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Overview

Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

L'inerzia è la resistenza di un oggetto ad essere accelerato. Nella cinematica lineare, questo concetto è direttamente correlato alla massa di un oggetto. Più un oggetto è massiccio, maggiore è la forza necessaria per accelerare quell'oggetto. Questo è visto direttamente nella seconda legge di Newton, che afferma che la forza è uguale all'accelerazione di massa.

Per la rotazione, esiste un concetto simile chiamato inerzia rotazionale. In questo caso, l'inerzia rotazionale è la resistenza di un oggetto ad essere accelerato rotazionalmente. L'inerzia rotazionale dipende non solo dalla massa, ma anche dalla distanza di massa dal centro di rotazione.

L'obiettivo di questo esperimento è misurare l'inerzia rotazionale di due masse rotanti e determinare la dipendenza dalla massa e dalla distanza dall'asse di rotazione.

Principles

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Un certo oggetto o sistema di oggetti ha una certa inerzia rotazionale. L'inerzia rotazionale attorno a un certo asse è chiamata momento di inerzia. Poiché la distanza dalla massa all'asse di rotazione è importante, un singolo oggetto può avere momenti di inerzia molto diversi a seconda dell'asse attorno al quale ruota. Il momento di inerzia per un oggetto è definito come:

Equation 1 , (Equazione 1)

dove i è il numero di oggetti.

Nell'equazione 1, r è la distanza dall'asse di rotazione alla massa. Come si può vedere nell'equazione, il momento di inerzia dipende dalla massa dell'oggetto e dal quadrato della distanza dalla massa all'asse di rotazione.

Proprio come la cinematica lineare ha equazioni del moto, la cinematica rotazionale ha equazioni analoghe del moto. Ad esempio, la seconda legge di Newton per il moto lineare è:

Equation 2. (Equazione 2)

Un'equazione rotazionale simile assume la forma:

Equation 3, (Equazione 3)

dove Equation 4 è la coppia, è il momento di Equation 5 inerzia e è Equation 6 l'accelerazione angolare. Qui, il momento di inerzia è l'analogo del termine di massa nella seconda legge di Newton. Allo stesso modo, il momento di inerzia è presente nelle altre importanti equazioni del moto rottivo:

Equation 7, (Equazione 4)

Equation 8, (Equazione 5)

dove Equation 9 è la velocità angolare dell'oggetto.

Per questo esperimento, una massa è collegata a un braccio rotante da una stringa avvolta attorno all'asse di rotazione. Vedere la Figura 1 per un'immagine dell'aspetto della configurazione sperimentale. Due masse saranno collegate al braccio rotante, l'attrito sarà ignorato in questo esperimento e il momento totale di inerzia sarà uguale al momento delle masse rotanti più il momento del braccio rotante.

La massa, che cade a causa dell'influenza della gravità, metterà in atto una coppia sul braccio rotante. Dall'equazione 2 Equation 3 e Equation 10 . Qui, Equation 11 è la forza sull'oggetto, che proviene dalla tensione nella Equation 12 corda, ed è la Equation 13 distanza dalla forza all'asse di rotazione. Qui, quella distanza è la distanza dal bordo della corda avvolta all'asse di rotazione.

L'accelerazione angolare Equation 6 è definita da Equation 14 , dove Equation 6 è l'accelerazione lineare di un punto sulla corda avvolta che corrisponde all'accelerazione del peso in caduta. Mettere tutto insieme dà Equation 16 . La seconda legge di Newton è usata per trovare la tensione. La somma delle forze sull'oggetto dovrebbe essere uguale alla massa volte l'accelerazione. Qui, le forze sul peso che cade sono la gravità ( Equation 17 ) e la tensione , quindi Equation 12 Equation 18 . Assumendo un'accelerazione costante, allora Equation 19 , dove è la Equation 20 distanza percorsa dal peso e Equation 21 è il tempo necessario per cadere quella distanza. Questo deriva dalle equazioni cinematiche del moto.

Mettendo tutto insieme si traduce in un'equazione per il momento di inerzia in termini di quantità misurabili durante l'esperimento:

Equation 22. (Equazione 7)

Se due masse sono attaccate al braccio rotante a distanze uguali Equation 23 dall'asse di rotazione, il momento di inerzia sarà:

Equation 24, (Equazione 8)

che è il valore teorico per questo esperimento.

Figure 1
Figura 1. Configurazione sperimentale.

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Procedure

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1. Misurare il momento di inerzia dell'asta lunga.

  1. Avvolgere la corda attaccata al peso fino a quando il peso è vicino al braccio rotante.
  2. Lascia cadere il peso e misura il tempo necessario per cadere, così come la distanza che scende.
  3. Eseguire il passaggio 1.2 tre volte e calcolare il momento medio di inerzia utilizzando l'equazione 7.
  4. Calcola il momento teorico di inerzia della canna da spinning usando la seguente formula: Equation 25 , dove è la massa Equation 26 dell'asta e Equation 27 è la lunghezza.
  5. Confrontare il valore teorico con il valore misurato e registrare la differenza.

2. Due masse attaccate all'asta.

  1. Posizionare due masse da 100 kg a 20 cm di distanza dal centro dell'asta.
  2. Ripetere i passaggi 1.2 e 1.3 con le masse collegate.
  3. Il momento totale di inerzia dovrebbe essere uguale al momento di inerzia delle masse attaccate più il momento di inerzia dell'asta. Usa questo fatto, i risultati del passo 1 e l'equazione 8 per determinare i momenti teorici e sperimentali di inerzia per le masse attaccate.
  4. Confrontare i valori teorici con i valori misurati e registrare le differenze.

3. Effetto della distanza sul momento di inerzia.

  1. Ripetere il passaggio 2 del laboratorio, ma spostare le masse attaccate a 10 cm di distanza dal centro di rotazione. Notare eventuali cambiamenti nella caduta del peso o nella rotazione dell'asta.
  2. Confrontare i valori teorici con i valori misurati e registrare le differenze.

4. Effetto della massa sul momento di inerzia.

  1. Ripetere il passaggio 2 del laboratorio, ma modificare la dimensione della massa a 200 kg.
  2. Confrontare i valori teorici con i valori misurati e registrare le differenze.

L'inerzia rotazionale caratterizza la relazione tra coppia e accelerazione rotazionale di un oggetto.

L'inerzia è la resistenza che un oggetto ha a un cambiamento nel suo stato di movimento. Nella cinematica lineare, il concetto di inerzia è direttamente correlato alla massa di un oggetto. Più un oggetto è massiccio, maggiore è la forza necessaria per accelerare quell'oggetto.

Nella cinematica rotazionale, il concetto è definito come inerzia rotazionale, che è la resistenza di un oggetto ad essere accelerato rotazionalmente. L'inerzia rotazionale, indicata con la lettera I, dipende non solo dalla massa ma anche dalla distanza della massa dal centro di rotazione, o r. E matematicamente, è dato dalla formula I uguale a m*r-quadrato.

Si noti che se c'è più di un oggetto rotante, allora l'inerzia rotazionale dell'intero sistema è la somma delle singole inerzie rotazionali - date da questa formula dove la i minuscola è per il numero di oggetti sottoposti a rotazione.

Questo video mostrerà come misurare teoricamente e sperimentalmente l'inerzia rotazionale di un braccio rotante con e senza masse attaccate.

Prima di entrare nei dettagli del protocollo, parliamo del set-up sperimentale e delle leggi ed equazioni che governano l'inerzia rotazionale in questo sistema.

Il primo set-up è costituito da un asse, che è libero di ruotare attorno a un asse di rotazione. Poi c'è un peso attaccato a una corda e la corda è avvolta attorno all'asse, in modo tale che il peso sia vicino all'asta.

Quando il peso viene rilasciato, la tensione nella corda fornisce la forza per la rotazione dell'asta. L'inerzia rotazionale, nota anche come momento di inerzia o massa angolare o I di questa asta può essere calcolata sperimentalmente usando questa formula. Qui, r è il raggio dell'asse, m è la massa dell'oggetto che cade, t è il tempo che l'oggetto richiede per cadere a una distanza misurata de g è l'accelerazione dovuta alla gravità

Teoricamente, il momento di inerzia di qualsiasi asta cilindrica è dato da questa formula, dove M è la massa dell'asta e L è la lunghezza dell'asta.

Nel prossimo esperimento, avvolgeremo la corda indietro e attaccheremo due masse identiche all'asta alla stessa distanza x dal centro. Queste due masse hanno un loro momento di inerzia, teoricamente dato dalla formula I uguale a due volte m x-quadrato.

Ora, quando il peso viene rilasciato, l'asta girerà di nuovo. In questo caso, l'inerzia sperimentale del sistema - data dalla formula precedentemente discussa - terrà conto sia dell'inerzia delle due masse che dell'inerzia dell'asta. Pertanto, sottraendo l'inerzia dell'asta ottenuta nel primo esperimento da questo valore, si otterrà l'inerzia rotazionale sperimentale delle sole masse in questo sistema.

Ora che hai capito come calcolare teoricamente e sperimentalmente le inerzie rotazionali per gli elementi di questo sistema, vediamo come impostare l'esperimento e come registrare i valori

Come discusso, il primo esperimento misura il momento di inerzia della sola canna da spinning. Prendi la corda che è attaccata al peso e avvolgila attorno all'asse fino a quando il peso è vicino al braccio. Lascia cadere il peso. Misura e registra la distanza che cade e il tempo necessario per cadere.

Avvolgi la corda e lascia cadere il peso altre tre volte. Utilizzare i risultati di queste prove per calcolare il momento medio di inerzia per la canna da spinning, quindi calcolare il valore teorico.

La prossima serie di esperimenti richiede il posizionamento di masse aggiuntive sull'asta. Posiziona due masse da 1 chilogrammo sui lati opposti dell'asta, con ciascuna a 20 centimetri dal centro.

Avvolgere la corda attorno all'asse fino a quando il peso è vicino al braccio. Come prima, rilascia il peso e misura la distanza che cade e il tempo necessario per cadere. Ripetere questa procedura altre tre volte.

Con questi risultati sperimentali, calcola il momento medio totale di inerzia per la canna da spinning con masse attaccate.

Per studiare l'effetto della distanza sul momento di inerzia, riposizionare le masse di 1 chilogrammo in modo che siano ciascuna a 10 centimetri dal centro dell'asta.

Eseguire la procedura sperimentale quattro volte e notare qualsiasi effetto sulla velocità di rotazione. Calcola il nuovo momento medio di inerzia solo per le masse e registra il risultato.

Infine, per analizzare l'effetto della massa sul momento di inerzia, modificare le due masse in modo che siano ciascuna di 2 chilogrammi e riposizionarle in modo che siano a 20 centimetri dal centro dell'asta.

Eseguire la procedura sperimentale quattro volte e notare nuovamente qualsiasi cambiamento nel comportamento della canna da spinning. Calcola il nuovo momento medio di inerzia solo per le masse e registra il risultato.

I valori teorici e sperimentali per il momento di inerzia dell'asta, e delle sole masse attaccate, concordano ragionevolmente bene, confermando le equazioni che descrivono l'inerzia rotazionale. Le limitazioni nell'accuratezza della misurazione spiegano la differenza percentuale tra i risultati attesi ed effettivi.

Poiché il momento di inerzia è proporzionale alla massa, il risultato per le masse di 1 chilogrammo posizionate a 20 centimetri dall'asse di rotazione è la metà di quello delle masse di 2 chilogrammi alla stessa distanza.

Il momento di inerzia per le masse rotanti è anche proporzionale al quadrato di distanza dall'asse di rotazione. Le masse da 1 chilogrammo situate a 20 centimetri dal centro hanno il doppio della distanza e, come previsto, quattro volte il momento di inerzia rispetto alle stesse masse a 10 centimetri.

L'inerzia rotazionale è un effetto importante e può essere utilizzata vantaggiosamente in molte situazioni.

Un funambolo porta un lungo palo per aumentare il suo momento di inerzia rispetto all'uso solo delle braccia. A causa della maggiore inerzia rotazionale, il palo rimane stabile e orizzontale, consentendo al funambolo di rimanere in equilibrio

Le ruote di un'auto o di qualsiasi veicolo concentrano la maggior parte della loro massa sul lato esterno mantenendo il centro relativamente leggero. Questa configurazione a cerchio non è solo più leggera, ma ha anche meno inerzia rotazionale rispetto a un disco solido.

Di conseguenza, è necessaria meno coppia per girare e arrestare la ruota, riducendo le richieste al motore durante l'accelerazione e la decelerazione.

Hai appena visto l'introduzione di JoVE all'inerzia rotazionale. Ora dovresti capire cos'è il momento di inerzia e come dipende dalla massa e dalla distanza dal centro di rotazione. Come sempre, grazie per aver guardato!

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Results

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Valore teorico

(kg m2)

Valore sperimentale

(kg m2)

Differenza

(%)

Parte 1 0.20 0.22 10
Parte 2 0.08 0.07 14
Parte 3 0.02 0.02 0
Parte 4 0.16 0.15 6

I risultati dell'esperimento confermano le previsioni fatte dalle equazioni 7 e 8. Il momento di inerzia per una canna da spinning, come dato dalla formula nel passaggio 1.4, è stato confermato sperimentalmente. La distanza ridotta nel passaggio 3 ha comportato un momento di inerzia più piccolo, come previsto. La massa maggiore nel passaggio 4 ha provocato un momento di inerzia più grande, come previsto dall'equazione 8.

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Applications and Summary

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Ti sei mai chiesto perché un funambolo porta un palo molto lungo? Il motivo è che il palo lungo ha un momento di inerzia molto grande a causa della sua lunghezza. Pertanto, richiede una grande quantità di coppia per farlo ruotare. Questo aiuta il funambolo a rimanere in equilibrio, poiché il palo rimarrà stabile.

Le ruote di auto e biciclette non sono mai solo dischi solidi; invece, hanno raggi che sostengono la ruota dall'asse. Ciò consente un design più leggero, che aiuta con la velocità, Tuttavia, la vera ragione di questo design può essere spiegata l'inerzia rotazionale. Un disco solido ha un momento di inerzia più grande di una forma a cerchio. Con il suo momento di inerzia più piccolo, un cerchio richiede meno coppia per girare e, forse ancora più importante, richiede meno coppia per smettere di girare.

Quando un giocatore di baseball è in battuta contro un lanciatore che lancia palle veloci, potrebbe voler accelerare il suo swing per ottenere un colpo. Può raggiungere questo obiettivo semplicemente avvicinando le mani all'estremità pesante del pipistrello, che si chiama "soffocamento". Ciò riduce la distanza dal centro di massa del pipistrello all'asse di rotazione e quindi rende più facile per la pastella ruotare il pipistrello.

In questo esperimento, il momento di inerzia per un'asta e due masse sono stati misurati sperimentalmente e calcolati teoricamente. Sono state esaminate le differenze tra questi valori. È stato testato l'effetto della massa sul momento di inerzia, così come l'effetto della distanza dall'asse di rotazione.

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Transcript

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