Overview
Fonte: Nicholas Timmons, Asantha Cooray, PhD, Departamento de Física & Astronomia, Escola de Ciências Físicas, Universidade da Califórnia, Irvine, CA
O momento angular é definido como o produto do momento da inércia e da velocidade angular do objeto. Como seu momento linear analógico, angular é conservado, o que significa que o momento angular total de um sistema não mudará se não houver torques externos no sistema. Um torque é o equivalente rotacional de uma força. Por ser um momento conservado e angular é uma quantidade importante na física.
O objetivo deste experimento é medir o momento angular de uma haste giratória e usar a conservação do momento angular para explicar duas demonstrações rotacionais.
Principles
O momento angular pode ser escrito como:
, (Equação 1)
onde 
está o momento da inércia e é a velocidade 
angular. O momento da inércia é o analógico rotacional da massa para o movimento linear. Está relacionado com a distribuição em massa de um objeto rotativo e o eixo de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais torque é necessário para causar uma aceleração angular em um objeto. A regra da mão direita pode ser usada para determinar a direção do momento angular. Quando os dedos da mão direita se enrolam na direção da rotação, o polegar estendido aponta na direção do momento angular.
Um torque é definido como o produto de uma força aplicada a alguma distância de um eixo de rotação:
, (Equação 2)
onde 
está a distância para o eixo de rotação e é a força 
aplicada. Se um torque agir sobre um objeto, a velocidade angular desse objeto mudará, juntamente com seu momento angular. Se a soma dos torques em um objeto for igual a zero, então o momento angular total será conservado e terá o mesmo valor final que inicialmente.
Um exemplo divertido da conservação do momento angular pode ser demonstrado com uma roda de bicicleta e uma cadeira giratória. A roda e a pessoa na cadeira constituem um sistema com algum momento angular. Se a pessoa aplicar um torque para girar a roda, com o eixo apontando verticalmente, o sistema terá ganhado impulso angular. Se a pessoa então virar a roda giratória, ela começará a girar em sua cadeira na direção oposta da roda giratória. Aqui, o sistema teve um momento angular, com sua direção determinada pela regra da direita. Quando a roda foi virada, o momento angular do sistema mudou de direção. Por causa da conservação, a cadeira começou a girar na direção oposta para que o momento angular total do sistema fosse igual ao do sistema antes da roda ser virada.
Outra demonstração da conservação do momento angular pode ser feita com uma cadeira giratória e dois pesos. Se os pesos forem retidos no comprimento do braço enquanto a cadeira está girando e, em seguida, são trazidos perto do peito, haverá um aumento na velocidade angular. Isso acontece porque trazer os pesos mais próximos do eixo de rotação diminui o momento de inércia do sistema. Se não há mais força agindo para girar a cadeira, então o torque no sistema é zero. O momento angular deve permanecer constante, pois não há torques, e a única maneira de isso acontecer é a velocidade angular aumentar.
Neste experimento, uma haste giratória está conectada a um peso em queda. A queda do peso proporcionará um torque na haste, e o momento angular será medido em dois pontos: primeiro quando o peso cair no meio do caminho e depois novamente uma vez que o peso chegue ao final da corda. Consulte a Figura 1 para obter uma imagem da configuração experimental.
O momento da inércia de uma vara giratória é 
, onde está a massa da vara e é o 
comprimento. Essas quantidades podem ser medidas antes do experimento ocorrer. Para encontrar a velocidade angular, serão utilizadas as equações cinemáticas rotacionais:
. (Equação 3)
A equação 3 afirma que a velocidade angular final é igual à velocidade angular inicial mais a aceleração 
angular, multiplicada pelo tempo. Porque a vara começará em repouso, 
será igual a zero. A aceleração angular é definida por , onde está o torque e é o momento da 
inércia. O torque é o produto cruzado da distância do eixo de rotação para a força, e a força do peso causando uma tensão na corda, o que faz com que a haste gire: . Essa força agindo sobre a polia é igual à força no peso: 
, onde está a massa e é a 
aceleração devido à gravidade. O raio do torque será a distância da corda da ferida até o eixo de rotação.
Figura 1. Configuração experimental. Entrada: 1) suporte de anel grande, 2) extensor, 3) conjunto rotativo, 4) peso e 5) barra de torque.
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Procedure
1. Teste a teoria da conservação do momento angular com a roda da bicicleta.
- Enquanto estiver sentado em uma cadeira que pode girar livremente, comece a girar a roda da bicicleta e, em seguida, segure-a pelas alças para que sua direção de momento angular seja vertical.
- Enquanto segura a roda pelas duas alças, vire a roda para que seu momento angular aponte na direção oposta. Observe como a cadeira começará a girar.
2. Teste a teoria da conservação do momento angular com dois pesos.
- Enquanto senta em uma cadeira que pode girar livremente, segure dois pesos no comprimento do braço.
- Faça um parceiro fazer a cadeira girar e depois trazer os pesos para perto do peito. Observe o aumento da velocidade de rotação da cadeira.
3. Meça a mudança de momento angular na haste giratória.
- Meça o comprimento da haste e sua massa. Usando uma vara de medidor, meça a metade do peso em queda e marque o feixe vertical com fita para ter uma referência. Calcule o momento da inércia da haste.
- Adicione 200 g ao final da corda e enrole-o até a parte superior. Observe onde está localizado o meio da corda.
- Solte o peso e meça o tempo necessário para chegar à marca da metade e, em seguida, novamente para o fundo. Faça isso três vezes e pegue os valores médios. Calcule o momento angular em ambos os pontos.
- Aumente o peso no final da corda para 500 g e repita o passo 3.3.
- Aumente o peso para 1.000 g e repita o passo 3.3.
Uma massa giratória tem a propriedade do momento angular e a conservação do momento angular é central para resolver problemas na dinâmica rotacional.
Como explicado em outro vídeo desta coleção, o momento linear de um objeto não muda, ou seja, Δp é zero até que uma força externa líquida seja aplicada.
O mesmo princípio de conservação se aplica ao momento angular, denotado pela letra L. Assim, ΔL também é zero até que um torque externo líquido é aplicado.
Aqui, vamos primeiro explicar o conceito de momento angular e mostrar como ele é conservado usando diferentes exemplos. Em seguida, o vídeo demonstrará um experimento de laboratório envolvendo a medição do momento angular para uma haste giratória.
Para entender o momento angular, vamos considerar uma bola presa à corda passando por um movimento rotacional sobre um eixo. A magnitude do momento angular desta bola'L' é r - o raio do círculo - vezes p, que é o momento translacional. Agora p é massa vezes velocidade, onde velocidade é a velocidade tangencial. A velocidade tangencial é a velocidade angular'ω' vezes r. A direção do momento angular é dada pela regra da direita. Se você enrolar os dedos da mão direita na direção da rotação, então o polegar estendido aponta na direção do momento angular do sistema.
Com base nesta fórmula e no princípio da conservação do momento angular, podemos prever que na ausência de torque externo líquido, se r for reduzido ω aumentaria, e se r for aumentado ω diminuiria.
Este princípio de conservação do momento angular é evidente na patinação artística. Com os braços para fora, o patinador gira em uma velocidade, mas assim que eles trazem seus braços, a velocidade de rotação aumenta significativamente.
Agora que revisamos o princípio da conservação do momento angular, vamos vê-lo em ação em um laboratório de física. Para a primeira demonstração, sente-se em uma cadeira que pode girar livremente e segurar dois pesos à distância do braço. Peça a outra pessoa para girar a cadeira. Ao girar, aproxime os pesos do peito e observe como a velocidade de rotação da cadeira aumenta.
Assim como o patinador de gelo giratório, quando os pesos são mantidos longe do corpo, a pessoa na cadeira tem um alto momento de inércia devido a um rrelativamente maior . Trazer os pesos para perto do corpo reduz o momento de inércia do sistema e, portanto, devido à conservação do momento angular, a velocidade de rotação aumenta.
Para a segunda demonstração, sente-se novamente em uma cadeira que pode girar livremente e segurar uma roda de bicicleta pelas alças para que seu eixo seja vertical. Em seguida, gire a roda no sentido anti-horário, mantendo a cadeira estacionária. Pela regra da direita, a direção do vetor de momento angular da roda é vertical, apontando para cima.
Gire a roda para que esteja girando no sentido horário quando o eixo estiver vertical novamente. Agora seu momento angular aponta para baixo. Observe como a cadeira gira em resposta.
A roda da bicicleta, a pessoa que a segura e a cadeira compõem um sistema de múltiplos objetos. Quando a roda sozinha está girando, este sistema tem um certo momento angular total. Embora a pessoa que segura a roda aplique um torque para virá-lo, este torque se origina dentro do sistema e o torque externo líquido é zero.
Sem torque aplicado externo, o momento angular é conservado, o que significa que não muda. Inverter a roda inverte a direção de seu momento angular. Para manter a quantidade total de momento angular no sistema conservado, a pessoa e a cadeira devem girar, de modo que seu vetor de momento angular combinado se opõe ao da roda.
Como resultado, o momento angular total da pessoa, cadeira e roda virada deve ter a mesma magnitude e estar na mesma direção que o momento angular da roda em sua posição original.
Em seguida, vamos ver um experimento envolvendo a medição do momento angular de uma vara giratória. Para isso, um peso em queda puxa uma corda enrolada em torno de um eixo. A magnitude do torque resultante é a tensão na corda vezes o raio do eixo. Este torque gira o eixo, causando aceleração rotacional da haste presa a ele. O momento de inércia da haste pode ser calculado a partir de sua massa M e comprimento L.
A aceleração angular da haste giratória é igual a este torque dividido pelo momento de inércia da haste. Com essas informações, é possível calcular a velocidade angular a qualquer momento a partir das equações para cinemática rotacional.
Finalmente, usando o momento de inércia e velocidade angular da haste, o momento angular da haste giratória será determinado em dois pontos: quando o peso cair no meio do caminho e quando chegar ao fim de sua viagem.
Antes de iniciar o experimento, meça o comprimento e a massa da haste e calcule seu momento de inércia. Use uma vara de medidor para determinar a metade da viagem descendente do peso. Marque este ponto com fita no feixe vertical. Coloque 200 gramas na extremidade da corda e enrole-a até que o peso atinja a parte superior.
Solte o peso e meça a quantidade de tempo para chegar ao meio do caminho e a quantidade de tempo para chegar ao fundo. Registos. Faça isso três vezes e use os valores médios para calcular o momento angular em ambos os pontos.
Aumente o peso da corda para 500 gramas. Realize o procedimento quatro vezes e regise os resultados. Em seguida, aumente o peso para 1000 gramas, repita o procedimento e regise os resultados.
À medida que a massa do peso em queda aumenta, o torque e a aceleração angular no eixo da haste giratória devem aumentar proporcionalmente. Teoricamente, a qualquer momento, tanto a velocidade angular quanto o momento angular devem aumentar proporcionalmente com esse torque.
A qualquer distância que o peso tivesse caído, o momento angular da haste giratória deveria ter sido proporcional à raiz quadrada da massa do peso. O experimento mostrou que o momento angular com o peso de 500 gramas era de fato aproximadamente 1,6-ou a raiz quadrada de 5/2 vezes as do peso de 200 gramas. Da mesma forma, o momenta com o peso de 1000 gramas foi aproximadamente 1,4 - ou a raiz quadrada de 2 vezes os do peso de 500 gramas.
Além disso, para um determinado peso, o torque e a aceleração angular devem ser constantes. Nesta condição, a velocidade angular da haste giratória deve aumentar proporcionalmente com a raiz quadrada da distância que o peso cai. A distância final foi o dobro da distância no ponto de meio caminho, então o momento angular final foi de 1,4-ou a raiz quadrada de 2 vezes o momento angular no meio do caminho.
Os resultados deste experimento concordam com a teoria e confirmam a relação entre torque e momento angular.
O momento angular é uma propriedade importante dos objetos rotativos e seus efeitos estão no centro de muitos dispositivos mecânicos e atividades do dia-a-dia.
Você deve ter notado que é mais fácil equilibrar em uma bicicleta quando ela está em movimento. A razão para isso é o momento angular. Quando as rodas estiverem em movimento, elas terão alguma quantidade de momento angular com direção perpendicular ao quadro. Quanto maior o momento angular, maior é o torque necessário para mudar o momento e, portanto, é mais difícil virar a moto.
Outro sistema que usa a conservação do momento angular são helicópteros com dois rotores. Aqui o rotor dianteiro gira as lâminas no sentido horário e o rotor da cauda gira as lâminas no sentido anti-horário. Essas rotações resultam em dois momentos angulares opostos, que se cancelam... resultando em conservação de momento angular para todo o sistema. E isso é o que impede o helicóptero de girar fora de controle.
Você acabou de assistir a introdução de JoVE ao momento angular. Agora você deve entender o momento angular, como ele é conservado em vários sistemas e como ele afeta o comportamento de objetos rotativos. Como sempre, obrigado por assistir!
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Results
| Missa (g) |
Momento angular no meio do caminho (kg m2)/s |
Momento angular na parte inferior (kg m2)/s |
Diferença (kg m2)/s |
| 200 | 0.41 | 0.58 | 0.17 |
| 500 | 0.66 | 0.91 | 0.25 |
| 1,000 | 0.93 | 1.32 | 0.39 |
No primeiro passo, a teoria da conservação do momento angular foi confirmada, quando a cadeira começou a girar quando a roda foi virada. Na segunda etapa, a teoria da conservação do momento angular foi novamente confirmada, à medida que a cadeira começou a girar mais rápido quando os pesos foram trazidos e o momento de inércia do sistema foi reduzido. Na terceira etapa do laboratório, o aumento do torque na haste giratória aumentou o momento angular. Com todas as outras quantidades sendo constantes, o momento angular aumentou linearmente com o tempo.
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Applications and Summary
Assim como na parte da cadeira giratória do laboratório, mudar o momento de inércia de um objeto pode aumentar ou diminuir a velocidade angular desse objeto. Patinadores figuram vantagem disso e às vezes começam a girar com os braços estendidos e, em seguida, trazer seus braços para perto de seus corpos, o que vai fazê-los girar muito mais rápido.
Por que é mais fácil equilibrar em uma bicicleta quando ela está em movimento? A resposta é o momento angular. Quando as rodas não estão girando, é fácil para a moto cair. Uma vez que as rodas estão em movimento, eles terão alguma quantidade de momento angular. Quanto maior o momento angular, mais torque é necessário para mudá-lo, por isso é mais difícil derrubar a moto.
Se um quarterback jogar futebol sem colocar qualquer giro na bola, seu voo será vacilante e pode perder seu alvo. Para evitar isso, os quarterbacks usam os dedos para fazer a bola girar quando jogam. Quando a bola gira enquanto voa pelo ar, ela tem um momento angular, o que requer torque para mudar a direção do momento angular. A bola não vai oscilar ou virar no ar.
Neste experimento, o conceito de conservação do momento foi testado em duas demonstrações. Em um, a direção do momento angular foi conservada, e na outra, a magnitude foi conservada. Na última parte do experimento, o efeito de um torque no momento angular foi medido.
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