと力テーブルにリングの動きを防ぐために角度を調整することによって。

大きさと角度の両方の実験結果と計算結果がすべての 4 つのセットアップの一致を示します。本契約は、ベクトルとして力の表現を検証します。違いは、重みの精度、角度と摩擦力の表と滑車による行方不明の力の測定精度の制限に起因する可能性があります。

ベクトルの足し算、引き算は簡単で複雑なアプリケーションで使用されます。それらのいくつかを見てをみましょう。

通常、ブロックで距離ニューヨークのような都市をツアーと方向、北、南、東と西。

4 つのブロック東と北に 3 つのブロックを歩いている人は、ベクトル量である位置の変更を受けます。したがって、ベクトル加算の式を適用すると、1 つは、大きさと始点と終点、徒歩の間のベクトルの方向を計算できます。

飛行に歩いてから: パイロットが飛行機を操縦する精神的なベクトルの加減算を実行して常に。翼のフラップとエルロンを使用して、パイロットは、重力と揚力を調整できます。揚力が重力より大きい、飛行機が上昇します。リフトが重力よりも小さい場合は、それは下る。

同様に、パイロットはエンジンを使用して、ドラッグに対する推力を調整します。推力はドラッグよりも大きい場合は、飛行機が加速します。推力がドラッグより小さい場合は、それは減速します。

これらの 4 つの力の和が 0 に等しい、飛行機は平衡状態にあるし、一定の速度と高度でクルーズします。

ベクトルのゼウスの概要を見てきただけ。追加し、ベクトルを減算する方法を知っているそしてある特定の物理量がベクトルとして動作する方法を理解する必要があります。見てくれてありがとう!

Results

演習の結果は、表 1および表 2のとおりです。

表 1。セットアップ。

# を設定します。 A B
質量 角度 質量 角度
1 100 0 100 20
2 100 0 150 40
3 200 0 150 60
4 200 0 250 80

表 2。解析結果。

# を設定します。 大きさEquation 21
(N)
大きさEquation 22
(N)
角度Equation 22
(°)
大きさEquation 23
(N)
角度Equation 23
(°)
1 0.98 0.98 20 1.93 10
2 0.98 1.47 40 2.31 24
3 1.96 1.47 60 2.98 25
4 1.96 2.45 80 3.39 45

表 3。実験結果。

# を設定します。 実験の規模Equation 23
(N)
分析の大きさEquation 23
(N)
違い
(%)
実験的角度Equation 23
(°)
分析の角度
Equation 23
(°)
違い
(%)
1 2.1 1.93 9 11 10 10
2 2.2 2.31 5 26 24 8
3 2.8 2.98 6 28 25 12
4 3.5 3.39 3 43 45 5

実験の結果は、分析の計算と一致しています。2 つのベクトルの間の角度の合計は、 1-5 の方程式を使用して計算できます。方程式、力などの物理的なベクトルの計算を行うために有効です。

Applications and Summary

野球で外野手は、移動中のボールをキャッチするためにベクトルを理解するが。外野手には、ボールのスピードだけ知っていたなら、彼を右の代わりにレフトに実行し、ボールを見逃す可能性があります。彼はのみヒットの方向を知っていたなら、彼の頭の上帆ボールを見るためだけで充電可能性があります。彼はベクトルを理解し、ボールをヒットすると、すぐに彼考慮できる大きさと方向の両方彼が捕獲物を作るときに、ボールのどこを推定するために。

飛行機が空の場合、そのスピードと方向はベクトルとして記述できます。重い風、風ベクトルが結果システムのベクトルを与えるため平面のベクトルに追加します。たとえば場合、飛行機は風に、結果のベクトルの大きさなります初期の大きさより小さい。これは、直感的な理にかなっている風に向かうとき遅く動いて面に対応します。

2 つのオブジェクトが衝突する、一緒に固執する彼らの最終的な運動量 (ベクトル) は 2 つの初期運動量ベクトルの和として近似できます。これは現実の世界のように、簡素化、2 つのオブジェクトが衝突熱や衝突による変形のような考慮するべき余分な要因。勢いは、その速度を掛けたオブジェクトの質量だけです。別の方向に異なる速度で旅行氷の上二人のスケーターが衝突、互いに保持彼らの最終的な方向と速度を推定できる場合、初期ベクターのコンポーネントに基づいて。

この実験では、軍のベクターの性質は検討、測定されました。ベクトルが一緒に追加された、解析的および実験的に合力の大きさと方向が決定しました。

1. バランスを強制します。

  1. 力表正反対の方向 (180 ° の角度の相違) に直面している同じ質量を持つ 2 つのプーリーを設定します。
  2. それぞれの力に等しくなりますEquation 18。移動しないでください力の表の中央にリングを調べることによって、2 つの力が等しく、反対かどうかを確認します。
  3. これらの力に関連付けられているベクトルのコンポーネントを追加する場合、結果として生じるベクトルがゼロの大きさを持っている注意してください。これは、すべての力は、平衡を決定する方法です。

2. 分析の計算。

  1. この演習は、平衡の 3 つの力で構成されます。2 つの力を知られるが、3 番目が見つけた最初解析的ベクトル理論を用いたし、実験。この実習では、維持Equation 21期間の 0 °。
  2. されている場合Equation 21Equation 22が知られているとEquation 23均衡でその後は強制的に 2 つの原因、システムに追加されたとき、Equation 23の合計に反対の方向では、大きさが等しくの (Equation 21 + Equation 22 )。
  3. 大きさを計算するEquation 21Equation 22 。実際に使用するEquation 18の単位である 1 ニュートン (N) と等しい力のEquation 19
  4. どのような大きさの計算、ベクトルの理論を用いたEquation 23合計だったかどうかになる (Equation 21 + Equation 22 )。
  5. どのような角度の計算、ベクトルの理論を用いたEquation 23合計だったかどうかになる (Equation 21 + Equation 22 )。

3. 実験。

  1. テーブル 1の最初の行に次の値Equation 21Equation 22、力のテーブルに 2 つの力を設定。維持してくださいEquation 210 °。
  2. 第三勢力を設定Equation 23、重みを加えると平衡に達するまで角度を変えることによって。表 2にこれらの値を記録します。
  3. それぞれの 4 つの場合 3.2 の手順を繰り返します。
  4. 計算による解析結果からの差の割合を決定、 Equation 20 。これらの計算値を表 2を完了します。

ベクトルの大きさと大きさと記号のみを持つ方向は異なりスカラー量である.

力, 加速度, 速度ベクトルの例を示します。中質量、エネルギー、時間、スカラーの例を示します。

ベクトルは通常の矢印によって表されます。矢印の長さはその大きさに対応し、角度の方向を示します。

このビデオは、ベクトル加算、減算、分析することができますし、このような操作がいくつかの物理現象を理解するための重要な結果を生成する方法を示す力のシステムに表示されます。

ベクトルを記述するには、座標システムが必要です。この参照のフレームを選ばれた、内は、宙を蹴ったボールのこの例は、初期速度ベクトルをいます。前述のように、矢印の長さは、速度の大きさを表します。ベクトルの方向、地面からの角度です。

任意のベクトルは、x 軸と y 軸に沿ってベクトル自体であるコンポーネントに分解することがあります。ボールの初速が毎秒 60 度で 20 メートルの場合水平成分は 60 度の速度時間コサイン、秒速 10 メートルの大きさ。垂直成分は 60 度の速度時間正弦波で、1 秒あたり約 17.3 メートルの大きさ。

水平・上下成分のベクトル加算は、オリジナルの速度ベクトルを再構築します。ベクトルを追加するには、他の末尾に 1 つの頭を想像してみてください。この例では、ベクトルは直角に起こる。合計結果最初の尾から直接旅行するとき 2 番目の頭に。

これらのコンポーネントは、合計の大きさはピタゴラスの定理によって与えられる右の角度で。角度は水平成分で割った値垂直コンポーネントのアーク タンジェントです。

垂直でない、2 つのベクトルを追加するには、それぞれ x および y コンポーネントに分解し、対応するコンポーネントを追加します。最後に、前に説明したように水平・上下成分のベクトル和を計算します。別から 1 つのベクターを減算は、2 番目のベクトルを否定することと、最初に追加することと同じです。以前のように、それぞれのベクトル x コンポーネントと y コンポーネントに分解します。大きいものから小さい x 成分を減算し、y コンポーネントの同じ操作を行います。その後、同じ前に、結果 y 成分のベクトル和を計算します。

物理学研究室におけるベクトルの加減算を示すためには、一般的に使用される機器は力テーブルです。これは、角度、周囲のケーブルと滑車によって中断されるもう一方の端を大衆に接続されているセンターでリング マークのディスクです。大衆を作り出す力勉強するベクトルであります。各コードに沿って力、重力、またはmgニュートンの単位に等しい。

今、このセットアップに、互いからの 180 度で 2 つの等しい固まりがある場合、出すゼロのベクトル和と力。この状態を平衡、加速度がゼロになるとリングが動かないので。

しかし、リングを引っ張って二つの勢力は互いを取り消さない、たとえば角度を変更したため、非ゼロの正味の力だろうが移動するリング。このようなインスタンスで大きさとこれらの力の方向がわかっている場合私たちことができます使用してベクトル加算、減算計算第三勢力の均衡を再確立するために必要があります。

次のセクションでは、ベクトルの足し算と引き算の理論的な原理をテストするそのようなテーブルの力実験を実施する方法を紹介します

2 つの力が等しい場合と反対に、テーブルの中央にリングを移動しないでください。この場合、各フォース ベクトルはまさに他のマグニチュードと方向を反対にします。ベクトル和はゼロの純力または平衡の条件であるゼロの大きさがあります。

ベクトル加算、減算、このテーブルの最初の行に示されているように、大衆と力ABの角度を設定の原則を検証。Aのゼロ度の角度を保ちます。今、大衆を追加してリングが動かないまで角度を変えることによって第三勢力を設定します。

平衡を達成した後に、重力加速度、質量を乗じてCの力を計算します。また、レコードの大きさと角C をを力します。

3 つの異なるケースのこのテストを繰り返し、そのたびに強さおよび力Cの角度を記録します。

4 つの実験のセットアップこの表示しています力 A と B の計算された大きさと A. 使用して最初のセットアップに関して B の角度、例として C テーブルの上の均衡を確立するために必要な力を計算できます。

ここで力 A は 0 ° で 0.98 ニュートンの大きさを持っています。力 B は 0.98 ニュートンの同じ大きさが 20 ° の角度。C、分解のベクトルを決定するには、 x 軸y 軸部品にABを強制します。注意力 A は、x 軸に沿ってのみ監督は、y コンポーネントはありません。X と y のベクトル、A の合計であるを生成するコンポーネントを追加し、B ベクトル。

平衡を達成するためにCの x および y コンポーネントはこれらのベクトルの反対をする必要があります。ベクトルCを得るためには、その y 成分の尾を x 成分の頭に移動します。C. ベクトルの大きさを見つけるためのピタゴラスの定理を使用して 2 つのベクトルを追加します。C の角度、上下動の水平成分で割った値のアーク タンジェント。したがって、C の計算の大きさは x 軸に対して 10 ° の角度で 1.93 ニュートンをことが判明します。

今、実験中に我々 は計算C観察と試行錯誤を通じて重みと力テーブルにリングの動きを防ぐために角度を調整することによって。

大きさと角度の両方の実験結果と計算結果がすべての 4 つのセットアップの一致を示します。本契約は、ベクトルとして力の表現を検証します。違いは、重みの精度、角度と摩擦力の表と滑車による行方不明の力の測定精度の制限に起因する可能性があります。

ベクトルの足し算、引き算は簡単で複雑なアプリケーションで使用されます。それらのいくつかを見てをみましょう。

通常、ブロックで距離ニューヨークのような都市をツアーと方向、北、南、東と西。

4 つのブロック東と北に 3 つのブロックを歩いている人は、ベクトル量である位置の変更を受けます。したがって、ベクトル加算の式を適用すると、1 つは、大きさと始点と終点、徒歩の間のベクトルの方向を計算できます。

飛行に歩いてから: パイロットが飛行機を操縦する精神的なベクトルの加減算を実行して常に。翼のフラップとエルロンを使用して、パイロットは、重力と揚力を調整できます。揚力が重力より大きい、飛行機が上昇します。リフトが重力よりも小さい場合は、それは下る。

同様に、パイロットはエンジンを使用して、ドラッグに対する推力を調整します。推力はドラッグよりも大きい場合は、飛行機が加速します。推力がドラッグより小さい場合は、それは減速します。

これらの 4 つの力の和が 0 に等しい、飛行機は平衡状態にあるし、一定の速度と高度でクルーズします。

ベクトルのゼウスの概要を見てきただけ。追加し、ベクトルを減算する方法を知っているそしてある特定の物理量がベクトルとして動作する方法を理解する必要があります。見てくれてありがとう!

This article is Open Access.

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