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Overview

Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Departamento de Física & Astronomia, Escola de Ciências Físicas, Universidade da Califórnia, Irvine, CA

O momento angular é definido como o produto do momento da inércia e da velocidade angular do objeto. Como seu momento linear analógico, angular é conservado, o que significa que o momento angular total de um sistema não mudará se não houver torques externos no sistema. Um torque é o equivalente rotacional de uma força. Por ser um momento conservado e angular é uma quantidade importante na física.

O objetivo deste experimento é medir o momento angular de uma haste giratória e usar a conservação do momento angular para explicar duas demonstrações rotacionais.

Principles

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O momento angular pode ser escrito como:

Equation 1 , (Equação 1)

onde Equation 2 está o momento da inércia e é a velocidade Equation 3 angular. O momento da inércia é o analógico rotacional da massa para o movimento linear. Está relacionado com a distribuição em massa de um objeto rotativo e o eixo de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais torque é necessário para causar uma aceleração angular em um objeto. A regra da mão direita pode ser usada para determinar a direção do momento angular. Quando os dedos da mão direita se enrolam na direção da rotação, o polegar estendido aponta na direção do momento angular.

Um torque é definido como o produto de uma força aplicada a alguma distância de um eixo de rotação:

Equation 1 , (Equação 2)

onde Equation 6 está a distância para o eixo de rotação e é a força Equation 5 aplicada. Se um torque agir sobre um objeto, a velocidade angular desse objeto mudará, juntamente com seu momento angular. Se a soma dos torques em um objeto for igual a zero, então o momento angular total será conservado e terá o mesmo valor final que inicialmente.

Um exemplo divertido da conservação do momento angular pode ser demonstrado com uma roda de bicicleta e uma cadeira giratória. A roda e a pessoa na cadeira constituem um sistema com algum momento angular. Se a pessoa aplicar um torque para girar a roda, com o eixo apontando verticalmente, o sistema terá ganhado impulso angular. Se a pessoa então virar a roda giratória, ela começará a girar em sua cadeira na direção oposta da roda giratória. Aqui, o sistema teve um momento angular, com sua direção determinada pela regra da direita. Quando a roda foi virada, o momento angular do sistema mudou de direção. Por causa da conservação, a cadeira começou a girar na direção oposta para que o momento angular total do sistema fosse igual ao do sistema antes da roda ser virada.

Outra demonstração da conservação do momento angular pode ser feita com uma cadeira giratória e dois pesos. Se os pesos forem retidos no comprimento do braço enquanto a cadeira está girando e, em seguida, são trazidos perto do peito, haverá um aumento na velocidade angular. Isso acontece porque trazer os pesos mais próximos do eixo de rotação diminui o momento de inércia do sistema. Se não há mais força agindo para girar a cadeira, então o torque no sistema é zero. O momento angular deve permanecer constante, pois não há torques, e a única maneira de isso acontecer é a velocidade angular aumentar.

Neste experimento, uma haste giratória está conectada a um peso em queda. A queda do peso proporcionará um torque na haste, e o momento angular será medido em dois pontos: primeiro quando o peso cair no meio do caminho e depois novamente uma vez que o peso chegue ao final da corda. Consulte a Figura 1 para obter uma imagem da configuração experimental.

O momento da inércia de uma vara giratória é Equation 7 , onde está a massa da vara e é o Equation 8 Equation 9 comprimento. Essas quantidades podem ser medidas antes do experimento ocorrer. Para encontrar a velocidade Equation 3 angular, serão utilizadas as equações cinemáticas rotacionais:

Equation 10. (Equação 3)

A equação 3 afirma que a velocidade angular final Equation 3 é igual à velocidade angular inicial mais a Equation 3 aceleração Equation 11 angular, multiplicada pelo tempo. Porque a vara começará em repouso, Equation 12 será igual a zero. A aceleração angular Equation 11 é definida por , onde está o torque e é o momento da Equation 13 Equation 14 Equation 2 inércia. O torque é o produto cruzado da distância do eixo de rotação para a força, e a força do peso causando uma tensão na corda, o que faz com que a haste gire: Equation 1 . Essa força agindo sobre a polia é igual à força no peso: Equation 16 , onde está a massa e é a Equation 17 Equation 18 aceleração devido à gravidade. O raio Equation 6 do torque será a distância da corda da ferida até o eixo de rotação.

Figure 1
Figura 1. Configuração experimental. Entrada: 1) suporte de anel grande, 2) extensor, 3) conjunto rotativo, 4) peso e 5) barra de torque.

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Procedure

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1. Teste a teoria da conservação do momento angular com a roda da bicicleta.

  1. Enquanto estiver sentado em uma cadeira que pode girar livremente, comece a girar a roda da bicicleta e, em seguida, segure-a pelas alças para que sua direção de momento angular seja vertical.
  2. Enquanto segura a roda pelas duas alças, vire a roda para que seu momento angular aponte na direção oposta. Observe como a cadeira começará a girar.

2. Teste a teoria da conservação do momento angular com dois pesos.

  1. Enquanto senta em uma cadeira que pode girar livremente, segure dois pesos no comprimento do braço.
  2. Faça um parceiro fazer a cadeira girar e depois trazer os pesos para perto do peito. Observe o aumento da velocidade de rotação da cadeira.

3. Meça a mudança de momento angular na haste giratória.

  1. Meça o comprimento da haste e sua massa. Usando uma vara de medidor, meça a metade do peso em queda e marque o feixe vertical com fita para ter uma referência. Calcule o momento da inércia da haste.
  2. Adicione 200 g ao final da corda e enrole-o até a parte superior. Observe onde está localizado o meio da corda.
  3. Solte o peso e meça o tempo necessário para chegar à marca da metade e, em seguida, novamente para o fundo. Faça isso três vezes e pegue os valores médios. Calcule o momento angular em ambos os pontos.
  4. Aumente o peso no final da corda para 500 g e repita o passo 3.3.
  5. Aumente o peso para 1.000 g e repita o passo 3.3.

Uma massa giratória tem a propriedade do momento angular e a conservação do momento angular é central para resolver problemas na dinâmica rotacional.

Como explicado em outro vídeo desta coleção, o momento linear de um objeto não muda, ou seja, Δp é zero até que uma força externa líquida seja aplicada.

O mesmo princípio de conservação se aplica ao momento angular, denotado pela letra L. Assim, ΔL também é zero até que um torque externo líquido é aplicado.

Aqui, vamos primeiro explicar o conceito de momento angular e mostrar como ele é conservado usando diferentes exemplos. Em seguida, o vídeo demonstrará um experimento de laboratório envolvendo a medição do momento angular para uma haste giratória.

Para entender o momento angular, vamos considerar uma bola presa à corda passando por um movimento rotacional sobre um eixo. A magnitude do momento angular desta bola'L' é r - o raio do círculo - vezes p, que é o momento translacional. Agora p é massa vezes velocidade, onde velocidade é a velocidade tangencial. A velocidade tangencial é a velocidade angular'ω' vezes r. A direção do momento angular é dada pela regra da direita. Se você enrolar os dedos da mão direita na direção da rotação, então o polegar estendido aponta na direção do momento angular do sistema.

Com base nesta fórmula e no princípio da conservação do momento angular, podemos prever que na ausência de torque externo líquido, se r for reduzido ω aumentaria, e se r for aumentado ω diminuiria.

Este princípio de conservação do momento angular é evidente na patinação artística. Com os braços para fora, o patinador gira em uma velocidade, mas assim que eles trazem seus braços, a velocidade de rotação aumenta significativamente.

Agora que revisamos o princípio da conservação do momento angular, vamos vê-lo em ação em um laboratório de física. Para a primeira demonstração, sente-se em uma cadeira que pode girar livremente e segurar dois pesos à distância do braço. Peça a outra pessoa para girar a cadeira. Ao girar, aproxime os pesos do peito e observe como a velocidade de rotação da cadeira aumenta.

Assim como o patinador de gelo giratório, quando os pesos são mantidos longe do corpo, a pessoa na cadeira tem um alto momento de inércia devido a um rrelativamente maior . Trazer os pesos para perto do corpo reduz o momento de inércia do sistema e, portanto, devido à conservação do momento angular, a velocidade de rotação aumenta.

Para a segunda demonstração, sente-se novamente em uma cadeira que pode girar livremente e segurar uma roda de bicicleta pelas alças para que seu eixo seja vertical. Em seguida, gire a roda no sentido anti-horário, mantendo a cadeira estacionária. Pela regra da direita, a direção do vetor de momento angular da roda é vertical, apontando para cima.

Gire a roda para que esteja girando no sentido horário quando o eixo estiver vertical novamente. Agora seu momento angular aponta para baixo. Observe como a cadeira gira em resposta.

A roda da bicicleta, a pessoa que a segura e a cadeira compõem um sistema de múltiplos objetos. Quando a roda sozinha está girando, este sistema tem um certo momento angular total. Embora a pessoa que segura a roda aplique um torque para virá-lo, este torque se origina dentro do sistema e o torque externo líquido é zero.

Sem torque aplicado externo, o momento angular é conservado, o que significa que não muda. Inverter a roda inverte a direção de seu momento angular. Para manter a quantidade total de momento angular no sistema conservado, a pessoa e a cadeira devem girar, de modo que seu vetor de momento angular combinado se opõe ao da roda.

Como resultado, o momento angular total da pessoa, cadeira e roda virada deve ter a mesma magnitude e estar na mesma direção que o momento angular da roda em sua posição original.

Em seguida, vamos ver um experimento envolvendo a medição do momento angular de uma vara giratória. Para isso, um peso em queda puxa uma corda enrolada em torno de um eixo. A magnitude do torque resultante é a tensão na corda vezes o raio do eixo. Este torque gira o eixo, causando aceleração rotacional da haste presa a ele. O momento de inércia da haste pode ser calculado a partir de sua massa M e comprimento L.

A aceleração angular da haste giratória é igual a este torque dividido pelo momento de inércia da haste. Com essas informações, é possível calcular a velocidade angular a qualquer momento a partir das equações para cinemática rotacional.

Finalmente, usando o momento de inércia e velocidade angular da haste, o momento angular da haste giratória será determinado em dois pontos: quando o peso cair no meio do caminho e quando chegar ao fim de sua viagem.

Antes de iniciar o experimento, meça o comprimento e a massa da haste e calcule seu momento de inércia. Use uma vara de medidor para determinar a metade da viagem descendente do peso. Marque este ponto com fita no feixe vertical. Coloque 200 gramas na extremidade da corda e enrole-a até que o peso atinja a parte superior.

Solte o peso e meça a quantidade de tempo para chegar ao meio do caminho e a quantidade de tempo para chegar ao fundo. Registos. Faça isso três vezes e use os valores médios para calcular o momento angular em ambos os pontos.

Aumente o peso da corda para 500 gramas. Realize o procedimento quatro vezes e regise os resultados. Em seguida, aumente o peso para 1000 gramas, repita o procedimento e regise os resultados.

À medida que a massa do peso em queda aumenta, o torque e a aceleração angular no eixo da haste giratória devem aumentar proporcionalmente. Teoricamente, a qualquer momento, tanto a velocidade angular quanto o momento angular devem aumentar proporcionalmente com esse torque.

A qualquer distância que o peso tivesse caído, o momento angular da haste giratória deveria ter sido proporcional à raiz quadrada da massa do peso. O experimento mostrou que o momento angular com o peso de 500 gramas era de fato aproximadamente 1,6-ou a raiz quadrada de 5/2 vezes as do peso de 200 gramas. Da mesma forma, o momenta com o peso de 1000 gramas foi aproximadamente 1,4 - ou a raiz quadrada de 2 vezes os do peso de 500 gramas.

Além disso, para um determinado peso, o torque e a aceleração angular devem ser constantes. Nesta condição, a velocidade angular da haste giratória deve aumentar proporcionalmente com a raiz quadrada da distância que o peso cai. A distância final foi o dobro da distância no ponto de meio caminho, então o momento angular final foi de 1,4-ou a raiz quadrada de 2 vezes o momento angular no meio do caminho.

Os resultados deste experimento concordam com a teoria e confirmam a relação entre torque e momento angular.

O momento angular é uma propriedade importante dos objetos rotativos e seus efeitos estão no centro de muitos dispositivos mecânicos e atividades do dia-a-dia.

Você deve ter notado que é mais fácil equilibrar em uma bicicleta quando ela está em movimento. A razão para isso é o momento angular. Quando as rodas estiverem em movimento, elas terão alguma quantidade de momento angular com direção perpendicular ao quadro. Quanto maior o momento angular, maior é o torque necessário para mudar o momento e, portanto, é mais difícil virar a moto.

Outro sistema que usa a conservação do momento angular são helicópteros com dois rotores. Aqui o rotor dianteiro gira as lâminas no sentido horário e o rotor da cauda gira as lâminas no sentido anti-horário. Essas rotações resultam em dois momentos angulares opostos, que se cancelam... resultando em conservação de momento angular para todo o sistema. E isso é o que impede o helicóptero de girar fora de controle.

Você acabou de assistir a introdução de JoVE ao momento angular. Agora você deve entender o momento angular, como ele é conservado em vários sistemas e como ele afeta o comportamento de objetos rotativos. Como sempre, obrigado por assistir!

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Results

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Missa
(g)
Momento angular no meio do caminho
(kg m2)/s
Momento angular na parte inferior
(kg m2)/s
Diferença
(kg m2)/s
200 0.41 0.58 0.17
500 0.66 0.91 0.25
1,000 0.93 1.32 0.39

No primeiro passo, a teoria da conservação do momento angular foi confirmada, quando a cadeira começou a girar quando a roda foi virada. Na segunda etapa, a teoria da conservação do momento angular foi novamente confirmada, à medida que a cadeira começou a girar mais rápido quando os pesos foram trazidos e o momento de inércia do sistema foi reduzido. Na terceira etapa do laboratório, o aumento do torque na haste giratória aumentou o momento angular. Com todas as outras quantidades sendo constantes, o momento angular aumentou linearmente com o tempo.

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Applications and Summary

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Assim como na parte da cadeira giratória do laboratório, mudar o momento de inércia de um objeto pode aumentar ou diminuir a velocidade angular desse objeto. Patinadores figuram vantagem disso e às vezes começam a girar com os braços estendidos e, em seguida, trazer seus braços para perto de seus corpos, o que vai fazê-los girar muito mais rápido.

Por que é mais fácil equilibrar em uma bicicleta quando ela está em movimento? A resposta é o momento angular. Quando as rodas não estão girando, é fácil para a moto cair. Uma vez que as rodas estão em movimento, eles terão alguma quantidade de momento angular. Quanto maior o momento angular, mais torque é necessário para mudá-lo, por isso é mais difícil derrubar a moto.

Se um quarterback jogar futebol sem colocar qualquer giro na bola, seu voo será vacilante e pode perder seu alvo. Para evitar isso, os quarterbacks usam os dedos para fazer a bola girar quando jogam. Quando a bola gira enquanto voa pelo ar, ela tem um momento angular, o que requer torque para mudar a direção do momento angular. A bola não vai oscilar ou virar no ar.

Neste experimento, o conceito de conservação do momento foi testado em duas demonstrações. Em um, a direção do momento angular foi conservada, e na outra, a magnitude foi conservada. Na última parte do experimento, o efeito de um torque no momento angular foi medido.

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Transcript

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