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Vettori in più direzioni

Overview

Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

Questo esperimento dimostra come i vettori aggiungono e sottraggono in più direzioni. L'obiettivo sarà quello di calcolare analiticamente l'addizione o la sottrazione di più vettori e quindi di confermare sperimentalmente i calcoli.

Un vettore è un oggetto con magnitudine e direzione. La grandezza di un vettore è semplicemente indicata come la lunghezza, mentre la direzione è tipicamente definita dall'angolo che fa con l'asse x. Poiché le forze sono vettori, possono essere utilizzate come rappresentazione fisica dei vettori. Impostando un sistema di forze e trovando quale forza aggiuntiva creerà un equilibrio tra le forze, un sistema di vettori può essere verificato sperimentalmente.

Principles

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Nella Figura 1 mostra il vettore Equation 21 , così come gli assi x e ye l'angolo θ che Equation 21 fa con l'asse x-.

Figure 1

Figura 1.

Per aggiungere o sottrarre due vettori, è utile descrivere il vettore in termini delle sue componenti x e y. La componente x-è la quantità del vettore che punta nella direzione x-,che è matematicamente rappresentata come:

Equation 1. (Equazione 1)

La componente yè rappresentata come:

Equation 2. (Equazione 2)

La grandezza di Equation 21 è definita come:

Equation 3. (Equazione 3)

Per aggiungere o sottrarre due vettori, è sufficiente suddividere i vettori nelle loro componenti x e ye quindi aggiungere o sottrarre, rispettivamente, i componenti corrispondenti.

Ad esempio, se vettore Equation 4 e vettore , quindi Equation 5 l'aggiunta dei due vettori Equation 6 .

Per determinare l'angolo θ di un vettore rispetto all'asse x,utilizzare la seguente equazione:

Equation 7. (Equazione 4)

Poiché i vettori hanno sia magnitudine che direzione, moltiplicare due vettori non è semplice come moltiplicare due numeri. Esistono due modi per moltiplicare i vettori: il prodotto punto e il prodotto incrociato. Il prodotto punto può essere scritto come Equation 8 o Equation 9 Qui, θ è l'angolo tra i due vettori. Il risultato ha solo una grandezza e non una direzione. Un'applicazione del prodotto punto in fisica è il lavoro (W), dove il lavoro è definito come una forza volte una distanza Equation 10 Il prodotto incrociato di due vettori può essere scritto come Equation 11 Mentre simile al prodotto punto, il prodotto incrociato contiene il termine Equation 12 , che è definito come un vettore con magnitudine 1 che è perpendicolare ai due vettori Equation 21 e Equation 22 . Il risultato del prodotto incrociato è un vettore. Un esempio del prodotto incrociato in fisica è la coppia Equation 13 , che è il risultato di una forza volte un raggio Equation 14

I vettori sono utili in fisica perché forze come la gravità o l'attrito possono essere rappresentate come vettori. In questo laboratorio, la forza di gravità viene utilizzata per dimostrare la natura vettoriale delle forze e come tali forze si sommano in più direzioni. La forza di gravità sulla superficie terrestre è scritta come:

Equation 15, (Equazione 5)

dove Equation 16 è la massa dell'oggetto, mentre è Equation 17 l'accelerazione di gravità vicino alla superficie terrestre (9,8 m/s2).

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Procedure

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1. Bilanciere le forze.

  1. Sulla tabella di forza, impostare due pulegge con la stessa massa rivolta in direzioni opposte (differenza di angolo di 180 °).
  2. La forza di ciascuno sarà uguale a Equation 18 . Verificare se le due forze sono uguali e opposte esaminando l'anello al centro della tabella delle forze, che non dovrebbe muoversi.
  3. Si noti che se vengono aggiunti i componenti dei vettori associati a queste forze, il vettore risultante avrà magnitudine zero. Questo è il modo per determinare che tutte le forze sono in equilibrio.

2. Calcoli analitici.

  1. Questo laboratorio sarà composto da tre forze in equilibrio. Due forze saranno conosciute, mentre la terza sarà trovata- prima analiticamente, usando la teoria dei vettori, e poi sperimentalmente. Per questo laboratorio, mantenere Equation 21 a 0° per tutta la durata.
  2. Si noti che se Equation 21 e Equation 22 sono noti e , quando aggiunti al sistema, fa sì che le due forze siano in Equation 23 equilibrio, allora è di Equation 23 uguale grandezza ma nella direzione opposta alla somma ( Equation 21 + Equation 22 ).
  3. Calcola la grandezza di Equation 21 e Equation 22 . Usa il fatto che Equation 18 e che 1 Newton (N) è un'unità di forza uguale a Equation 19 .
  4. Usando la teoria dei vettori, calcola quale grandezza Equation 23 sarebbe se fosse la somma ( + Equation 21 Equation 22 ).
  5. Usando la teoria dei vettori, calcola quale angolo Equation 23 sarebbe se fosse la somma ( + Equation 21 Equation 22 ).

3. Esperimento.

  1. Seguendo i valori sulla prima riga della tabella 1 per Equation 21 e , Equation 22 impostare le due forze sulla tabella delle forze. Ricordarsi di mantenersi Equation 21 a 0°.
  2. Impostare la terza forza, Equation 23 , aggiungendo pesi e cambiando l'angolo fino al raggiungimento dell'equilibrio. Registrare questi valori nella Tabella 2.
  3. Ripetere il passaggio 3.2 per ciascuno dei quattro casi.
  4. Determinare la differenza percentuale dal risultato analitico calcolando Equation 20 . Completare la Tabella 2 con questi valori calcolati.

I vettori sono quantità con magnitudine e direzione, a differenza degli scalari, che hanno solo una magnitudine e un segno.

Forza, accelerazione e velocità sono esempi di vettori. Mentre massa, energia e tempo sono esempi di scalari.

Un vettore è solitamente rappresentato da una freccia. La lunghezza della freccia corrisponde alla sua grandezza e l'angolo indica la direzione.

Questo video mostrerà un sistema di forze che possono essere analizzate con addizione e sottrazione vettoriale e dimostrerà come tali operazioni producano risultati importanti per la comprensione di diversi fenomeni fisici.

La descrizione di un vettore richiede un sistema di coordinate. All'interno di questo sistema di riferimento scelto, questo esempio di una palla calciata in aria ha un vettore di velocità iniziale. Come spiegato in precedenza, la lunghezza della freccia rappresenta la grandezza della velocità. E la direzione del vettore è il suo angolo da terra.

Qualsiasi vettore può essere scomposto in componenti, che sono vettori stessi lungo gli assi x e y. Se la velocità iniziale della palla è di 20 metri al secondo a 60 gradi, la componente orizzontale è velocità volte coseno di 60 gradi e ha una magnitudine di 10 metri al secondo. La componente verticale è velocità tempi seno di 60 gradi e ha una magnitudine di circa 17,3 metri al secondo.

L'aggiunta vettoriale di componenti orizzontali e verticali ricostruisce il vettore di velocità originale. Per aggiungere vettori, immagina di posizionare la testa di uno alla coda dell'altro. In questo esempio i vettori sono ad angolo retto. La somma risulta quando si viaggia direttamente dalla coda del primo alla testa del secondo.

Queste componenti sono ad angolo retto, quindi la grandezza della somma è data dal teorema di Pitagora. L'angolo è la tangente dell'arco della componente verticale divisa per la componente orizzontale.

Quando si aggiungono due vettori che non sono perpendicolari, scomporre ciascuno in componenti x e y, quindi aggiungere componenti corrispondenti. Infine, calcola la somma vettoriale delle componenti orizzontali e verticali come spiegato in precedenza. Sottrarre un vettore da un altro equivale a negare il secondo vettore e aggiungerlo al primo. Come prima, scomporre ogni vettore in componenti x e y. Quindi sottrarre il componente x più piccolo da quello più grande e fare lo stesso per i componenti y. Quindi, come prima, calcola la somma vettoriale delle componenti x e y risultanti.

Per dimostrare l'aggiunta e la sottrazione di vettori in un laboratorio di fisica, l'attrezzatura comunemente usata è una tabella di forza. Questo è un disco con angoli segnati attorno al perimetro, un anello al centro attaccato a cavi con masse all'altra estremità sospese da pulegge. Le masse producono forze, che sono i vettori da studiare. La forza lungo ogni corda è uguale alla forza gravitazionale, o mg,con unità di Newton.

Ora, in questo set-up, se ci sono solo due masse uguali a 180 gradi l'una dall'altra, allora producono forze con una somma vettoriale di zero. Questa condizione è chiamata equilibrio, che si traduce in accelerazione zero e quindi l'anello non si muoverà.

Ma se le due forze che tirano l'anello non si annullano a vicenda, ad esempio a causa del cambiamento di angolo, allora la forza netta diversa da zero causerebbe lo spostamento dell'anello. In tali casi, se conosciamo le grandezze e le direzioni di queste forze, allora possiamo usare l'addizione e la sottrazione vettoriale per calcolare la terza forza necessaria per ristabilire l'equilibrio.

Nella prossima sezione mostreremo come condurre tali esperimenti di tabella di forza che testano i principi teorici dell'addizione e della sottrazione vettoriale

Se le due forze sono uguali e opposte, l'anello al centro del tavolo non dovrebbe muoversi. In questo caso, ogni vettore di forza si oppone esattamente all'altro in grandezza e direzione. La somma vettoriale ha magnitudine zero, che è la condizione di forza netta zero, o equilibrio.

Per convalidare i principi di addizione e sottrazione vettoriale, impostare le masse e gli angoli per le forze A e B come indicato nella prima riga di questa tabella. Mantenere l'angolo per A a zero gradi. Ora, imposta la terza forza aggiungendo masse e cambiando l'angolo fino a quando l'anello non si muove.

Dopo aver raggiunto l'equilibrio, calcola la forza di C moltiplicando la sua massa per l'accelerazione dovuta alla gravità. Inoltre, registrare la magnitudine e l'angolo per la forza C.

Ripeti questo test per i tre diversi casi e registra ogni volta l'entità e l'angolo della forza C.

Per i quattro set-up sperimentali, questa tabella mostra le grandezze calcolate delle forze A e B e gli angoli di B rispetto ad A. Usando il primo set-up come esempio, possiamo calcolare la forza C necessaria per stabilire l'equilibrio sulla tabella.

Qui la forza A ha una magnitudine di 0,98 Newton a 0°. La forza B ha la stessa magnitudine di 0,98 Newton ma un angolo di 20°. Per determinare il vettore per C, scomporre le forze A e B nelle loro componenti x e y. Nota che la forza A è diretta solo lungo l'asse x e non ha alcun componente y. Quindi aggiungi i componenti per ottenere i vettori x e y, che sono la somma dei vettori A e B.

Per raggiungere l'equilibrio, le componenti x e y di C devono essere l'opposto di questi vettori. Per ottenere il vettore C, spostare la coda della sua componente y sulla testa della componente x. Quindi aggiungi i due vettori usando il teorema di Pitagora per trovare la grandezza del vettore C. E l'angolo per C è la tangente della componente verticale divisa per la componente orizzontale. Pertanto, la magnitudine calcolata di C risulta essere 1,93 Newton con un angolo di 10 ° rispetto all'asse x.

Ora, durante l'esperimento, calcoliamo C attraverso l'osservazione e la prova e l'errore, regolando i pesi e gli angoli per impedire il movimento dell'anello sulla tavola delle forze.

E questa tabella mostra che i risultati sperimentali e calcolati sia per la magnitudine che per l'angolo corrispondono strettamente per tutte e quattro le configurazioni. Questo accordo convalida la rappresentazione delle forze come vettori. La differenza può essere attribuita a limitazioni nell'accuratezza dei pesi, precisione di misurazione dell'angolo e forze non contabilizzate causate dall'attrito sulla tavola delle forze e con le pulegge.

L'addizione e la sottrazione vettoriale sono utilizzate sia in applicazioni semplici che complesse. Diamo un'occhiata ad alcuni di loro.

Quando si visita una città come New York, la distanza viene solitamente misurata in blocchi e le direzioni sono nord, sud, est e ovest.

Una persona che cammina quattro isolati a est e tre isolati a nord subisce un cambiamento di posizione, che è una quantità vettoriale. Pertanto, applicando le equazioni per l'addizione vettoriale, è possibile calcolare la grandezza e la direzione del vettore tra i punti iniziale e finale della passeggiata.

Dal camminare al volare: un pilota esegue costantemente l'addizione e la sottrazione del vettore mentale per manovrare l'aereo. Utilizzando i flap e gli alettoni delle ali, un pilota può regolare la portanza contro la gravità. Se la portanza è maggiore della forza gravitazionale, il piano sale. Se la portanza è inferiore alla forza gravitazionale, scende.

Allo stesso modo, un pilota utilizza i motori per regolare la spinta contro la resistenza. Se la spinta è maggiore della resistenza, l'aereo accelera. Se la spinta è inferiore alla resistenza, rallenta.

Quando la somma di queste quattro forze è uguale a zero, l'aereo è in equilibrio e naviga a velocità e altitudine costanti.

Hai appena visto l'introduzione di JoVE ai vettori. Ora dovresti sapere come aggiungere e sottrarre vettori e capire come certe quantità fisiche si comportano come vettori. Grazie per l'attenzione!

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Results

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I risultati del laboratorio sono mostrati nella Tabella 1 e nella Tabella 2.

Tabella 1. Apparecchio.

Apparecchio # Un B
Un sacco Angolo Un sacco Angolo
1 100 0 100 20
2 100 0 150 40
3 200 0 150 60
4 200 0 250 80

Tabella 2. Risultati analitici.

Apparecchio # Grandezza Equation 21
(N)
Grandezza Equation 22
(N)
Angolo Equation 22
(°)
Grandezza Equation 23
(N)
Angolo Equation 23
(°)
1 0.98 0.98 20 1.93 10
2 0.98 1.47 40 2.31 24
3 1.96 1.47 60 2.98 25
4 1.96 2.45 80 3.39 45

Tabella 3. Risultati sperimentali.

Apparecchio # Magnitudo sperimentale Equation 23
(N)
Grandezza analitica Equation 23
(N)
Differenza
(%)
Angolo sperimentale Equation 23
(°)
Angolo analitico
Equation 23
(°)
Differenza
(%)
1 2.1 1.93 9 11 10 10
2 2.2 2.31 5 26 24 8
3 2.8 2.98 6 28 25 12
4 3.5 3.39 3 43 45 5

I risultati dell'esperimento sono in accordo con i calcoli analitici. La somma di due vettori e l'angolo tra loro possono essere calcolati usando le equazioni 1-5. Le equazioni sono valide per fare calcoli di vettori fisici, come la forza.

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Applications and Summary

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Un outfielder nel baseball deve capire i vettori per prendere una palla in movimento. Se l'esterno conoscesse solo la velocità della palla, potrebbe correre a sinistra invece che a destra e perdere la palla. Se solo conoscesse la direzione del colpo, potrebbe caricare, solo per guardare la palla navigare sopra la sua testa. Se capisce i vettori, non appena la palla viene colpita, può considerare sia la grandezza che la direzione per stimare dove sarà la palla quando fa una cattura.

Quando un aereo è nel cielo, la sua velocità e direzione possono essere scritte come un vettore. Quando c'è un vento forte, il vettore del vento si aggiunge al vettore del piano per dare il vettore del sistema risultante. Ad esempio, se un aereo sta volando nel vento, la magnitudine del vettore risultante sarà inferiore alla magnitudine iniziale. Questo corrisponde al piano che si muove più lentamente quando si dirige verso il vento, il che ha un senso intuitivo.

Quando due oggetti si scontrano e si attaccano insieme, il loro momento finale (un vettore) può essere approssimato come la somma dei due vettori di quantità di moto iniziali. Questa è una semplificazione, poiché nel mondo reale, due oggetti che si scontrano hanno fattori extra da considerare, come il calore o la deformazione dalla collisione. La quantità di moto è solo la massa di un oggetto moltiplicata per la sua velocità. Se due pattinatori sul ghiaccio che viaggiano in direzioni diverse e a velocità diverse si scontrano e si aggrappano l'uno all'altro, la loro direzione e velocità finali possono essere stimate in base alle loro componenti vettoriali iniziali.

In questo esperimento, la natura vettoriale delle forze è stata esaminata e misurata. I vettori sono stati sommati e la magnitudine e la direzione risultanti sono state determinate sia analiticamente che sperimentalmente.

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Transcript

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