Overview
출처: 케트론 미첼 윈, 박사, 아산타 쿠레이, 박사, 물리학 및 천문학, 물리 과학 학교, 캘리포니아 대학, 어바인, 캘리포니아
이 실험은 1차원과 2차원의 모션 역학을 보여줍니다. 이 실험실은 투사체를 직접 위쪽으로 발사하고 도달한 최대 높이를 측정하여 일정한 가속 하에 1차원으로 모션을 연구하는 것으로 시작합니다. 이 랩은 도달한 최대 높이가 아래 파생된 운동 방정식과 일치하는지 확인합니다.
2 차원의 모션은 각도 θ에서공을 발사하여 시연됩니다. 아래의 운동 방정식을 사용하여 초기 속도, 총 시간 및 궤적 각도에 따라 발사체가 착륙하는 거리를 예측할 수 있습니다. 이것은 y-및 x-방향에서각각 가속을 사용 하 고 밖으로 운동 모션을 보여줍니다.
Principles
위치, 변위 및 속도와 같은 물체의 운동학을 일부 참조 프레임과 관련하여 수행해야 합니다. 좌표 축의 x-방향은수평 방향과 수직에 대한 y에 해당합니다. 좌표 축(0, 0)의 원점은 파티클의 초기 위치(여기, 공)로 정의됩니다.
1차원의 모션
먼저 위치 y에 해당하는 특정 시간 간격 t에 걸쳐 공의 1차원 모션을 고려해 봅시다. 위치 y 0에 해당하는 초기 시간을 t0으로 나타냅니다. 공의 변위인 Δy는다음과 같이 정의됩니다.
Δy = y - y0. (방정식1)
공의 평균 속도, v-경과 된 시간으로 나누어 변위입니다 .
v-= (y - y 0)/(t - t0)= Δx/Δt.(방정식 2)
즉각적인 속도, v는다음과 같이 정의된 매우 작은 시간 간격에 대한 속도입니다.
v = 림δt→→ 0 (Δ x/Δt). (3)
일정한 가속도, 즉경과된 시간으로 나눈 속도의 변화입니다.
a =(v - v 0)/(t- t - t0). (방정식 4)
t0 = 0을 초기 시간으로 설정하고 마지막 방정식에서 v에 대해 해결하여 시간의 함수로서 속도를 얻습니다.
v = v0 + 에서. (방정식 5)
다음으로, 수학식 2를사용하여 시간의 함수로 위치 y를 계산합니다. y는 다음과 같이 다시 레이블이 지정됩니다.
y = y0 + v-t. (방정식 6)
일정한 가속에서 속도는 균일한 속도로 증가하므로 평균 속도는 초기 속도와 최종 속도 사이의 중간 정도가 됩니다.
v- =(v0 + v)/2. (방정식 7)
이를 방정식 6으로 대체하고 즉각적인 속도의 정의를 사용하면 y에 대한 새로운 방정식이 생깁니다.
y = y =0 + v0t +2에서1/2 . (방정식 8)
t는 방정식 7을 방정식 6으로 대체하여 해결됩니다.
t = (v - v0)/a. (방정식 9)
이 t를 방정식 6으로 대체하고 다시 수학식 7의 정의를 사용하여 y의 방정식을 변경합니다.
y = y =y + (v + v0)/2(v - v0)/a= y0 + (v 2- v02)/2a. (방정식 10)
v 2용 해결은 다음과 같은 것입니다.
v2 = v02 + 2a (y - y0). (방정식 11)
위치, 속도, 가속 및 일정한 시간과 관련된 유용한 방정식입니다.
2d 이메니젼의 모션
이제 2 차원의 모션이 고려됩니다. 수학식 5, 7, 8및 11은 y-방향으로일반적인 운동 방정식 집합을 구성합니다. y 구성 요소를 x 구성 요소로 교체하기만 하면 2차원 x 및 y로모션으로 확장할 수 있습니다. 그림 1과같이 x축과관련하여 각도 θ에서 초기 속도 v0으로 발사된 발사체를 고려하십시오. 그림에서, 하나는 초기 속도에 대한 x 방향구성 요소가 볼 수 있습니다, vx,0, v0코스(θ). 마찬가지로, y-방향으로 vy,0 = v0죄(θ).
T그는 입자 경험만 가속화하는 것은 네거티브 y-방향으로중력이다. 따라서 x-방향의속도는 일정합니다. y-방향의속도는 변위를 중간으로, t/2에서변위를 통과하는 중간에서 최소에 도달하며, 여기서 t는 총 시간입니다. 위의 방정식을 사용하여 방정식으로 이 2차원 모션을 설명합니다. 이 좌표 프레임에서, 원점은 (0,0)에 해당한다(x0,y0). x-방향으로시작
x = x= x 0 + vx,0 t + 1/2 axt2 (방정식12)
= v0 코스(θ)t. (방정식 13)
y-방향으로
y = y = y0 + vy,0t + 1/2 ay t2 (방정식14)
= v0죄(θ)t - 1/2 g t2,(방정식15)
그림 1. 2 차원의 투사체 모션. 발사체는 x-축에대하여 비스듬히 초기 속도 v0으로 발사됩니다. 두 속도 구성 요소는 V X및 vy이며V = vx +vy.
w여기 g는 중력 가속이다. 발사체가 경로를 완료하는 데 걸리는 시간을 측정하고 각도 θ 및 초기 속도 v0이알려지면 x 및 y-길의변위를 계산할 수 있습니다. 이 실험을 시작하기 전에 발사기의 총구 속도, 6.3 m/s가 알려져 있다. 이러한 변위 계산은 실험 결과와 비교됩니다. 유사한 절차는 θ = 0을 통해 발사체를 위쪽으로 직접 촬영하여 1 차원으로 수행할 수 있습니다.
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Procedure
1. 1 차원으로 움직입니다.
- 공, 플런저런서가 있는 런처, 두 개의 기둥, 양동이, 클램프 2개, 번지 코드, 2m 스틱을 획득합니다.
- 런처를 극에 부착하고 2m 길이의 극을 위에 부착합니다.
- 플런저를 사용하여 최대 스프링 장력으로 런처에 공을 놓습니다.
- 발사기를 직접 위쪽으로 각도로 조정하여 θ = 0을 각도합니다.
- 공을 실행하고 최대 높이에 도달하는 데 걸리는 총 시간을 측정하기 위해 스톱워치를사용합니다. 초기 위치는 공이 런처를 빠져나가는 곳입니다.
- 공은 최대 높이 2m에 도달하고 높이에 도달하면 즉시 멈춥니다.
- 단계를 1.5-1.6번 5회 반복하고 계산의 평균 시간을 사용합니다.
2. 2 차원으로 움직입니다.
- 런처와 다른 극을 동일한 수평 높이에서 4m 간격으로 설정합니다. 클램프 및 번지코드(그림 2)를사용하여 다른 극에 버킷을 부착합니다. 버킷의 높이는 공이 런처를 빠져나가는 높이와 같아야 합니다.
- 플런저를 사용하여 최대 스프링 장력으로 런처에 공을 놓습니다.
- 발사기를 45° 각도로 각도로 각도로 각도를 그리므로 θ = π/4.
- 스톱워치를 사용하여 공이 양동이에 착륙하는 데 걸리는 총 시간을 측정합니다.
- 공이 도달하는 대략적인 높이에 유의하십시오.
- 단계를 2.4-2.5번 반복하고 계산의 평균 시간을 사용합니다.
그림 2. 실험 용 설정.
운동학은 종종 많은 물리적 사건과 현상의 중요한 결과입니다 운동의 설명이다.
모션은 1차원, 2차원 또는 3차원일 수 있습니다. 이러한 모든 경우에 오브젝트의 움직임에 적용되는 방정식은 원점에서 변위되는 위치의 벡터 수량(시간별 위치의 변화 및 시간이 지남에 따라 속도의 변화)을 사용합니다.
이 정보를 통해 자유 낙하 된 물체의 경로, 발사체궤역 및 행성의 궤도를 계산하여 몇 가지 예만 제시 할 수 있습니다.
여기서는 물체의 1차원 상승 및 하강과 관련된 운동 방정식과 각도로 발사된 물체의 2차원 호에 초점을 맞출 것입니다.
모션을 설명하기 전에 좌표 계체 또는 참조 프레임을 가져야 합니다. 일반적으로 x축은 수평이고 y축은 수직입니다. 원점은 임의이지만 종종 개체의 시작점입니다.
의 기원에 배치하고 똑바로 던져 농구를 고려하자. 공의 위치는 원점에서의 거리와 방향이며 미터 단위가 있습니다.
평균 속도 vy는 시간 Δt의 변화에 의해 분할 위치 Δy의 변화이며, 초당 미터의 단위를 갖는다. 그러나 Δt가 0에 가까워지면 평균 속도 방정식이 즉각적인 속도에 대해 하나가 됩니다.
실질적으로 즉각적인 속도를 그 순간의 속도로 생각하십시오. 따라서 시작 시 순간 속도 v0은 발사 속도가며, 그 다음에는 즉각적인 속도가 피크에서 0이 될 때까지 연속적으로 감소합니다.
지구의 중력에 의해 제공되는 일정한 가속도로 인한 속도의 감소는 공의 움직임에 반대하고이 좌표 시스템에서 부정적입니다.
이러한 일정한 가속 조건에서, 운동 관계는 한 차원으로 순간 속도 및 위치의 크기에 대한 이러한 방정식으로 이어질. 이를 사용하여 지정된 시간에 개체의 모션을 계산할 수 있습니다.
농구 예제에 이러한 공식을 적용해 보겠습니다. 농구의 발사 속도, v0, 초당 20 미터라고 가정 해 봅시다. 우리는 피크에서 공의 마지막 순간 속도는 0것을 알고있다. 공의 움직임을 반대하기 때문에 여기서 가속은 음의 g입니다. 따라서 이 운동학 방정식을 재배열하여 상승 시간을 약 2초로 얻을 수 있습니다. 이제, 위치에 대한 운동 공식을 사용하고 초기 위치 y0이 0이라고 말하고, 중력및 상승 시간으로 인한 발사 속도 가속값을 연결하여 약 20.4미터의 피크 높이인 최대 변위를 계산할 수 있습니다. 피크에 도달한 후, 공은 시작 된 땅에 부딪칠 때까지 속도가 증가하여 2 초 동안 떨어지며 총 비행 시간은 약 4 초가됩니다.
두 차원의 경우 오브젝트의 수직 및 수평 모션은 서로 독립적이며 순 결과가 벡터 합계인 별도로 처리될 수 있습니다. 이 통찰력을 사용하여 발사체 모션의 전체 호는 두 개의 별도의 1차원 동작으로 분해될 수 있습니다.
예를 들어, 투수가 20미터/초의 초기 속도로 야구공을 지면에서 30도 각도로 던집니다. 속도의 초기 수직 구성 요소는 이 속도 의 30도 또는 10 미터 /초의 죄 입니다. 초기 수평 구성 요소는 30도 또는 약 17 미터 / 초의 코신 속도 시간입니다.
야구의 상승 시간 동안, 수직 속도는 중력에 의해 감소 속도와 함께 위쪽으로. 중간 점인 피크에서 수직 속도는 순식간에0입니다. 그런 다음 가을 시간 동안 속도가 증가하면서 하향됩니다.
공기 저항을 무시하고 수평 모션은 가속이 없으므로 일정한 속도를 가지고 있습니다.
수직 및 수평 위치 및 수직 및 수평 속도의 벡터 추가는 발사체 모션의 호를 생성합니다. 상승 및 하강 시간의 합계는 범위 또는 수평 거리를 결정하는 총 비행 시간입니다.
움직이는 물체의 경로를 계산하는 방법을 살펴보았으니, 직진하여 위로 던져진 공의 운동 방정식과 한 쪽은 비스듬히 던져지는 것을 테스트합니다.
이 실험은 공, 플런저를 장착한 런처, 두 개의 기둥, 양동이, 2개의 클램프, 2미터 길이의 스틱과 스톱워치를 사용합니다. 발사기의 총구 속도는 초당 6.3 미터입니다. 1차원 투사체 모션을 보여주는 첫 번째 실험의 경우 런처를 극에 부착하고 2미터 스틱을 위에 배치합니다.
발사기를 조정하여 수직에서 0도 각도로 직접 위쪽으로 가리킨다. 이는 수평에서 90도의 발사 각도에 해당합니다. 공이 나가는 런처 끝의 수직 위치를 기록하고 y0을 지정합니다. 플런저를 사용하여 최대 스프링 장력으로 런처에 공을 놓습니다.
공을 실행하고 같은 순간에 스톱워치를 시작합니다. 공이 수직 위치 y0에서 시작점으로 돌아가는 총 시간을 측정하고 결과를 비행 시간으로 기록합니다. 공이 약 2미터의 최대 높이에 도달하고 이 시점에서 즉시 정지합니다.
이 절차를 다섯 번 반복하고 나중에 계산할 때 평균 총 시간을 사용합니다.
이 두 번째 실험에서는 2차원 투사체 모션을 보여 줍니다. 첫 번째 실험에서와 같이 발사기를 설정하고 다른 극을 같은 높이로 4미터 떨어진 곳에 배치합니다. 클램프로 이 두 번째 극에 버킷을 부착하고 버킷을 조정하여 런처의 끝과 동일한 높이에 있도록 합니다.
구성의 중간에 2 미터 스틱을 부착하고, 발사기의 높이 또는 y0보다적어도 1 미터 가 되도록 배치합니다. 발사기를 조정하여 수직으로부터 45도 각도로 조정하여 수평에서 45도의 발사 각도입니다. 플런저를 사용하여 최대 스프링 장력으로 런처에 공을 놓습니다.
이제 공을 실행하고 같은 순간에 스톱워치를 시작합니다. 공이 양동이에 착륙할 수 있는 총 비행 시간을 측정합니다. 볼이 도달하는 최대 높이를 기록하고 기록합니다. 이 실험을 다섯 번 반복하고 나중에 계산할 때 평균 총 시간을 사용합니다.
한 차원으로 움직임을 보여주는 실험의 경우 발사 메커니즘에서 볼의 초기 속도는 초당 6.3 미터였습니다. 공이 똑바로 던져지면 속도가 0이 되면 최고조에 달했습니다. 이 정보와 속도 의 운동 공식을 사용하면 볼의 이론적 상승 시간을 0.64 초로 계산할 수 있습니다. 이를 2로 곱하면 계산된 비행 시간이 생깁니다. 그런 다음 위치 수식을 사용하여 피크 높이를 2.02 미터로 계산할 수 있습니다.
이론적이고 측정된 결과는 실험 오류 내에서 유사하며, 1차원 모션을 위한 운동 방정식의 유효성을 검사합니다.
2차원 모션을 시연하는 실험을 위해 공은 45도 각도로 6.3미터/초의 속도로 발사되었습니다. 발사체 모션을 계산하려면 먼저 초기속도-v•cosθ-의 x-구성요소와 초기속도-v•죄 θ의 y 성분을 결정합니다. 그런 다음 초기 수직 속도와 가속을 사용하여 피크 높이에 도달하는 시간을 결정하며, 이는 0.45초로 나옵니다. 따라서 총 비행 시간은 이 값의 두 배 또는 0.9초입니다.
최대 수직 변위를 계산하려면 초기 수직 속도, 중력으로 인한 가속도 및 상승 시간을 사용합니다. 이것은 우리에게 1 미터의 이론적 최대 y 변위를 제공합니다. 최대 수평 변위를 계산하려면 초기 수평 속도와 총 비행 시간을 사용하여 이론적 최대 x 변위가 4미터입니다.
다시 말하지만, 이론은 2 차원 모션에 대한 운동 방정식을 검증, 실험과 잘 동의합니다.
운동학의 사용과 발사체 모션에 대한 이해는 많은 일상적인 응용 분야에서 중요하고 종종 보이지 않습니다.
자동차 엔지니어는 종종 다른 자동차 사양을 계산하기 위해 운동학을 사용합니다.
그 중 하나는 1차원 운동 방정식을 사용하여 계산할 수 있는 중요한 안전 파라미터인 정지 또는 제동 거리입니다.
그것을 모르고, 골퍼는 클럽의 모든 스윙운동학을 사용하여 정신 계산을 수행합니다. 홀인원이 되기를 바라며, 골퍼는 스윙을 하고, 공을 치고, 일정한 속도와 각도로 코스를 가로질러 날아다닌다. 골프공의 이상적인 2차원 경로는 발사체 모션을 지배하는 방정식에 순종합니다.
당신은 운동학 및 발사체 운동에 대한 JoVE의 소개를 보았습니다. 이제 운동 방정식을 사용하여 하나 또는 두 개의 차원에서 움직이는 오브젝트의 궤적을 계산하는 방법을 알아야 합니다. 언제나처럼, 시청주셔서 감사합니다!
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Results
위의 절차의 1 단계와 2 단계의 대표 결과는 표 1에나와 있습니다. 이 표는 볼이 1치와 2 차원에서 도달한 최대 높이를 기록하며, 알려진 초기 속도와 총 비행 시간을 기록합니다. 실험적으로 측정된 최대 수직 변위의 값은 수학식 15를사용하여 계산된 것과 비교되며, 그 값은 아래에서도 발견된다. 또한 표는 2차원 실험용 볼의 최대 수평 변위를 기록합니다. 이는 알려진 초기 속도와 측정된 비행 시간을 사용하여 수학식 13의 계산된 값과 비교됩니다. 이 두 결과는 매우 잘 일치하며, 이는 역학 방정식의 유효성을 검사합니다.
| 계산된 비행 시간(들) | 계산된 y(m) | 평균 측정 비행 시간(들) | 평균 측정 y (m) |
| 1.28 | 2.02 | 1.22 | 2.1 |
표 1. 계산되고 측정된 결과 한 차원이있습니다.
| 계산된 비행 시간(들) | 계산된 y(m) | 계산된 x(m) | 평균 측정 비행 시간(들) | 평균 측정 y (m) | 평균 측정 x(m) |
| 0.9 | 1.01 | 4.01 | 1.02 | 1.1 | 4 |
표 2. 계산되고 측정된 결과 두 차원이 생성됩니다.
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Applications and Summary
운동학은 광범위한 응용 분야에서 사용됩니다. 군은 이러한 운동 방정식을 사용하여 탄도 를 발사하는 가장 좋은 방법을 결정합니다. 더 나은 정확도를 위해, 공기 저항의 드래그는 방정식에 포함되어 있습니다. 자동차 제조업체는 운동학을 사용하여 최고 속도와 정지 거리를 파악합니다. 이륙하기 위해서는 비행기가 활주로에서 떨어지기 전에 특정 속도를 달성해야 합니다. 운동학을 사용하면 특정 공항에서 이륙할 때 조종사가 얼마나 빨리 가속해야 하는지 계산할 수 있습니다.
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