Meting van Chladni-modusvormen met een optische hefboommethode

Summary

Een eenvoudige methode voor het meten van de Chladni-modus vorm op een elastische plaat door het principe van een optische hendel wordt voorgesteld.

Abstract

Kwantitatief bepalen van het Chladni patroon van een elastische plaat is van groot belang in zowel de fysische wetenschappen en engineering toepassingen. In dit document wordt een methode voorgesteld om vormvormen van een vibrerende plaat te meten op basis van een optische hefboommethode. Drie cirkel acrylplaten werden gebruikt in de meting onder verschillende centrumharmonische excitaties. Anders dan een traditionele methode, alleen een gewone laserpen en een lichtscherm gemaakt van gemalen glas worden gebruikt in deze nieuwe aanpak. De aanpak is als volgt: de laserpen projecteert loodrecht een straal naar de trilplaat, waarna de straal wordt gereflecteerd naar het lichtscherm in de verte, waarop een lijnsegment van de gereflecteerde vlek wordt gevormd. Vanwege het principe van visie persistentie, kon de lichtvlek worden gelezen als een heldere rechte lijn. De relatie tussen de helling van de modusvorm, de lengte van de lichtvlek en de afstand van de trilplaat en het lichtscherm kunnen worden verkregen met algebraïsche bewerkingen. Vervolgens kan de vorm van de modus worden bepaald door de hellingsverdeling te integreren met geschikte randvoorwaarden. De full-field mode vormen van Chladni plaat kan ook verder worden bepaald op een dergelijke eenvoudige manier.

Introduction

Chladni mode vormen zijn van groot belang in zowel de wetenschap en engineering toepassingen. Chladni patronen zijn reacties van fysieke golven, en men kan illustreren de golf patroon met verschillende methoden. Het is een bekende methode om de verschillende trillingsmodi op een elastische plaat te laten zien door de knooppuntlijnen te schetsen. Kleine deeltjes worden altijd gebruikt om de Chladni patronen te tonen, omdat ze kunnen stoppen bij de knooppunten waar de relatieve trillende amplitude van de plaat nul is, en de posities van de knooppunten variëren met resonerende modus om verschillende Chladni patronen te vormen.

Veel onderzoekers hebben aandacht besteed aan verschillende Chladni patronen, maar ze tonen alleen de nodale lijnen van de modus vormen, de modus vormen (dat wil zeggen, trillingsamplitude) tussen de knooppuntlijnen worden niet geïllustreerd. Waller onderzocht de vrije trillingen van een cirkel¹, een vierkant², een gelijkhoekige driehoeken³, een rechthoekige^4,elliptische⁵ platen en verschillende Chladni patronen worden daarin geïllustreerd. Tuan et al. reconstrueerde verschillende Chladni patronen door middel van zowel experimentele als theoretische benaderingen, en de inhomogene Helmholtz vergelijking wordt aangenomen tijdens de theoretische modellering^6,7. Het is een populaire methode om Laser Doppler Vibrometer (LDV) of Electronic Speckle Pattern Interferometry (ESPI) te gebruiken om de modusvormen van de Chladni-patronen^8,9,10kwantitatief te meten. Hoewel LDV femtometeramplitude resolutie en zeer hoge frequentie bereiken maakt, helaas, de prijs van LDV is ook een beetje duur voor klas demonstratie en / of college natuurkunde onderwijs. Met deze overweging stelde het onderhavige document een eenvoudige benadering voor om de wijzevormen van een patroon Chladni met lage kosten kwantitatief te bepalen, aangezien slechts een extra laserpen en een lichtscherm hier nodig zijn.

De huidige meetmethode wordt geïllustreerd in figuur 1¹¹. De trilplaat heeft drie verschillende standen: de ruststand, positie 1 en positie 2. Positie 1 en 2 vertegenwoordigen de twee maximale trilplaatsen van de plaat. Een laserpen projecteert een rechte straal op het oppervlak van de plaat, en als de plaat zich op de rustpositie bevindt, wordt de laserstraal direct gereflecteerd op het lichtscherm. Terwijl de plaat zich op positie 1 en 2 bevindt, wordt de laserstraal weerkaatst op respectievelijk punt A en B op het lichtscherm. Vanwege het effect van persistentie van het gezichtsvermogen, zal er een heldere rechte lijn op het lichtscherm. De lengte van het felle licht L is gerelateerd aan de afstand D tussen het lichtscherm en de locatie van het laserpunt. De verschillende punten op de plaat hebben verschillende hellingen, die door de verhouding tussen L en Dzouden kunnen worden bepaald. Na het verkrijgen van de helling van de modus vorm op verschillende punten op de plaat, het probleem verandert in een duidelijke integraal. Met behulp van de grenstrilvi amplitude van de plaat en de discrete hellingsgegevens kan de wijzevorm van de trilplaat eenvoudig worden verkregen. De hele experimentele opstelling is gegeven in figuur 2¹¹.

Dit document beschrijft de experimentele opstelling en de procedure voor de optische hefboommethode om de vormen van de Chladni-modus te meten. Enkele typische experimentele resultaten worden ook geïllustreerd.

Protocol

1. Experimentele opzet en procedures

OPMERKING: Stel het experimentele systeem in zoals aangegeven in figuur 2.

1. Voorbereiding van het trillingssysteem
   1. Bereid drie 1,0 mm-dikte gespiegelde ronde acrylplaten met een diameter van respectievelijk 150 mm, 200 mm en 250 mm. Boor een gat van 3 mm in diameter in het midden van elke plaat. Markeer elke 5 mm meerdere zwarte punten langs een willekeurige straal.
   2. Bevestig elke plaat aan de actuate bar van de vibrator met een bout in het middelste punt. Drijft de vibrator met een sinusgolf met behulp van een golfvorm generator, en standaard instellingen zal genoeg zijn voor de resonantie experiment.
      OPMERKING: De excitatierichting van de vibrator is horizontaal voor het gemak van het verplaatsen van het scherm achteraf.
   3. Verwerving van de resonantiefrequentie
      1. Plaats de laserpen om de laserstraal loodrecht op de trilplaat te projecteren, zodat de straal in de verte wordt gereflecteerd op het lichtscherm. De afstanden tussen de laserpen en de plaat en het lichtscherm zijn respectievelijk 120 mm en 500 mm.
         OPMERKING: Hoe verder de afstand tussen het lichtscherm en de trilplaat, hoe duidelijker het fenomeen verschijnt. Er wordt ook opgemerkt dat de huidige methode kan worden gebruikt om axisymmetrische of niet-axisymmetrische modus vormen te meten. Vanwege de overweging van eenvoud en gemak, toont het huidige manuscript alleen de toepassing bij het bepalen van axisymmetrische wijzevormen van drie cirkelvormige platen. Dan hoeven we alleen maar de trillingsamplitude langs elke radiale richting te meten om de tweedimensionale vorm van de plaat te reconstrueren.
      2. Beweeg de laserpen langs de richting loodrecht op de lengterichting om het incidentpunt over een diameter te laten scannen terwijl de signaalgenerator de frequentie continu verandert. Doe het snel totdat de spotlengte aanzienlijk is uitgerekt langs de diameter bij het scannen in een bepaald frequentiebereik, en sommige plekken met bijna geen expansie verschijnen. Voor de plaat met een diameter van 150 mm, 200 mm en 250 mm zijn de frequentiebereiken respectievelijk 200-400 Hz, 100-300 Hz en 50-250 Hz.
      3. Scan dit bepaalde frequentiebereik langzaam en kies de frequentie waarop de plek het meest duidelijk uitbreidt. Voor de plaat met een diameter van respectievelijk 150 mm, 200 mm en 250 mm blijken de resonantiefrequenties respectievelijk 346 Hz, 214 Hz en 150 Hz te zijn.
2. Voorbereiding van het lichtpad en meetsysteem
   1. Plaats het lichtscherm parallel aan de trilplaat. Markeer de afstand met een meter liniaal en gebruik 500 mm als startafstand.
   2. Plaats de laserpen om de straal loodrecht op de plaat te projecteren, zodat de straal in de verte wordt gereflecteerd op het lichtscherm. Zorg ervoor dat het eerder aangebrachte merk kan worden gescand terwijl de laserpen in beweging is.
      LET OP: Het laserstraallicht moet loodrecht op de plaat worden geprojecteerd.
3. Experimentele meting
   1. Schakel de signaalgenerator in en stel de excitatiefrequentie in op dezelfde als de resonantiefrequentie die in stap 1.1.3.3 is verkregen. De signaalintensiteit moet zo klein mogelijk zijn zodra de lichtvlek op het lichtscherm groot genoeg is om te worden opgenomen.
   2. Pas de laserpen aan om het incidentpunt samen te laten vallen met de eerste markering, die de dichtstbijzijnde markering is op het vaste punt van de plaat.
   3. Verplaats het scherm van een afstand D van 500 mm naar 1000 mm en meet elke 50 mm de spotlengte L op het scherm. Gegevens opnemen in tabelvorm.
   4. Pas de laserpen aan om het incidentpunt naast de volgende markering op zijn beurt te maken en herhaal stap 1.3.3 totdat alle markeringen zijn gemeten.
      OPMERKING: Aangezien acrylplaten bij excitatie gemakkelijk plastisch worden vervormd, kan het experimentele meetproces van één plaat niet lang worden onderbroken.
   5. Vervang de vorige plaat door de volgende en herhaal stap 1.3.1 tot 1.3.4.

2. Gegevensverwerking

1. Bepaal de hoek tussen het incident en gereflecteerd licht met relatie:
   
   waar D de afstand is tussen de rustpositie van de trilplaat en het lichtscherm, trilt w de amplitude van de plaat en L is de lengte van de lichtvlek op het lichtscherm. Verschillende paren D en L worden verkregen in stap 1.3.3.
2. Bepaal de helling van de modusvorm door:
   
   LET OP: De verkregen helling is altijd positief met Eqs. (1) en (2).
3. Gebruik een minteken tussen twee nulpunten om de ware hellingsverdeling te verkrijgen.
   OPMERKING: Het maakt niet uit of de revisie begint vanaf het eerste of het tweede nulpunt.
4. Integreer de hellingsverdeling van elke plaat en bepaal de integrale constante door de knooppunten om de modusvorm te verkrijgen met:
   
   OPMERKING: Knooppunten komen overeen met de grootste helling van de modusvorm. is een constante die wordt bepaald door de locatie van de knooppuntlijnen van het Chladni-patroon in figuur 2.
5. Bereken de onzekerheid van helling¹² met:
   
   LET OP: t_0,95(n – 2) is de t-verdeling factor met 95% vertrouwen en vrijheidsgraden n-2, en het is ongeveer 2 hier. S_r is de standaardfout van de lineaire regressie met D en L, U_m duidt op de onzekerheid van de gemeten afstand D_i, en is 0,5 mm hier. De gemiddelde gemeten afstand wordt gedefinieerd door , en n geeft het totale aantal gemeten D_iaan .

Representative Results

De excitatiefrequentie die het axisymmetrische Chladni-patroon kan prikkelen, wordt bepaald door de frequentievegende test. Drie cirkelvormige acrylplaten met diameters van 150 mm, 200 mm en 250 mm worden getest en de resultaten tonen aan dat de eerste axisymmetrische resonantiefrequenties respectievelijk 346 Hz, 214 Hz en 150 Hz zijn voor de drie platen. Geconcludeerd wordt dat met een grotere diameter de plaat flexibeler is en de bijbehorende resonantiefrequentie kleiner zal zijn. De Chladni patronen van de acrylplaat met verschillende diameters zijn gegeven in figuur 3¹¹.

Onder de overeenkomstige resonerende frequentie kan de lengte van de lichtvlek op het lichtscherm van verschillende platen worden gemeten en geregistreerd. De regressiewaarde van de wijzevormhelling kan worden verkregen met Eq.(1), waarvan de verdelingen langs de radiale richting van plaat A, B en C worden gegeven in tabel 1¹¹, en ze worden bepaald door het meten van verschillende lichtvleklengten L van het specifieke laserpunt met verschillende afstand D.

Numerieke simulatie met ANSYS wordt uitgevoerd om de huidige experimentele resultaten te verifiëren. De scriptcode van APDL (ANSYS Parametric Design Language) wordt geleverd als een aanvullend bestand 1. Figuur 4¹¹ toont de vergelijkingen van de huidige experimentele resultaten en numerieke resultaten op de wijzevorm van verschillende platen. Het is heel duidelijk dat alle resultaten met verschillende omstandigheden zeer goed met elkaar vergelijken, wat de haalbaarheid van de huidige methode bij het meten van de wijzevorm van platen aantoont.

Figuur 1: Illustratie van de huidige meetmethode.
De basismetingshoofd wordt geïllustreerd in deze figuur, met de nadruk op het incident en reflecteren lichtbundel en de relatie van verschillende geometrische parameters. Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Figuur 2: De experimentele opstelling.
Het beeld van experimentele setup is voorzien voor het duidelijk begrijpen en repliceren van de meetaanpak gemakkelijk. Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Figuur 3: Chladni-patroon van verschillende acrylplaten: a) 150 mm, b) 200 mm, c) 250 mm.
De Chladni patronen van drie verschillende acryl cirkelplaten worden gegeven respectievelijk. De bruine deeltjes zijn zand en tonen duidelijk de nodale lijn van de Chladni patronen. Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Figuur 4: Vergelijkingen van experimentele resultaten en numerieke simulatie voor de wijzevormen van verschillende platen: a) 150 mm, b) 200 mm, c) 250 mm.
De numerieke resultaten verkregen met ANSYS en de huidige experimentele resultaten worden vergeleken om de betrouwbaarheid van de huidige experimentele methode te verifiëren. Klik hier om een grotere versie van dit cijfer te bekijken.

Plaat A (Diameter=150 mm)			Plaat B (Diameter=200 mm)			Plaat C (Diameter=250 mm)
r/mm	Direct berekende helling	Herziene helling	r/mm	Direct berekende helling	Herziene helling	r/mm	Direct berekende helling	Herziene helling
5	0.001913	0.001913	7	0.002668	0.002668	7	0.0013	0.0013
10	0.001478	0.001478	12	0.00269	0.00269	12	0.001613	0.001613
15	0.00144	0.00144	17	0.002785	0.02785	17	0.002055	0.002055
20	0.001088	0.001088	22	0.00269	0.00269	22	0.002283	0.002283
25	0.00061	0.00061	28	0.002543	0.002543	27	0.002618	0.002618
30	0.000388	0.000388	38	0.001858	0.001858	32	0.00256	0.00256
35	0.000883	-0.000883	48	0.000748	0.000748	37	0.00209	0.00209
40	0.001733	-0.001733	58	0.000668	0.000668	42	0.002128	0.002128
45	0.002478	-0.002478	68	0.00082	-0.00082	47	0.001723	0.001723
50	0.003433	-0.003433	72	0.001583	-0.001583	52	0.001568	0.001568
55	0.00389	-0.00389	77	0.00241	-0.00241	57	0.001	0.001
60	0.002705	-0.002705	82	0.002813	-0.002813	62	0.004175	0.004175
65	0.002283	-0.002283	87	0.0026	-0.0026	67	0.001175	0.001175
70	0.002223	-0.002223	97	0.002264	-0.002264	72	0.002825	-0.002825
						77	0.000873	-0.000873
						82	0.001205	-0.001205
						87	0.001538	-0.001538
						92	0.00176	-0.00176
						97	0.001983	-0.001983
						102	0.002278	-0.002278
						107	0.002745	-0.002745
						112	0.00269	-0.00269
						117	0.002783	-0.002783
						122	0.002218	-0.002218

Tabel 1: Hellingsverdeling van de modusvorm langs radiale richting. De berekende hellingsverdeling van de modusvorm langs de radiale richting wordt geleverd en zowel de oorspronkelijke als de herziene helling worden gegeven om het revisieproces te illustreren.

Supplement Bestand 1: ANSYS-script voor het simuleren van de dynamische respons en modusvorm van een plaat. Klik hier om dit bestand te downloaden.

Discussion

De optische hendel methode wordt aangenomen in dit papier om de vorm van een plaat te bepalen, omdat de Chladni patroon kan alleen de nodale lijnen van een trillende plaat te tonen. Om de wijzevorm van de plaat te bepalen, moet de relatie tussen de helling en de afstand van het lichtscherm en de lengte van de spot vooraf worden verkregen. Vervolgens kan door middel van een definitieve integratieberekening de vorm van de modus van het Chladni-patroon kwantitatief worden bepaald.

Over het algemeen omvat het hele proces van de huidige aanpak de volgende stappen: (1) Voer de gedwongen trillingstest uit om de resonantiefrequentie van de plaat te verkrijgen. (2) Voer geforceerde trillingstesten uit in de buurt van de resonantiefrequentie en registreert de coördinaten van de knooppunten van het Chladni-patroon. Deze gegevens worden gebruikt voor het kalibreren van de absolute modus vorm verkregen door experimentele tests. (3) De laserspot wordt loodrecht geprojecteerd op verschillende radiale plaatsen van de plaat en de lengte van de lichtvlek op het lichtscherm wordt gemeten. Deze test moet meerdere malen worden herhaald met verschillende afstanden tussen de trilplaat en het lichtscherm om de lineaire regressiewaarde van de modusvormhelling met Eq. (2) te verkrijgen. (4) De experimentele vorm van het Chladni-patroon met Eq. (4) verkrijgen door de ruwe experimentele gegevens na de verwerking te verwerken.

Er zij op gewezen dat, hoewel de huidige experimentele demonstratie alleen de meting van axisymmetrische Chladni-patronen laat zien, het ook kan worden gebruikt voor de bepaling van nonaxisymmetrische Chladni-patronen op een voorwaartse manier. Niet alleen ronde platen, maar ook andere vormen, zoals driehoek, rechthoekige, en zelfs onregelmatige vormen kunnen worden gebruikt om de schoonheid van Chladni patronen te tonen. Bovendien, als de dichtheid van het meetpunt, de laserbron, het meetinstrument en de integrale berekeningsmethode zorgvuldig worden gekozen, kan de nauwkeurigheid van de voorgestelde methode worden aangepast aan het vereiste niveau.

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
Acrylic plates	Dongguan Jinzhu Lens Products Factory		Three 1.0-mm-thickness mirrored circular acrylic plates with diameter of 150 mm, 200 mm and 250 mm respectively. They are easily deformed.
Laser pen	Deli Group	2802	Red laser is more friendly to the viewer. The finer the laser beam, the better.
Light screen	Northern Tempered Glass Custom Taobao Store		Several layers of frosted stickers can be placed on the glass to achieve the effect of frosted glass.
Ruler	Deli Group	DL8015	The length is 1m and the division value is 1mm.
Signal generator	Dayang Science Education Taobao Store	TFG6920A	Common ones in university laboratories are available.
Vibrator	Dayang Science Education Taobao Store		The maximum amplitude is 1.5cm.The power is large enough to cause a noticeable phenomenon when the board vibrates. Otherwise, add a power amplifier.