Overview
Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA
L'equilibrio è un caso speciale in meccanica che è molto importante nella vita di tutti i giorni. Si verifica quando la forza netta e la coppia netta su un oggetto o un sistema sono entrambe pari a zero. Ciò significa che sia le accelerazioni lineari che quelle angolari sono zero. Quindi, l'oggetto è a riposo, o il suo centro di massa si muove a velocità costante. Tuttavia, questo non significa che nessuna forza agisca sugli oggetti all'interno del sistema. In effetti, ci sono pochissimi scenari sulla Terra in cui nessuna forza agisce su un dato oggetto. Se una persona attraversa un ponte, esercita una forza verso il basso sul ponte proporzionale alla sua massa, e il ponte esercita una forza verso l'alto uguale e opposta sulla persona. In alcuni casi, il ponte può flettersi in risposta alla forza verso il basso della persona, e in casi estremi, quando le forze sono abbastanza grandi, il ponte può diventare gravemente deformato o addirittura fratturarsi. Lo studio di questa flessione di oggetti in equilibrio si chiama elasticità e diventa estremamente importante quando gli ingegneri progettano edifici e strutture che usiamo ogni giorno.
Principles
I requisiti per un sistema per ottenere l'equilibrio sono semplici da annotare. In equilibrio, la somma delle forze e la somma delle coppie sono zero:
Σ F = 0 (Equazione 1)
e
Σ τ = 0. (Equazione 2)
La coppia τ è una forza angolare, definita come il prodotto incrociato della lunghezza del braccio della leva da cui la forza viene applicata all'asse di rotazione. Tale distanza è indicata come r:
τ = r x F, (Equazione 3)
= r F sin(θ)
dove θ è l'angolo al quale la forza viene applicata al braccio della leva. Per le forze perpendicolari rispetto al braccio della leva, l'equazione 3 diventa semplicemente τ = r · F.
Queste equazioni sono abbastanza semplici da scrivere, ma man mano che il sistema in questione diventa più complesso, sono coinvolte più forze e coppie, e trovare la configurazione ottimale che soddisfi l'equilibrio può diventare piuttosto difficile. L'approccio generale per risolvere l'equazione 1 è quello di scomporre le forze nelle direzioni x, y e z equindi di risolvere l'equazione 1 per ciascuna delle tre direzioni(ad esempio,Σ Fx = Σ Fy = Σ Fz = 0). In situazioni in cui c'è solo movimento nel piano xy,la coppia viene calcolata su un asse perpendicolare a quel piano. Questo asse viene scelto arbitrariamente per semplificare i calcoli; se tutti gli oggetti nel sistema sono a riposo, l'equazione 2 rimarrà vera su qualsiasi asse. In tre dimensioni, l'asse di rotazione viene nuovamente scelto in modo tale che i calcoli siano i più semplici, il che dipende dalla configurazione del sistema. Ad esempio, la scelta dell'asse di rotazione in modo che una delle forze sconosciute agisca attraverso quell'asse si tradurrà in un braccio a leva zero e non produrrà coppia (vedi Equazione 3), facendo apparire un termine in meno nell'equazione della coppia. Non esiste un'unica tecnica per risolvere i problemi di equilibrio, ma la scelta di comodi sistemi di coordinate può semplificare notevolmente il processo di risoluzione delle equazioni 1 e 2.
Quando gli oggetti nel sistema subiscono forze di equilibrio, alcuni di essi si comprimono o si espandono, a seconda del loro materiale e della configurazione all'interno del sistema. Ad esempio, quando una forza viene esercitata su un'asta o una molla, la sua lunghezza si espanderà proporzionalmente alla forza, data dalla legge di Hooke:
F = k ΔL, (Equazione 4)
dove ΔL è la lunghezza dell'espansione e k è una costante di proporzionalità chiamata "costante di molla".
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Procedure
1. Osservare l'equilibrio in un sistema statico e verificare che la somma delle forze e delle coppie sia zero. Confermare le costanti di molla k utilizzate nel sistema.
- Ottenere un metro a bastone, due bilance a molla con costanti di molla note, due supporti per sospendere le molle da, due pesi di masse diverse e un meccanismo per sospendere i pesi dal bastone del metro.
- Fissare i due supporti al tavolo, a 1 m di distanza.
- Attaccare le molle ai supporti.
- Attaccare la molla a ciascuna estremità del bastone del misuratore.
- Attaccare il primo peso al centro del bastone del misuratore.
- Calcolare sia la forza che la coppia esercitate dal peso sulla levetta del misuratore e registrarle nella Tabella 1.
- Registrare la forza esercitata su ciascuna delle molle nella Tabella 1.
- Spostare il peso a sinistra di 0,2 m e ripetere i passaggi 1,6-1,7.
- Sposta il peso a sinistra di ulteriori 0,2 m, quindi lo spostamento totale dal centro della levetta del misuratore è di 0,4 m. In altre parole, la lunghezza del braccio del momento per la molla a sinistra è di 0,1 m e la lunghezza del braccio del momento per la molla a destra è di 0,9 m.
- Ripetere i passaggi 1,5-1,9 per l'altro peso.
- Calcola la differenza percentuale delle forze calcolate sulle molle sinistra e destra, FL e FR, rispetto alle forze corrispondenti lette dalle scale a molla.
L'equilibrio è un caso speciale nella meccanica classica ma è onnipresente nella vita di tutti i giorni, mentre i diagrammi a corpo libero aiutano a decifrare le forze sottostanti presenti.
Un sistema è in equilibrio traslazionale se le forze che agiscono su di esso sono bilanciate, cioè la forza netta è zero. L'equilibrio può anche essere stabilito in un sistema rotazionale se la coppia netta, t, è zero.
Oltre a questi casi di equilibrio statico in cui i sistemi sono a riposo, l'equilibrio dinamico implica che un sistema si muove ma non sperimenta alcuna accelerazione lineare a o accelerazione angolare, a.
Ora, anche se un sistema è in equilibrio, una moltitudine di forze o coppie individuali possono agire su di esso, e diagrammi a corpo libero - composti da forme e frecce semplici - sono spesso implementati al fine di concettualizzare queste forze e / o coppie che agiscono su un sistema.
L'obiettivo di questo esperimento è comprendere l'equilibrio di un sistema composto da più componenti sotto l'influenza di varie forze.
Prima di analizzare questo complesso sistema, rivisitiamo i concetti di equilibrio e diagrammi a corpo libero. Come accennato in precedenza, l'equilibrio si verifica in un sistema traslazionale, come una molla caricata, quando la forza di ripristino bilancia il peso gravitazionale. In un sistema rotazionale, ad esempio quando i pesi sono attaccati a una trave che ruota liberamente, l'equilibrio viene stabilito quando le coppie si bilanciano a vicenda. Si noti che, rispetto all'asse di rotazione, la coppia è positiva per la rotazione in senso antiorario e negativa per la rotazione in senso orario.
In questi casi, le forze nette o le coppie sono uguali a zero e quindi non esiste un'accelerazione lineare o angolare. Secondo la Prima Legge di Newton, poiché questi sistemi sono in equilibrio statico, devono rimanere a riposo.
Nonostante l'assenza di una forza netta o di una coppia, forze multiple agiscono sugli oggetti all'interno di questi sistemi. I diagrammi a corpo libero, o diagrammi di forza, sono spesso disegnati per comprendere le forze e le coppie che agiscono sui sistemi in equilibrio.
Ogni forza o coppia che contribuisce è rappresentata da una freccia la cui dimensione e direzione descrive completamente il vettore in questione. Attraverso l'addizione vettoriale, il sistema traslazionale è mostrato in equilibrio. Allo stesso modo, tenendo conto della direzione della coppia rispetto all'asse, anche il sistema rotazionale è in equilibrio.
Ora, immagina di combinare questi sistemi in modo tale che un peso sia attaccato al centro della trave mentre la trave stessa è sospesa alle sue estremità da due molle. Il sistema è complesso ma può essere compreso utilizzando due diagrammi a corpo libero separati. Il sistema traslazionale include il peso e le forze di ripristino della molla sinistra e destra, indicate rispettivamente come FL e FR.
Poiché il sistema è in equilibrio, la somma delle grandezze di FL e FR dovrebbe essere uguale alla grandezza del peso. Questa equazione descrive l'equilibrio di transizione.
Nel sistema rotazionale, invece delle forze abbiamo le coppie. Ricordiamo che la coppia è definita come la forza perpendicolare moltiplicata per la distanza r che la forza viene applicata dall'asse di rotazione. Poiché il peso è posizionato sull'asse di rotazione, non esercita alcuna coppia sul raggio. Mentre per le molle in questo caso, le forze perpendicolari sono le forze di ripristino e r è la rispettiva distanza dal peso.
Ora di nuovo, poiché il sistema è in equilibrio, le grandezze di queste coppie dovrebbero essere uguali, e questa equazione illustra l'equilibrio rotazionale.
Allontanando il peso dal centro, il raggio si inclina. Per il sistema traslazionale, la somma delle forze di ripristino è ancora uguale e opposta a quella del peso. Pertanto, l'equazione per l'equilibrio traslazionale - che si occupa della grandezza di queste forze - rimane la stessa.
Per il sistema rotazionale, l'inclinazione di un angolo θ cambia le forze nelle coppie della molla alla componente coseno delle rispettive forze di ripristino. Anche le lunghezze dei bracci rotazionali cambiano. Tuttavia, il peso è ancora sull'asse di rotazione e quindi non esercita alcuna coppia sul raggio.
Poiché anche questo sistema è in equilibrio, le grandezze delle coppie applicate dalle molle dovrebbero essere le stesse. Annullando il coseno θ, si traduce nella stessa formula di equilibrio rotazionale.
Ora che hai compreso i principi dell'equilibrio, applichiamo questi concetti a un sistema che sperimenta sia forze che coppie. Questo esperimento consiste in un metro stick, due bilance a molla, due supporti e due pesi di massa diversa in grado di essere sospesi dal bastone del metro.
Per iniziare, posiziona i due supporti a un metro di distanza sul tavolo assicurandoti che siano sicuri. Sospendere una scala a molla da ognisupporto e collegare ogni estremità di un bastone metro sul fondo di una scala a molla.
Quindi, attaccare il peso meno massiccio al bastone del misuratore a metà strada tra le bilance a molla. Con il sistema in equilibrio traslazionale e rotazionale, calcolare le singole forze che agiscono sulla levetta del misuratore e registrarle.
Leggete i valori su ciascuna delle scale a molla e registrate queste forze di ripristino esercitate dalle molle.
Ora sposta il peso di 0,2 m a sinistra rendendo il braccio di rotazione sinistro 0,3 m e il braccio di rotazione destro 0,7 m. Ripetere il calcolo delle singole forze e le misurazioni della scala a molla.
Infine, spostare il peso a sinistra di ulteriori 0,2 m ed eseguire i calcoli della forza e le misurazioni della scala a molla. Ripeti questo esperimento di equilibrio per il peso più massiccio.
Le singole forze che agiscono sul bastone del misuratore sono costituite dalla forza gravitazionale sul peso attaccato e dalle forze di ripristino delle molle. Quando si esaminano i diagrammi a corpo libero del sistema sotto equilibrio traslazionale e rotazionale, due equazioni possono essere utilizzate per determinare le due forze di ripristino sconosciute.
I bracci di rotazione sono identici quando il peso è a metà strada tra le molle. Pertanto, ciascuna delle forze di ripristino dovrebbe essere uguale alla metà del peso. Per gli esperimenti quando il peso viene spostato dal centro, le forze di ripristino sono dettate dal rapporto dei rispettivi bracci di rotazione.
Questi valori calcolati possono essere confrontati con le forze di ripristino determinate dalle misurazioni della scala a molla. Le differenze tra i valori rientrano negli errori di misurazione dell'esperimento. Pertanto, invocando condizioni di equilibrio, le forze di ripristino possono essere determinate con la conoscenza della massa del peso e della lunghezza dei bracci di rotazione.
I principi di base dell'equilibrio possono essere preziosi quando gli ingegneri progettano strutture che usiamo ogni giorno.
Un ponte è sempre in equilibrio statico mentre sperimenta costantemente grandi forze e coppie sia dal proprio peso che dai carichi che si muovono attraverso di esso. Pertanto, la costruzione di un ponte sospeso, come il Golden Gate di San Francisco, richiede significativi sforzi di ingegneria strutturale per garantire che l'equilibrio sia mantenuto anche durante i periodi di traffico intenso.
Allo stesso modo, i grattacieli hanno un complesso sistema di travi d'acciaio sotto forze tremende, che nel complesso compongono un sistema rigido in equilibrio statico. Pertanto, la comprensione dei concetti alla base dell'equilibrio aiuta un architetto a decidere i parametri di costruzione, in modo che queste strutture possano sopportare una certa quantità di coppia, specialmente nelle zone soggette a terremoti.
Hai appena visto l'introduzione di JoVE a Equilibrium. Ora dovresti capire i principi dell'equilibrio e come i diagrammi a corpo libero possono essere usati per determinare le forze e le coppie che contribuiscono a un sistema in equilibrio. Grazie per l'attenzione!
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Results
I risultati rappresentativi dell'esperimento sono riportati nella Tabella 1. La forza esercitata sulle due molle dalla massa sospesa è indicata dalle loro posizioni: sinistra e destra, indicate dai pedice L e R. Poiché ci sono due incognite in questo esperimento, FLe FR, sono necessarie due equazioni per risolverle. Pertanto, le equazioni 1 e 2 vengono utilizzate per risolvere le due forze. Le coppie vengono utilizzate per ottenere una relazione tra FLe FR .
Poiché la forza esercitata dal peso è verso il basso, l'angolo θ nell'equazione 3 è 90° e la coppia è solo r · F. Le coppie τLe τR sono anch'queste in direzioni opposte, dove il senso antiorario è definito come la direzione positiva. Utilizzo dell'equazione 2
-τL + τR = 0 = -rL FL + rR FR. (Equazione 5)
Equivalentemente
FL = FR rR/rL. (Equazione 6)
Utilizzo dell'equazione 1
FL + FR = m g, (Equazione 7)
dove m è la massa del peso e g è la costante gravitazionale di 9,8 m/s2. In altre parole, la forza verso il basso del peso è uguale alla somma delle forze che trattengono il sistema di bastone del peso e del metro, che sono solo le due molle a sinistra e a destra, che sospendono il sistema. Con queste due equazioni (6 e 7), si possono calcolare le incognite FL e FR. Questi sono mostrati nella Tabella 1. Questi valori vengono confrontati con le forze esercitate sulle molle nelle ultime due colonne della tabella. Ci si aspettano lievi discrepanze dagli errori di misurazione. Inoltre, è stato ipotizzato che la massa del bastone del contatore sia zero, il che è errato, in senso stretto, ma comunque una buona approssimazione. Questo laboratorio utilizza scale a molla, che mostrano quanti Newton vengono applicati alla molla quando allungati, quindi non è necessario conoscere la costante della molla, k.
Tabella 1. Risultati teorici e sperimentali.
| Messa (g) | rL (cm) | rR (cm) | FL (N) | FR (N) | FL, molla (N) | FR,molla (N) | % diff (sinistra) | % diff (destra) |
| 100 | 50 | 50 | 0.5 | 0.5 | 0.45 | 0.45 | 9.9 | 9.9 |
| 100 | 30 | 70 | 0.68 | 0.29 | 0.65 | 0.3 | 4.4 | 3.4 |
| 100 | 10 | 90 | 0.9 | 0.1 | 0.85 | 0.1 | 5.5 | 0 |
| 200 | 50 | 50 | 0.98 | 0.98 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 200 | 30 | 70 | 1.38 | 0.59 | 1.35 | 0.55 | 2.1 | 7.2 |
| 200 | 10 | 90 | 1.8 | 0.2 | 1.85 | 0.2 | 2.7 | 0 |
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Applications and Summary
Tutti i ponti sono sottoposti a una certa quantità di stress, sia dal loro peso che dal peso dei carichi che si muovono attraverso. I ponti sospesi, come il Golden Gate, sono un complesso sistema di oggetti sottoposti a forze molto pesanti e in equilibrio. I cavi che sostengono il ponte sono elastici e la loro elasticità è stata considerata quando gli ingegneri strutturali hanno progettato il ponte. Allo stesso modo, i grattacieli hanno un complesso sistema di travi d'acciaio sotto forze tremende, che nel complesso compongono un sistema rigido in equilibrio statico. L'elasticità gioca un ruolo nei materiali utilizzati per costruire edifici, in quanto devono essere in grado di sopportare una certa quantità di flessione, specialmente nelle aree in cui i terremoti sono prevalenti. Anche le gru utilizzate per costruire queste strutture sono in equilibrio, con un complesso sistema di cavi e pulegge per sollevare e abbassare i materiali da costruzione.
In questo studio, è stato osservato l'equilibrio di un sistema composto da più componenti sotto varie forze. Gli effetti dei componenti elastici sono stati osservati anche utilizzando scale a molla di costanti di molla note. Le forze esercitate sulle molle sono state calcolate utilizzando le due condizioni necessarie per l'equilibrio: la somma delle forze e la somma delle coppie sono zero.
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