וקטורים בכיוונים מרובים

וקטורים הם כמויות עם סקלרים בגודל וגם בכוון, שיש להם רק גודל וסימן.

כוח, תאוצה ומהירות הם דוגמאות לווקטורים. בעוד מסה, אנרגיה וזמן, הם דוגמאות של סקלרים.

וקטור מיוצג בדרך כלל על-ידי חץ. אורך החץ תואם את גודלו והזווית מציינת כיוון.

וידאו זה יציג מערכת של כוחות שניתן לנתח עם חיבור וחיסור וקטור, ולהדגים כיצד פעולות כאלה לייצר תוצאות חשובות להבנת כמה תופעות פיזיות.

תיאור וקטור דורש מערכת קואורדינטות. במסגרת ההתייחסות שנבחרה זו, לדוגמה זו של כדור שנבעט לאוויר יש וקטור מהירות התחלתי. כפי שהוסבר קודם לכן, אורך החץ מייצג את גודל המהירות. והכיוון של הווקטור הוא הזווית שלו מהקרקע.

כל וקטור יכול להיות מפורק לרכיבים, שהם וקטורים עצמם לאורך x- ו y-צירים. אם המהירות ההתחלתית של הכדור היא 20 מטר לשנייה ב-60 מעלות, הרכיב האופקי הוא מהירות כפול קוסינוס של 60 מעלות ויש לו גודל של 10 מטר לשנייה. הרכיב האנכי הוא מהירות כפול סינוס של 60 מעלות ויש לו גודל של כ 17.3 מטר לשנייה.

תוספת וקטורית של רכיבים אופקיים ואנכיים משחזרת את וקטור המהירות המקורי. כדי להוסיף וקטורים, דמיינו את הנחת ראשו של אחד לזנבו של השני. בדוגמה זו הווקטורים הם בזווית ישרה. התוצאה של הסכום נעה ישירות מזנבו של הראשון לראש השני.

רכיבים אלה נמצאים בזווית ישרה, כך שגודל הסכום ניתן על ידי משפט פיתגורס. הזווית היא הארק-טנגנס של הרכיב האנכי חלקי הרכיב האופקי.

בעת הוספת שני וקטורים שאינם מאונכים, יש לפרק כל אחד מהם לרכיבי x ו- y ולאחר מכן להוסיף רכיבים מתאימים. לבסוף, חשב את הסכום הווקטורי של רכיבים אופקיים ואנכיים כפי שהוסבר קודם. חיסור וקטור אחד מהשני שקול לשולל את הווקטור השני ולהוסיף אותו לווקטור הראשון. כמו קודם, יש לפרק כל וקטור לרכיבי x ו-y. לאחר מכן הפחת את רכיב ה- x הקטן יותר מהרכיב הגדול יותר ונעשה את אותו הדבר עבור רכיבי y. לאחר מכן, כמו קודם, לחשב את הסכום הווקטורי של x ו- y-רכיבים וכתוצאה מכך.

כדי להדגים את התוספת והחיסור של וקטורים במעבדת פיזיקה, הציוד הנפוץ הוא שולחן כוח. זהו דיסק עם זוויות המסומנות סביב ההיקף, טבעת במרכז המחוברת לכבלים עם מסות בקצה השני תלויות על ידי גלגלות. ההמונים מייצרים כוחות, שהם הווקטורים שיש לחקור. הכוח לאורך כל כבל שווה לכוח הכבידה, או מ"ג, עם יחידות של ניוטון.

עכשיו, במערך הזה, אם יש רק שתי מסות שוות ב-180 מעלות אחת מהשנייה, אז הן מייצרות כוחות עם סכום וקטורי של אפס. מצב זה נקרא שיווי משקל, אשר גורם אפס תאוצה ולכן הטבעת לא זזה.

אבל אם שני הכוחות ששולפים את הטבעת לא יבטלו אחד את השני, למשל בגלל שינוי בזווית, אז הכוח נטו שאינו אפס יגרום לטבעת לזוז. במקרים כאלה, אם אנו יודעים את סדרי הגודל והכיוונים של כוחות אלה, אז אנחנו יכולים להשתמש בתוספת וחיסור וקטור כדי לחשב את הכוח השלישי הדרוש כדי ליצור מחדש שיווי משקל.

בסעיף הבא נראה כיצד לערוך ניסויים כאלה בטבלת הכוח שבוחנים את העקרונות התיאורטיים של חיבור וחיסור וקטוריים

אם שני הכוחות שווים ומנוגדים, הטבעת במרכז השולחן לא צריכה לזוז. במקרה זה, כל וקטור כוח מתנגד בדיוק לשני בעוצמה ובכיוון. הסכום הווקטורי יש אפס גודל, שהוא התנאי של אפס כוח נטו, או שיווי משקל.

כדי לאמת את העקרונות של חיבור וחיסור וקטורים, הגדר את המסות והזוויות עבור כוחות A ו- B כפי שצוין בשורה הראשונה של טבלה זו. שמור את הזווית עבור A באפס מעלות. עכשיו, להגדיר את הכוח השלישי על ידי הוספת מסות ושינוי הזווית עד הטבעת לא זזה.

לאחר השגת שיווי משקל, לחשב את הכוח של C על ידי הכפלת המסה שלה על ידי התאוצה בשל כוח המשיכה. כמו כן, הקלט את הגודל והזווית עבור כוח C.

חזור על בדיקה זו עבור שלושת המקרים השונים ורשום את הגודל והזווית של כוח C בכל פעם.

עבור ארבעת ההקמות הניסיוניות, טבלה זו מציגה את סדרי הגודל המחושב של כוחות A ו- B, וזוויות של B ביחס ל- A. באמצעות ההקמה הראשונה כדוגמה, אנו יכולים לחשב את כוח C הדרוש ליצירת שיווי משקל על השולחן.

כאן כוח A יש סדר גודל של 0.98 ניוטון ב 0°. כוח B יש את אותו גודל של 0.98 ניוטון אבל זווית של 20°. כדי לקבוע את הווקטור עבור C, הפירוק מאלץ את A ו- B לרכיבי x ו- yשלהם. כוח הערה A מכוון רק לאורך ציר ה- x ואינו כולל רכיב y. לאחר מכן הוסיפו את הרכיבים כדי להניב את הווקטורים x ו- y, שהם הסכום של וקטורים A ו- B.

כדי להשיג שיווי משקל, רכיבי x ו- y של C חייבים להיות ההפך מווקטורים אלה. כדי להשיג את וקטור C, להזיז את הזנב של רכיב y שלה לראש של רכיב x. לאחר מכן הוסיפו את שני הווקטורים באמצעות משפט פיתגורס כדי למצוא את הגודל של וקטור C. והזווית עבור C היא הארק-טנגנס של הרכיב האנכי חלקי הרכיב האופקי. לכן, הגודל המחושב של C מתברר להיות 1.93 ניוטון בזווית של 10° ביחס לציר x.

עכשיו במהלך הניסוי, אנו מחשבים C באמצעות תצפית וניסוי וטעייה, על ידי התאמת המשקולות והזוויות כדי למנוע את התנועה של הטבעת על שולחן הכוח.

וטבלה זו מראה שתוצאות ניסיוניות ומחושבות הן בסדר גודל והן בזווית תואמות באופן הדוק עבור כל ארבע ההגדרות. הסכם זה מאמת את ייצוג הכוחות וכןקטורים. ניתן לייחס את ההבדל למגבלות בדיוק המשקולות, דיוק המדידה של הזווית וכוחות בלתי מוסברים הנגרמים על ידי חיכוך על שולחן הכוח ועם גלגלות.

חיבור וחיסור וקטורים משמשים הן ביישומים פשוטים והן ביישומים מורכבים. בואו נסתכל על כמה מהם.

כאשר מטיילים בעיר כמו ניו יורק, המרחק נמדד בדרך כלל בבלוקים, והכיוונים הם צפון, דרום, מזרח ומערב.

אדם שהולך ארבעה רחובות מזרחה ושלושה רחובות צפונה עובר שינוי במיקום, שהוא כמות וקטורית. לכן, על ידי החלת המשוואות עבור תוספת וקטורית, ניתן לחשב את הגודל והכיוון של הווקטור בין נקודות ההתחלה והסיום של ההליכה.

מהליכה לטיסה: טייס מבצע כל הזמן חיבור וקטור מנטלי וחיסור לתמרון המטוס. על ידי שימוש במדפים ובאיילרון של הכנפיים, טייס יכול להתאים את המעלית כנגד כוח המשיכה. אם המעלית גדולה מכוח הכבידה, המישור עולה. אם המעלית היא פחות מכוח הכבידה, היא יורדת.

באופן דומה, טייס משתמש במנועים כדי לכוונן את הדחף מפני גרירה. אם הדחף גדול יותר מגרירה, המישור מאיץ. אם הדחף הוא פחות מגרירה, הוא מואט.

כאשר הסכום של ארבעת הכוחות האלה שווה לאפס, המטוס נמצא בשיווי משקל ומפליג במהירות ובגובה קבועים.

הרגע צפיתם בהקדמה של ג'וב לווקטורים. עכשיו אתה צריך לדעת איך להוסיף ולהחסיר וקטורים, ולהבין איך כמויות פיזיות מסוימות מתנהגות כמו וקטורים. תודה שצפיתם!