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Lei de Hooke e Movimento Harmônico Simples
 
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Lei de Hooke e Movimento Harmônico Simples

Overview

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Department of Physics & Astronomy, School of Physical Sciences, University of California, Irvine, CA

Energia potencial é um conceito importante na física. Energia potencial é a energia associada a forças que dependem da posição de um objeto em relação ao seu entorno. A energia potencial gravitacional, que é discutida em outro vídeo, é a energia associada que é diretamente proporcional à altura de um objeto acima do solo. Da mesma forma, é possível definir a energia potencial da primavera, que é diretamente proporcional ao deslocamento de uma nascente de seu estado relaxado. Uma mola esticada ou compactada tem energia potencial, pois tem a capacidade de trabalhar sobre um objeto. A "capacidade de fazer o trabalho" é frequentemente citada como a definição fundamental de energia.

Este vídeo demonstrará a energia potencial armazenada em molas. Também verificará a equação da força restauradora das molas, ou a Lei de Hooke. A constante da mola é diferente para molas de diferentes elasticidades. A lei de Hooke será verificada e a constante de mola medida anexando pesos variados a uma mola suspensa e medindo os deslocamentos resultantes.

Principles

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Segurar uma mola em sua posição compactada ou esticada requer que alguém ou algo exerça uma força na mola. Esta força é diretamente proporcional ao deslocamento, Δy, da primavera. Por sua vez, a mola exercerá uma força igual e oposta:

F = -k Δy,(Equação 1)

onde k é chamado de "constante da rigidez da primavera". Isso é frequentemente referido como uma "força restauradora" porque a mola exerce uma força na direção oposta ao deslocamento, indicado pelo sinal negativo. A equação 1 é conhecida como lei de Hooke.

Movimento harmônico simples ocorrerá sempre que houver uma força restauradora proporcional ao deslocamento do equilíbrio, como está na lei de Hooke. Da segunda lei de Newton, F = ma, e reconhecendo que a aceleração a é a segunda derivada de deslocamento em relação ao tempo, a Equação 1 pode ser reescrita como:

m (d2y/dt2) = -k y. (Equação 2)

A solução para este diferencial de segunda ordem é bem conhecida por ser:

y(t) = Um pecado (ωt + φ), (Equação 3)

onde A é a amplitude da oscilação, ω = (k/m)1/2, e o ângulo de fase φ depende das condições iniciais do sistema. Equações na forma da Equação 3 descrevem o que é chamado de simples movimento harmônico. O período T, a frequência fe a constante ω estão relacionados por:

ω = 2πf = 2π/T. (Equação 4)

Assim, o período T é dado por:

T = 2π (m/k)1/2. (Equação 5)

Note que T não depende da amplitude A da oscilação. Portanto, se um peso for pendurado em uma mola suspensa da vertical, o período resultante de oscilação seria proporcional à raiz quadrada do peso preso.

O trabalho necessário para esticar a mola a distância y é W = <F> y, onde <F> é a força média necessária para esticar a corda. Uma vez que F é linear em y , a média é apenasa força no equilíbrio (= 0) e a força em y:

<F> = 1/2 [0 + ky]. (Equação 6)

O trabalho feito e, portanto, a energia potencial elástica, PE, podem ser escritos como:

PE = 1/2 k y2. (Equação 7)

A energia potencial de uma mola será medida neste laboratório.

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Procedure

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1. Meça a energia constante e potencial da mola e confirme a relação entre a massa e o período oscilatório T.

  1. Obtenha uma mola com uma constante de mola conhecida, um suporte para anexar a mola a pelo menos 5 pesos de massas variadas que podem ser anexadas à mola, uma vara de medidor e um cronômetro.
  2. Fixar o suporte a uma base sólida e anexar a mola ao suporte. Certifique-se de que há espaço suficiente abaixo da mola para que ele se estique sem bater na mesa ou no chão.
  3. Para cada uma das massas, calcule a força exercida na primavera pela força gravitacional da Terra (F = mg). Comece com o peso menos massivo. Registo esses valores na Tabela 1.
  4. Meça o quão alto acima da superfície da tabela a mola está enquanto estiver em sua posição não esticada.
  5. Conecte o peso menos massivo à mola e meça o deslocamento Δy1 (ver Figura 1). Registo este deslocamento na Tabela 1.
  6. Com o peso preso, aumente ligeiramente o peso antes de soltá-lo. Observe o movimento oscilatório. Meça o período T com um cronômetro. Para uma medição mais precisa, regise o tempo de múltiplos períodos e divida esse tempo pelo número de períodos observados. Faça isso várias vezes e regise o tempo médio medido para o período T na Tabela 1.
  7. Repita os passos 1.5-1.6 para todas as massas, em ordem de aumento de massa.
  8. Calcule a energia potencial da mola para cada uma das diferentes massas e grave-as na Tabela 1.
  9. Plote a força F em função do deslocamento Δy. De acordo com a Equação 1,isso deve ser linear. Coloque uma inclinação na linha. Esta inclinação corresponderá à constante de primavera k. Compare o valor medido com o valor conhecido da mola.
  10. Utilizando a constante de mola conhecida e a Equação 5,calcule qual deve ser o período T de oscilação para cada uma das massas; denunciá-los na Tabela 1. Compare-os com o T que foi medido com um cronômetro na etapa 1.6.

Figure 1
Figura 1: Oscilação de Srping,

A Lei de Hooke e o fenômeno do simples movimento harmônico ajudam na compreensão da física associada a objetos elásticos.

A Lei de Hooke implica que, a fim de deformar um objeto elástico, como um estilingue, uma força deve ser aplicada para superar a força restauradora exercida por esse objeto. Esta força restauradora é um produto da elasticidade constante k do objeto e do deslocamento Δy, mas na direção oposta ao deslocamento ou força aplicada.

Claramente o objeto elástico armazena energia que tem potencial para fazer o trabalho. Após o trabalho, o objeto elástico sofre oscilação. Se traçarmos esse comportamento oscilatório como a posição do objeto versus o tempo, então o gráfico representa um simples movimento harmônico.

Neste vídeo, vamos demonstrar um experimento que usa molas e pesos para validar os conceitos por trás da lei de Hooke e simples movimento harmônico.

Antes de demonstrar como uma mola se comporta, vamos revisitar os conceitos por trás de sua oscilação. Imagine, aplicando uma força na mola, como um peso, que faz com que ela se estendam desde sua posição inicial não deformada até que uma força de restauração oposta eventualmente equilibre-a e o equilíbrio seja estabelecido.

De acordo com a lei de Hookes, essa força restauradora é igual à constante da mola k, que depende da elasticidade ou rigidez do material sendo deformado, vezes o deslocamento da mola de sua posição inicial, ou Δy.

Portanto, conhecendo Δy e lembrando que a força restauradora é igual e oposta à força aplicada, que é o peso em Newtons, a constante da mola pode ser determinada. Além disso, plotar F-aplicado versus Δy dá uma linha passando pela origem com uma inclinação que representa k.

Agora, com a mola em sua posição de equilíbrio, se você introduzir uma força externa e elevar o peso ligado a uma certa altura, você permite que a mola ganhe alguma energia potencial elástica PE. Essa energia potencial é dada por esta fórmula, onde k é a constante da mola e Δy é a distância da posição de equilíbrio.

Agora, quando você libera a mola, ela sofre um movimento periódico, conhecido como simples movimento harmônico. Se plotado em um gráfico de posição versus tempo, o movimento produz a forma de onda sinusoidal de simples movimento harmônico.

O período de oscilação T é dado por esta fórmula, que mostra que T é inversamente proporcional a k - a constante de elasticidade, e diretamente proporcional a m - a massa do peso ligado. Portanto, quanto maior a massa, mais longa a mola levaria para completar um ciclo de oscilação.

Se este sistema fosse isolado - não afetado por forças externas, as oscilações continuariam indefinidamente à medida que as energias cinéticas e potenciais, KE e PE, seriam continuamente convertidas umas às outras. Mas no mundo real há sempre algumas forças de atrito que causam amortecimento e, portanto, a primavera acabará por parar.

Agora que você tem uma ideia sobre as leis que governam a oscilação da primavera, vamos ver como testá-las em um laboratório de física. Este experimento consiste em uma mola com uma constante de primavera conhecida, um suporte, um conjunto de pesos com diferentes massas, uma vara de medidor e um cronômetro.

Fixar o suporte a uma base sólida, como uma mesa. Conecte a mola ao suporte certificando-se de que há espaço suficiente para esticar a mola sem entrar em contato com a parte superior da mesa.

Usando a vara do medidor, observe a posição não deformada da mola ou a distância entre a parte inferior da mola e a mesa. Anote esta posição inicial na vara do medidor.

Agora, começando com a menor massa, calcule e registre seu peso gravitacional. Fixar o peso à mola e medir a distância entre a parte inferior da mola denotando a posição de equilíbrio e a posição inicial observada anteriormente. Registo este valor de deslocamento.

Em seguida, levante o peso ligeiramente de sua posição carregada e solte-o para observar o simples movimento harmônico. Usando o cronômetro, meça o período de oscilação dividindo o tempo necessário para vários períodos pelo número de períodos. Repita este procedimento três vezes para obter um período médio. Como o período não depende da amplitude da oscilação, os valores devem ser consistentes.

Repita as medições do deslocamento da mola e o período de oscilação para cada peso adicional, em ordem de aumento da massa, e registe todas as leituras.

Utilizando os valores das medidas de deslocamento, plote o peso gravitacional em função da distância de deslocamento. Como esperado da Lei de Hooke, a dependência é linear e a inclinação da linha dá a constante de primavera. Comparar este valor medido com o valor constante de mola conhecido de k = 10 N/m revela boa concordância com dentro do erro esperado para este tipo de medição.

Agora calcule as energias potenciais para cada peso usando a constante de mola conhecida e os deslocamentos medidos. Dada a equação, um gráfico de potencial energia versus quadrado de deslocamento demonstra proporcionalidade linear.

Usando a constante de mola conhecida, calcule o período de oscilação para cada peso. A comparação com os períodos medidos revela forte concordância e confirma a relação esperada; ou seja, o período é proporcional à raiz quadrada da massa.

A força restauradora que um objeto elástico exerce quando é deformado pode ser observada em vários eventos cotidianos.

A suspensão de veículos modernos consiste em amortecedores, que ajudam a minimizar o impacto ao dirigir sobre estradas acidentadas. Os amortecedores agem como molas úmidas, absorvendo a energia cinética no impacto e, em seguida, dissipando-a. Reduzir a constante de mola torna o passeio mais suave ou mushier, ao mesmo tempo em que o aumenta é preferido em veículos de alto desempenho para melhor manuseio.

Outra aplicação desses conceitos seriam os osciladores harmônicos - sistemas que sofrem simples movimento harmônico e experimentam troca contínua de energia. Por exemplo, relógios mecânicos convertem energia potencial armazenada em uma mola de torção em energia mecânica para conduzir as engrenagens e mover as mãos do relógio. Outro exemplo seria um circuito LC, que exibe oscilação entre energia potencial elétrica, armazenada no capacitor C, e energia potencial magnética, armazenada no indutor L. Essa oscilação acontece ao longo de um período muito específico dado por esta fórmula, tornando o circuito LC uma parte integrante de muitos dispositivos eletrônicos.

Você acabou de assistir a introdução de JoVE à Lei de Hooke e Movimento Harmônico Simples. Agora você deve entender os conceitos da energia potencial elástica, a força restauradora, e como essa força resulta em movimento harmônico simples. Obrigado por assistir!

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Results

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Os resultados representativos do experimento, realizados com uma mola de k constante = 10 N/m, são mostrados na Tabela 1. O enredo de F versus o deslocamento Δy é plotado abaixo na Figura 2. A função linear é adequada com uma linha, e a inclinação da linha é igual à constante da mola, dentro de uma margem de erro. A linearidade do resultado mostra a validade da lei de Hooke(Equação 1).

Inspecione a Tabela 1 para ver como o período T de oscilação está relacionado com a massa que está presa à mola. Quanto maior a massa anexada à mola, maior será o período, pois é proporcional à raiz quadrada da massa(Equação 5). Além disso, note que quando uma massa maior é anexada ao final da primavera, a mola será esticada ainda mais. A energia potencial do sistema é maior, pois é uma função do deslocamento quadrado do equilíbrio(Equação 7). Faz sentido que o período seja mais longo para uma massa maior — porque a mola é deslocada mais longe do equilíbrio, levará mais tempo para percorrer essa distância mais longa.
Mesa 1. Resultados.

Massa (kg) Peso / F (N) Δy (m) PE (J) T medido (s) T calculado (s)
0.5 4.9 0.49 2.4 1.3 1.4
0.75 7.4 0.74 5.4 1.6 1.7
1 9.8 0.98 9.6 1.9 1.9
1.5 14.7 1.5 21.6 2.5 2.4
2 19.6 2 38.4 2.9 2.8

Figure 2
Figura 2: Parcela da força aplicada (N) versus deslocamento.

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Applications and Summary

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O uso de molas é onipresente em nossas vidas cotidianas. A suspensão de carros modernos é feita de molas que são devidamente amortecidos. Isso requer conhecimento das constantes da primavera. Para passeios cadillac mais suaves, molas com uma constante de mola mais baixa são usadas, e o passeio é "mushier". Carros de alto desempenho usam molas com uma maior constante de mola para melhor manuseio. Pranchas de mergulho também são feitas com molas de diferentes constantes de mola, dependendo da quantidade de "salto" desejada ao mergulhar fora da prancha. Cordas de escalada também são ligeiramente elásticas, por isso, se um alpinista cair enquanto sobe, a corda não só vai salvá-la de bater no chão, mas também vai amortecer a queda com sua elasticidade. Quanto menor a constante de mola de uma corda de escalada, mais se assemelha ao bungee jumping.

Neste estudo, foi medido o deslocamento de uma mola resultante da aplicação de forças de magnitudes variadas. A validade da lei de Hooke foi verificada plotando os deslocamentos resultantes em função da força exercida sobre a mola suspensa. Também foi observado movimento oscilatório, com períodos proporcionais à raiz quadrada da massa presa à mola.

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