The Generation of Higher-order Laguerre-Gauss Optiske Beams for høy presisjon Interferometry

Abstract

Termisk støy i høy refleksjon speil er et stort hinder for flere typer høy presisjon interferometrisk eksperimenter som tar sikte på å nå standarden quantum grense eller å kjøle mekaniske systemer til sin quantum grunntilstanden. Dette er for eksempel tilfellet med fremtidige gravitasjonsfelt bølge observatories, hvis følsomhet for gravitasjonsseparering bølgesignaler er forventet å være begrenset i den mest følsomme frekvensbånd ved atom vibrasjon av deres speil massene. En lovende tilnærming blir forfulgt å overvinne denne begrensningen er å benytte høyere ordens Laguerre gauss (LG) optiske stråler i stedet for den som konvensjonelt anvendes fundamental modus. På grunn av deres mer homogen lysintensitet fordeling disse bjelker gjennomsnitt mer effektivt over den termisk drevne svingninger av speilflaten, som i sin tur reduserer usikkerheten i speilet stilling avføles av laserlys.

Vi viser en lovende metode for å genererehøyere orden LG bjelker ved å forme en fundamental Gaussian stråle med hjelp av diffraktive optiske elementer. Vi viser at med konvensjonelle sensing og kontroll teknikker som er kjent for å stabilisere grunnleggende laserstråler, kan høyere orden LG moduser bli renset og stabilisert like godt på et relativt høyt nivå. Et sett av diagnostiske verktøy gir oss mulighet til å kontrollere og skreddersy egenskapene til genererte LG bjelker. Dette gjorde oss i stand til å produsere en LG bjelke med høyeste renhet rapportert til dags dato. Det er dokumentert kompatibilitet av høyere orden LG moduser med standard interferometriteknikker og med bruk av standard sfæriske optikk gjør dem til en ideell kandidat for bruk i en fremtidig generasjon med høy presisjon interferometry.

Introduction

I løpet av de siste tiårene høy presisjon interferometriske eksperimenter ble skjøvet mot en endelig følsomhet regime der kvanteeffekter begynner å spille en avgjørende rolle. I disse pågående og fremtidige eksperimenter, for eksempel laser kjøling av mekaniske oscillatorer ^1, optiske feller for speil ^2, generering av viklet test massene ^3, quantum ikke-riving interferometriteknikker ^4, frekvens stabilisering av lasere med stive hulrom ^5, og gravitasjons bølge deteksjon ^{6 , 7, 8,} forskere står overfor en rekke begrensende fundamentale og teknisk støykilder. En av de mest alvorlige problemer er den termiske støy av hulrommet speil av interferometriske oppsett, som er forårsaket av den termiske eksitasjon av atomene som utgjør speil-substrater og speil reflekterende belegg ^{7, 8, 9.} Denne effekten, også kalt Brownske bevegelser, vil føre til en viss usikkerhet i faselyset reflekteres fra noen test massene, og vil derfor manifestere seg som en fundamental støy begrensning i interferometeret utgang. For eksempel blir det projiserte utforming følsomheten av avansert gravitasjonsfelt bølge antennene, for eksempel Advanced LIGO, Advanced JOMFRUEN, og den Einstein teleskop, begrenset av denne type støy i den mest følsomme delen av den observasjon frekvensbåndet ^{10, 11, 12.}

Eksperimentelle fysikere i samfunnet jobber hardt i en kontinuerlig innsats for å minimere disse støy bidrag og forbedre følsomheten sine instrumenter. I det spesielle tilfelle Brownske speil støy, er en metode for å redusere disse å anvende en større stråle flekk størrelsen på dag brukes standard fundamental HG ₀₀ bjelke på testmasse flater, ettersom større stråle gjennomsnitt mer effektivt over de tilfeldige bevegelser av overflaten ^{13, 14..} Den spektrale tetthet av speilet termisk støy er vist i riktig målestokk medden inverse av Gaussian bjelketykkelse for speilet underlaget og med den inverse square for den speilblanke overflaten ^ni. Men da strålen flekker er gjort større, blir en større del av lyset effekttap over kanten av den reflekterende flate. Hvis man bruker en bjelke med en mer homogen fordeling radial intensitet enn den som vanligvis brukes HG ₀₀ bjelke (se for eksempel figur 1), kan den Brownske termisk støynivået reduseres uten å øke denne type tap. Blant alle de mer homogene beam typer som har blitt foreslått for nye versjoner av høy presisjon interferometry, for eksempel Mesa bjelker eller koniske moduser ^{13, 14,} den mest lovende er høyere for LG bjelker på grunn av sitt potensial kompatibilitet med tiden brukes sfæriske speilflater ^15. For eksempel oppklaringsprosenten av binære nøytronstjerne i spiral systemer - som er ansett som de mest lovende astrofysiske kilder for en første GW oppdageion - kan bli styrket med om lag en faktor på to eller flere ¹⁶ på bekostning av en minimal mengde endringer i utformingen av andregenerasjons interferometre er under ^{10 konstruksjon, 11..} I tillegg til termisk støy fordeler, den større intensitet fordelinger av høyere orden LG bjelkene (se som et eksempel figur 2) har vist seg å redusere omfanget av termiske aberrasjoner optikksett innenfor interferometere. Dette vil redusere i hvilken grad termiske belønningssystemer er stoles på i fremtidige eksperimenter for å komme utforming følsomhet ^19.

Vi har undersøkt og demonstrert muligheten for å generere LG bjelker på nivåene av renhet og stabilitet som kreves for å kunne bruke GW interferometre på det beste av deres følsomhet ^{16, 18, ​​19, 20, 21, 22.} Den foreslåtte metoden kombinerer teknikker og kompetanse utviklet i ulike områder av fysikk og optikk lykkesh som generering av høye stabilitet, bjelker lav støy enkelt modus laser ^23, bruk av spatial light modulators og diffraktive optiske elementer for manipulering av de romlige profiler av lysstrålene ^{18, 22, 24, 25, 26,} og bruken av avanserte teknikker for sensing, styring og stabilisering av resonant optisk hulrom ²⁷ som tar sikte på en ytterligere rensing og stabilisering av laserlyset. Denne metoden har blitt demonstrert i laboratorieforsøk, eksportert for tester i stor skala prototype interferometre ^20, og for å generere LG moduser ved høye laser krefter opp til 80 W ^21. I denne artikkelen presenterer vi detaljene i metoden for å generere høyere ordens LG bjelker og diskutere en metodikk for karakterisering og validering av den resulterende strålen. Videre, i trinn 4. Fremgangsmåte for numeriske undersøkelser av hulrom med ikke-perfekt speil ¹⁹ er skissert.

Protocol

Innledningen: I denne protokoll delen antar vi at en ren, lav støy, er strøm-stabiliserte fundamental modus gaussisk bjelke fremskaffet, for eksempel ved hjelp av standard oppsett som vist i figur 3 som inneholder: en kommersiell Nd: YAG-laser for å generere kontinuerlig bølge infrarøde lys ved 1064 nm bølgelengde, en Faraday-Isolator (FI) for å unngå tilbake-refleksjon av lys mot laser-kilde, og en elektro-optisk modulator (EOM) for å modulere fasen til lyset. Den resulterende strålen er sprøytet inn i en trekantet optisk hulrom, der laseren frekvens og den lyseffekt som blir stabilisert ved hjelp av aktiv kontroll løkker ^27, mens det resonante hulrom gir romlig filtrering for uønskede stråleformer.

Oppsettet er beskrevet ovenfor og vist på figur 3 er en konvensjonell eksperimentelt arrangement som brukes i vitenskapelige apparater krevende støyfri laser stabilisering for presisjonmålingene ^1-8. Protokollen nedenfor beskriver hvordan dette grunnleggende modus Gaussian strålen kan effektivt konverteres til en høyere orden Laguerre-Gauss optiske strålen med sammenlignbare forestillinger, om ikke identisk, i form av renhet, støy og stabilitet. Dette er gjennomført ved hjelp av anordningen vist i figur 4, hvis utforming, konstruksjon og operasjon er beskrevet i avsnittene nedenfor. I dette eksemplet angitt i dette arbeidet den genererte modus vil være et LG _33.. Men det er verdt å understreke at teknikken har generell gyldighet og at den beskrevne protokollen gjelder til enhver ønsket høyere orden LG modus.

En. Design og Prototyping den optiske Mode Converter for Optimal konvertering av Fundamental Mode Laser Beam inn høyere orden LG Beams

Kravet om en fasemodulasjon profil for å konvertere en fundamental modus stråle inn i et høyere-ordens strålen LG er å replikere fase cross-delen av den ønskede LG-modus, som vil bli trykt via en proporsjonal phase-shift på bølgefront av hendelsen strålen ^26. To typer modi-omformere arbeid på denne måten: Spatial Lys modulatorer (SLM) - datastyrte flytende-krystall-skjermer som piksler kan styres til forlaget fasedreiingen på det innfallende lyset - og diffraktive fase plater - etset glass underlag der ønskede faseforskyvningene blir produsert i overføring av den hensikt å variere tykkelsen av glass-elementet. SLMs er fleksible, men mangler stabilitet og effektivitet, mens fase platene er stabil og effektiv, men mangel fleksibilitet. Derfor anbefaler vi bruk av SLM for innledende studier og prototyping og bruk av en fase plate for langsiktig drift.

Optimal konvertering er avhengig av den nøyaktige valg av parametrene midje (størrelse og posisjon) av strålen til å bli formet. Derfor før injisere det inn en modus omformer, den første grunnleggende modus væreer skal være preget, og dens parametre re-formet for å matche de som tilbyr optimal konvertering - denne operasjonen kalles "modus-matching".

1. Plukk opp strålen fra den grunnleggende modusoppsett beskrevet i figur 3..
2. Bruk en bjelke profiler utstyrt med sanntids programvare for bildeanalyse for å måle strålen radius langs den optiske banen. Når en tilstrekkelig sett med radier er ervervet (vanligvis minst 10 datapunkter er nødvendig for en god kvalitet resultat), passer den målte radier og ekstraher strålen midje størrelse og posisjon.
3. Etablere den nødvendige avstanden for strålen ved konvertering punkt. Bruk store bjelkestørrelser på ordre fra noen mm for å kunne bruke det fulle omfanget av fase konverter området.
4. Velg et sett med linser og deres steder langs den optiske banen som vil re-forme den innkommende strålen parametere (midje størrelse og posisjon) i de aktuelle meldingene. For justeringsårsaker er det praktisk å plassere modus converter ent inn i innsnevringen i den innkommende strålen.
5. Gjenta trinn 1,2 og 1,4 ved hjelp av suksessive justeringer av linseposisjoner til ønsket beam parametere for modus konvertering foreligger.
6. Plasser SLM modus converter langs den innkommende strålen banen, og injisere strålen på SLM. For en reflekterende typen SLM anbefaler vi å bruke en liten hendelse vinkel, av orden 5 grader eller mindre. Stor hendelsen vinkel ville føre astigmatisme i den genererte strålen, bryte LG modus sylindrisk symmetri.
7. Påfør faseprofil til SLM liquid crystal display - et fase tverrsnitt av den ønskede, høyere orden LG strålen til å bli omdannet til. Fasemodulasjonen profil av LG ₃₃ modus, som for tiden undersøkt for anvendelse i fremtidige GW detektorer ^16, er vist i eksempelet i figur 5.
8. Velg passende fase mønster størrelse (størrelsen av strålen som svarer til fase mønster) basert på størrelsen av injekted strålen. Tabell 1 inneholder en liste over optimale bjelketykkelse forholdstall for LG modi opp til ordren 9, avledet ved hjelp av numeriske simuleringer ^28. Alternativt kan finne den optimale strålen til bildestørrelse forholdet eksperimentelt ved å variere størrelsen av fase mønster påføres SLM og analysere bilder av den resulterende strålen.
9. Observer den reflekterte stråle fra SLM ved hjelp av et CCD-kamera i en avstand av én eller flere Rayleigh varierer vekk fra SLM. Stilles opp SLM for å optimalisere den symmetri av strålen bilde på CCD.

Under interaksjon med fasemodulasjonsinnretningen enhet, gjenstår en del av det injiserte lys umodulert grunn av kvantisering av fasemodulasjonen nivåer. Denne uomvandlet lys forplanter seg langs den samme aksen av den konverterte bjelke, ødelegger de ønskede fasemodulasjon effekter. For å omgå dette problemet man kan legge en blusset rist profil på LG modus konvertering fase bilde. Den modulerte light bærer LG modus faseprofil skal avbøyes ved den blusset gitter, mens den umodulert lys, som ikke reagerer med substratet, vil fortsette uforstyrret. Dette fører til en romlig atskillelse mellom de to typer av bjelker.

10. Overlapping en flammende struktur til faseprofil tidligere generert på SLM. For LG modi med asimutale indeks l> 0, vil fasen mønster har en "gaffelformet rist 'karakteristikk, som vist i eksemplet i figur 6.
11. Optimaliser den brennende vinkel slik at diffraksjon vinkel i den første ordren er større enn den vinkel divergens av strålen. Fortsette inntil en rimelig separasjon mellom høyere diffraksjons ordre blir funnet (bruke en separasjon mellom de ytre ringer av de sammenhengende bjelker så stor som diameteren til de ytre ringene seg selv).
12. Når en optimal konvertering mønster er oppnådd, går du videre til produksjon av fase plate. Dette er kommersielt tilgjenetiketten og kan produseres for å dekke et bredt spekter av tilpassede krav. Bruk resultatene oppnådd i løpet av optimaliseringsprosessen med SLM for å definere den optimale fase-omdanning mønster som skal etses bort på fase plate. Valgfritt trinn: anvende et anti-reflekterende belegg på minst en av overflatene av den fase-plate for å minimere spredning av lyset tilbake mot laserkilden og dispersjon av lyseffekten.

2. Drift av fase Plate, Mode Konvertering og Purity Enhancement

1. Erstatte Spatial Lett modulator med fase plate. Som for SLM, er det praktisk å plassere det i livet av den injiserte grunnleggende modus bjelke som skal konverteres.
2. Rettes opp slik fase plate til den første strålen slik at fasen platen er vinkelrett på bjelken, og strålen er sentrert i forhold til den fase struktur.
3. Forplante strålene sendes gjennom fase plate inntil separasjon av de høyere diffraction bestillinger oppstår. Festet kan lett visualisert med et bjelke-kort.
4. Når et tilstrekkelig "god" separasjon er oppnådd (som beskrevet i trinn 1.12), utydeliggjøre de høyere diffraksjon etter bjelker med en åpning sentrert på hoved diffraksjon rekkefølge.

Den manglende evne av diskutert fase plate design for å modulere amplituden så vel som fase betyr at de ikke vil omdanne alt av den innkommende fundamental strålen i den ønskede modus. Resultatet er et sammensatt bjelke med en dominerende ønskede LG stråle over en bakgrunn av andre høyere-ordens modi av mindre intensitet, som vist i figur 7.. For å kunne filtrere ut uønskede romlig LG modi og forbedre modus renhet, kan den omdannes strålen bli injisert i en optisk resonanskaviteten. Et slikt hulrom kan operere som en "modusvelger 'og tillater bare spesifikke optiske modi som skal overføres, avhengig av hulrom lengde i forhold til den lys-bølgelengden.

5. Designe mode renere hulrom. For enkelhet av gjennomføringen, bruke en to-speil lineær hulrom konfigurasjon, som vist i figur 4, i hvilken et av speilene er flat (vanligvis inndata speil) og det andre speilet (output) er konkav. Dette gir optisk stabilitet og enkelhet i gjennomføring. En spesiell utforming som fungerer godt er en hvor krumningsradien av utgangsspeilet er 1 m og avstanden mellom speilet reflekterende flater er 21 cm ^29. I dette tilfellet er det optimale inngangsstrålebunt radius omtrent 365 mikrometer i midjen, som ligger ved den reflekterende overflaten til det flate speil.
6. Velg hulrom speil reflectivities å bestemme finesse av hulrommet. Bruk en lav finesse av bestilling noen hundre for å ha en god undertrykkelse av uønskede modus bestillinger uten å innføre store skjevheter på grunn av kobling med degenererte moduser (se trinn 4). Det er best å bruke speil med samme reflectivity å maksimere hulrom gjennomstrømming.
7. Bruk en rigid spacer som støtte for de to hulrom speil for å øke immunitet mot mekaniske vibrasjoner. Lim av speilene på avstandsstykket, og gripe inn i en piezoelektrisk ring element mellom en av de to speil og avstandsstykket for å tillate justeringer av mikroskopiske hulrom lengde for langsgående lengde kontroll og stabiliseringsformål.
8. Mode-match strålen generert av fase plate til modusen renere hulrom eigen-moduser. Beam profilering av en LG strålen kan ikke utføres med de samme verktøyene som brukes for de grunnleggende modus bjelker, derfor ta opp intensiteten distribusjon av strålen med en CCD-kamera plassert på forskjellige steder langs strålen banen og analysere bilder som er tatt med skreddersydde montering skript som kan identifisere den dominerende ønsket LG modus og anslå strålen radius på gitt posisjon ^30. Et eksempel på dette stråleintensitet profil passende prosedyre er vist i figur 8..
9. Når et tilstrekkelig sett av bjelke diametre har væreno målt (generelt, er minst 10 datapunkter som trengs for en god kvalitet resultat), passer den målte radius og ekstrapolere strålen midje diameter og dens plassering. En god profil bjelke vil se ut som den som er vist i figur 9.. Som i 1.2 og 1.4 på enkelte linser og gjenta prosedyren beskrevet i 2.7, 2.8, og 2.9 inntil optimal stråle størrelse og plassering er funnet. Når modusen matching er oppnådd, injiserer det genereres strålen inn i modus renere hulrom, være sikker på at den reflekterende overflaten til inngangen (flat) speil er riktig plassert i midjen av den injiserte strålen.
10. Optimalisere justeringen av den injiserte strålen inn i hulrommet, mens skanning hulrommet lengden ved å flytte speilet med piezo, og overvåke Fjernkontrollstrålen.
11. Bruk målinger av lyset som overføres av den modus renere hulrom som en funksjon av hulrommet lengde (også kalt hulrom skanninger) for å undersøke modus innhold av LG bjelke generert av fase-plate, og eventually bedømme virkningsgraden av fase plate selv.
12. Identifisere de relevante parasittiske modi via inspeksjon av CCD-bilder. Evaluer kraften av slike modi via deres amplitude i fotodioden signalet og beregne den nøyaktige modus innholdet av den samlede stråle. De målte resultater og den eksakte innhold kan reproduseres med og sammenlignet med numeriske simuleringer ^21. Et godt eksempel på denne analysen er vist i figur 10, og den modus-innhold Resultatene er presentert i tabell 2..

Så snart den optimale innretting av strålen i funksjonsposisjon renere hulrom er oppnådd, og modusen innholdet av den injiserte strålen er blitt analysert, "modus-rensing 'og forbedring av renheten av det sammensatte LG Strålen kan endelig gjennomføres. Et pund-Drever-Hall låsing ordningen ²⁷ kan brukes til å stabilisere hulrom lengden til den ønskede resonans-modus. Lyset som overføres av den modus renere CAviteten kan leses av en fotodiode, som kan gi feilsignalet nødvendig for kontroll sløyfe som styrer hulrom lengde.

13. Lås hulrom lengden til de viktigste resonans og ta bilder av profilen av den resulterende stråle som overføres av hulrommet med CCD-kamera for å diagnostisere den produserte strålen og kvalifisere dets renhet.

3. Diagnostikk og karakterisering av den genererte LG Beam

I dette eksperimentet, to viktigste egenskapene definerer kvaliteten på en 'god' stråle for en vellykket gjennomføring i høy presisjon interferometriske målinger: stråleeffekten og bjelken renhet. Andre relevante egenskaper, slik som frekvens eller på-stabilitet kan bevares som gjør bruk av de samme kontroll teknikker implementeres på den fundamentale modus bjelke, som beskrevet ovenfor.

1. Mål LG strålen strøm ved hjelp av en laser strømmåleren. Vær oppmerksom på strålen klipping: en LG stråle har en større omfatsjon i forhold til en konvensjonell Gaussisk bjelke, og den kan overstige den dimensjonen av det følsomme område for de fleste kommersielle instrumenter. Høyeste myndighet er åpenbart anbefales.
2. Bedømme renheten av den genererte LG strålen ved sammenligning med en teoretisk bjelke-profil. For å gjøre dette, ta et bilde av strålen intensitet ved hjelp av CCD-kamera profiler og beregne strålen radius, for å utlede teoretiske strålen amplitude profil å sammenligne den målte med. Vurdere renhet via squared indre produktet mellom den teoretiske og den målte amplitude fordelinger. Høy renhet anbefales.

To viktigste skikkelsene i fortjeneste er nyttige for å vurdere kvaliteten av hele modus konverteringsprosessen: konverteringen effektiviteten av fase plate og av den samlede oppsett.

3. Å evaluere samtalerion effektiviteten av fase plate, følger hulrommet-scan beskrevet i trinn 2.11 og 2.12.
4. Vurdere konvertering effektivitet av den samlede oppsett som forholdet mellom kraften i generert ønsket LG beam vs kraften i den injiserte grunnleggende modus Gaussian strålen. Høy konvertering effektivitet er åpenbart ønskelig.

4. Injeksjon i Store Interferometre: Simulering Investigation

En anvendelse av denne protokollen er å undersøke LG bjelker for deres bruk i gravitasjonsfelt bølgedetektorer. Disse er lange baseline høy presisjon interferometre. Grunnlinjen krever relativt store speil og bjelke størrelser. Dette er imidlertid forsterker effekten av imperfekte optikk, spesielt ved bruk av høyere ordens modi. Denne delen beskriver en simulering basert tilnærming for å undersøke oppførselen til høyere ordens LG moduser i realistiske detektorer.

1. Velg simuleringsverktøy for å modellere lys felt i en interferometeh for å teste høyere ordens LG moduser. Simuleringen programvare skal være i stand til å modellere effekten av feil i oppsettet (forskyvning, mode-mismatch, speil figuren feil, etc.) på den modusen innhold av strålen. Et eksempel er simuleringsverktøy FINESSE ^28.
2. Sett opp en modell av en ekte detektor med den valgte simuleringsverktøy. I tilfelle av Advanced LIGO dette er en dual resirkulert Michelson interferometer med Fabry-Perot hulrom arm. Hensikten med disse innledende simuleringer er å verifisere påliteligheten av modellen, forutsatt perfekte optikk.
3. Test modell med perfekt grunnleggende modus bjelker. Å validere påliteligheten av modellen, bør dette gi for reproduksjon av en liste med eksperimentelle forsøk utført i den virkelige detektoren, som for eksempel: feilsignaler og sjekker mot forventede tall som strømmen sirkulerer i armen hulrom, hulrom skanner, og vinkelformet og langsgående kontroll til interferometeret og av delsystemet denss via sensing og kontroll ordninger. Ytterligere simuleringer bør omfatte reaksjon av interferometeret til en gravitasjons-bølgesignal. Når simuleringene utfører som forventet, kan modellen tilpasses for høyere ordens LG moduser.
4. Test modell med perfekt LG33 bjelker: Tilpass interferometeret design til bruk av LG moduser. Dette krever redusere strålen størrelsen på hulrommet speil, som kan oppnås ved å endre krumningsradier av speilene. Når modellen er tilpasset for LG-modus, bør de tester som er utført i 4,3 gjentas med nye innspill strålen. For tilfelle av perfekt optikk resultatene skal være svært lik dem som bruker HG ₀₀ (se for eksempel ^19).

Bruk av høyere ordens bjelker innfører en degenerasjon "til de optiske hulrom som det finnes flere forskjellige lyskjegleformer kjemper for dominans. En optisk hulrom resonans for en Gaussian modus er resonant for alle moduser av den rekkefølgen.En HG00-modus er den eneste modusen av orden 0, slik at alle andre modi er undertrykt. For eksempel er det LG ₃₃ modus en av ti moduser av orden 9, vil alle bli forbedret i interferometeret. Speilblanke overflaten skjevheter som alltid er tilstede i reelle interferometre kunne par hendelsen modus til andre. Hvis disse nye modi er av samme størrelsesorden som hendelsen bjelke de er forbedret i armen hulrom, som resulterer i svært forvrengte sirkulerende stråler. Dette kan etter hvert forverres instrumentet følsomhet.

5. Sette opp en realistisk interferometer modell: Ta med realistiske data om overflaten figurer av hulrom speil. Denne informasjonen tar form av et "kart" over egenskapene til den speilblanke overflaten, for eksempel geometrisk høyde eller refleksjon, se et eksempel for de avanserte Ligo speil i Figur 11. Etter som omfatter disse effekter, bør utførelsen av den høyere ordens modus bli undersøkt, særligform av kontrasten mangelen for detektorutgangen og muligheten for flere nullgjennomganger i feilsignalene. I disse områdene er de høyere ordens modi forventet å utføre dårligere enn ₀₀ HG.
6. Simulere delsystemer: For bedre å forstå degenerasjon effekter stede i modellen, simulere delsystem der degeneracy stammer, for eksempel de Fabry-Perot arm hulrom i Advanced LIGO. Simuleringer av disse delsystemene bør gi hulrom skanner og feilsignaler å identifisere noen frekvens splitting og påvisning av sirkulerende felt som kan analyseres i form av dens modus innhold.
7. Mirror krav: Utled strengere krav til hvor flat speilet flater i tilfelle at resultatene av trinn 4.6 viser et uakseptabelt høyt nivå av frekvens-splitting eller makt i andre moduser som vil gjøre gjennomføringen av høyere orden LG bjelker umulig. For dette, analysere direkte inter-orden kopling forårsaket av slikeen overflate som kan oppnås numerisk eller ved hjelp av en analytisk tilnærming ^19.. Bruk av denne metoden for å identifisere en bestemt speil form som forårsaker store mengder kopling mellom inngangsstrålebunt og modi av samme størrelsesorden. Ved å sammenligne disse resultatene med simuleringene estimere speil krav til disse figurene, i en spesifisert sirkulerende bjelke renhet. Endelig simulere fullskala interferometer modell med speil kartene modifiseres i den nye spesifikasjoner, som illustrerer forbedringen i kontrast defekten og frekvens splitting.

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
The experimental apparatus discussed in this paper requires the following types of instruments:
Instrument
Solid state Laser source, Nd:YAG 1064 nm CW laser			Quantity: 1
Faraday Isolator			Quantity: 1
Electro-Optic Modulator (EOM)			Quantity: 1
CCDcamera beam profiler			Quantity: 1
Lenses			Quantity: depending on apparatus design
Steering Mirrors			Quantity: depending on apparatus design
Aperture			Quantity: 1
High reflectivity mirrors (for normal incidence)			Quantity: 2
Piezoelectric ring			Quantity: 1
Cavity spacer			Quantity: 1
Photodiodes and related control electronics			Quantity: 1 or more, depending on apparatus design
Spatial light modulator			Quantity: 1 Holoeye LCR-2500
All the above instruments are commercially available and no particular specification is required. We leave the choice of the most suitable instruments to the experimenter’s discretion.
For the interest of the experimenter interested in reproducing the protocol, we recommend the following tools used in our experiment:
Tools
Innolight OEM 300NE, 1064 nm, 300 mW			Laser Source:
SIMTOOLs			Software for data analysis, available at www.gwoptics.org/simtools/
FINESSE			Software for optical simulations, www.gwoptics.org/finesse/
Finally, the phase plate employed in the present experiment was manufactured by Jenoptik GmbH, based on a custom design provided by the Authors.