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평형 및 자유 물체 다이어그램
 
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평형 및 자유 물체 다이어그램

Overview

출처: 케트론 미첼 윈, 박사, 아산타 쿠레이, 박사, 물리학 및 천문학, 물리 과학 학교, 캘리포니아 대학, 어바인, 캘리포니아

평형은 일상 생활에서 매우 중요한 역학의 특별한 경우입니다. 개체 또는 시스템의 순 힘 및 그물 토크가 모두 0일 때 발생합니다. 즉, 선형 및 각도 가속모두 0입니다. 따라서, 개체는 쉬거나 질량의 중심이 일정한 속도로 이동한다. 그러나 시스템 내의 오브젝트에 대한 어떤 힘이 작용하지 않는다는 것을 의미하지는 않습니다. 사실, 지구상에는 어떤 세력도 주어진 물체에 따라 행동하지 않는 시나리오는 거의 없습니다. 사람이 다리를 가로 질러 걷는 경우, 그들은 질량에 비례하는 다리에 하향 힘을 발휘하고, 다리는 사람에 동등하고 반대 상승 힘을 발휘한다. 경우에 따라, 다리는 사람의 하향 힘에 대응하여 구부러질 수 있으며, 극단적 인 경우 힘이 충분히 크면 다리가 심각하게 변형되거나 심지어 골절 될 수 있습니다. 평형에서 물체의 이 굴곡에 대한 연구는 탄력이라고 하며 엔지니어가 매일 사용하는 건물과 구조물을 설계할 때 매우 중요합니다.

Principles

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평형을 얻기 위한 시스템에 대한 요구 사항은 간단합니다. 평형에서, 힘의 합계와 토크의 합계는 0입니다 :

Σ F = 0 (방정식 1)

그리고

θ θ = 0. (방정식 2)

토크 θ는 힘이 회전 축에 적용되는 레버 암 길이의 교차 제품으로 정의된 각력입니다. 해당 거리는 r로표시됩니다.

θ = r x F, (방정식 3)

= r F 죄(θ)

여기서 θ는 힘이 레버 암에 적용되는 각도입니다. 레버 암에 대하여 수직인 힘의 경우, 방정식 3은 단순히 θ = r · F.

이러한 방정식은 기록할 만큼 간단하지만 문제의 시스템이 더 복잡해짐에 따라 더 많은 힘과 토크가 관련되어 있으며 평형을 수용할 수 있는 최적의 구성을 찾는 것은 매우 어려워질 수 있습니다. 방정식 1을 해결하는 일반적인 방법은 힘을 x,y-및 z-방향으로분해한 다음 세 방향 각각에 대해 방정식 1을 해결하는 것입니다(예:Σ Fx = Σ F y = Σ Fy = Σ Fz = 0). xy-평면에만 움직임이 있는 상황에서 토크는 해당 평면에 수직인 축에 대해 계산됩니다. 이 축은 임의로 계산을 단순화하도록 선택됩니다. 시스템의 모든 개체가 나머지인 경우 방정식 2는 모든 축에 대해 true를 유지합니다. 3차원에서 회전 축은 일반적으로 계산이 시스템의 구성에 따라 가장 간단할 수 있도록 다시 선택됩니다. 예를 들어, 회전 축을 선택하면 알 수 없는 힘 중 하나가 해당 축을 통해 작동하도록 하면 레버 암이 0이고 토크가 생성되지 않습니다(방정식 3참조) 토크 방정식에 하나의 용어가 덜 나타납니다. 평형 문제를 해결하기위한 단일 기술은 없지만 편리한 좌표 시스템을 선택하면 방정식 1과 2를 해결하는 과정을 크게 단순화 할 수 있습니다.

시스템의 개체가 평형 힘을 받으면 그 중 일부는 재료와 시스템 내구성에 따라 압축또는 확장됩니다. 예를 들어, 막대 나 스프링에 힘이 가해지는 경우, 그 길이는 Hooke의 법칙에 의해 주어진 힘에 비례적으로 확장됩니다.

F = k ΔL, (방정식 4)

ΔL이 확장 길이이고 K는 "스프링 상수"라고 불리는 비례의 일정입니다.

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Procedure

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1. 정적 시스템에서 평형을 관찰하고 힘과 토크의 합이 0인지 확인합니다. 시스템에 사용되는 스프링 상수 k를 확인합니다.

  1. 미터 스틱, 알려진 스프링 상수가있는 두 개의 스프링 스케일, 스프링을 일시 중단하는 두 개의 스탠드, 다른 질량의 두 가지 가중치 및 미터 스틱에서 무게를 중단하는 메커니즘을 가져옵니다.
  2. 두 스탠드를 테이블에 고정하고 1m 떨어져 있습니다.
  3. 스프링을 스탠드에 부착합니다.
  4. 미터 스틱의 각 끝에 스프링을 부착합니다.
  5. 미터 스틱의 중간에 첫 번째 무게를 부착합니다.
  6. 미터 스틱의 무게에 의해 가해지는 힘과 토크를 모두 계산하고 표 1에기록합니다.
  7. 표 1의각 스프링에 가해지는 힘을 기록합니다.
  8. 0.2m로 왼쪽으로 무게를 이동하고 1.6-1.7 단계를 반복합니다.
  9. 무게를 왼쪽으로 0.2m를 추가로 이동하므로 미터 스틱의 중심에서 총 변위가 0.4 m입니다. 즉, 왼쪽의 스프링에 대한 모멘트 암의 길이는 0.1m이고, 오른쪽의 스프링에 대한 순간 팔의 길이는 0.9m이다.
  10. 다른 무게에 대해 1.5-1.9 단계를 반복합니다.
  11. 왼쪽 및 오른쪽 스프링, FL FR의계산된 힘의 백분율 차이를 스프링 비늘에서 판독하는 해당 힘에 대해 계산합니다.

평형은 고전 역학에서 특별한 경우이지만 일상 생활에서 유비쿼터스이며, 자유 신체 다이어그램은 존재하는 기본 힘을 해독하는 데 도움이됩니다.

시스템이 번역형 평형에 있는 경우, 그 위에 작용하는 힘이 균형을 이루고, 즉 순힘이 0이면. 그물 토크, t가0인 경우 평형은 회전 시스템에 확립될 수도 있다.

시스템이 휴식 중인 이러한 정적 평형 사례 외에도 동적 평형은 시스템이 움직이고 있지만 선형 가속 또는 각도 가속이 발생하지 않는다는 것을의미합니다.

이제 시스템이 평형에 있더라도 다양한 개별 힘이나 토크가 작동할 수 있으며, 간단한 모양과 화살표로 구성된 자유 바디 다이어그램은 종종 이러한 힘과/ 또는 시스템에서 작용하는 토크를 개념화하기 위해 구현됩니다.

이 실험의 목적은 다양한 힘의 영향하에 여러 구성 요소로 구성된 시스템의 평형을 이해하는 것입니다.

이 복잡한 시스템을 분석하기 전에 평형 및 프리 바디 다이어그램의 개념을 다시 살펴보겠습니다. 앞서 언급했듯이, 평형은 리딩 포스가 중력의 균형을 맞출 때, 로드된 스프링과 같은 번역 시스템에서 발생한다. 회전 시스템에서, 예를 들어 중량이 자유롭게 회전하는 빔에 부착되는 경우 토크가 서로 균형을 잡을 때 평형이 설정됩니다. 회전 축과 관련하여 토크는 시계 반대 방향으로 회전하는 데 긍정적이고 시계 방향으로 회전하는 경우 음수입니다.

이러한 경우 순 힘 또는 토크는 0과 같기 때문에 선형 또는 각도 가속이 존재하지 않습니다. 뉴턴의 첫 번째 법칙에 따라, 이러한 시스템은 정적 평형에 있기 때문에 그들은 휴식에 남아 있어야합니다.

그물 힘이나 토크가 없는에도 불구하고 여러 힘이 이러한 시스템 내의 물체에 작용하고 있습니다. 자유 바디 다이어그램 또는 힘 다이어그램은 평형 시스템에서 작용하는 힘과 토크를 이해하기 위해 종종 그려집니다.

각 기여 력 또는 토크는 크기와 방향이 문제의 벡터를 완전히 설명하는 화살표로 표시됩니다. 벡터 첨가를 통해, 번역 시스템은 평형에 있는 것으로 나타났다. 마찬가지로 축에 대하여 토크 방향을 고려함으로써 회전 계도 평형에 있다.

이제 빔 자체가 양쪽 스프링으로 끝에 매달려있는 동안 무게가 빔의 중앙에 부착되는 이러한 시스템을 결합한다고 상상해보십시오. 시스템은 복잡하지만 두 개의 별도의 프리 바디 다이어그램을 사용하여 이해할 수 있습니다. 번역 시스템에는 각각 FL 및 FR로 표시된 무게와 좌우 스프링 복원 력이 포함됩니다.

시스템이 평형상태이기 때문에 FL 및 FR의 크기 합계는 무게의 크기와 같아야 합니다. 이 방정식은 과도기 평형을 설명합니다.

회전 시스템에서는 힘 대신 토크가 있습니다. 토크는 수직 힘 시간로 정의되며, 힘은 회전 축에서 인가되는 거리 r입니다. 무게는 회전 축에 위치하기 때문에 빔에 토크가 없습니다. 이 경우 스프링의 경우 수직힘은 복원력이고 r은 무게로부터 각각의 거리입니다.

이제 시스템이 평형상태이기 때문에 이러한 토크의 크기는 같아야 하며 이 방정식은 회전 평형을 보여줍니다.

가중치를 중심에서 멀리 이동하면 빔이 기울어지게 됩니다. 번역 시스템의 경우 복원 력의 합은 여전히 무게와 동일합니다. 따라서 이러한 힘의 크기를 다루는 번역 형평형 방정식은 동일하게 유지됩니다.

회전 계통의 경우, 각도 θ에 의한 기울기는 스프링 토크의 힘을 각각의 복원력의 코신 성분으로 변화시다. 회전 팔의 길이도 변경됩니다. 그러나 무게는 여전히 회전 축이므로 빔에 토크가 없습니다.

이 시스템은 평형에도 있기 때문에 스프링에 의해 적용 된 토크의 크기는 동일해야합니다. 코신 θ를 취소하면 동일한 회전 평형 공식이 생성됩니다.

평형의 원리를 이해하게 되었으므로 이러한 개념을 힘과 토크를 모두 경험하는 시스템에 적용해 보겠습니다. 이 실험은 미터 스틱, 스프링 스케일 2개, 스탠드 2개, 미터 스틱에서 일시 중단될 수 있는 서로 다른 질량의 2개의 가중치로 구성됩니다.

먼저 두 스탠드를 테이블에 1미터 간격으로 배치하여 안전하게 지내십시오. 각스탠드에서 스프링 스케일을 중단하고 미터 스틱의 각 끝을 스프링 스케일의 바닥에 부착합니다.

다음으로, 스프링 비늘 사이의 중간 미터 스틱에 가장 적은 거대한 무게를 부착합니다. 번역 및 회전 평형 하에서 시스템을 사용하여 미터 스틱에 작용하는 개별 힘을 계산하고 기록합니다.

각 스프링 비늘의 값을 읽고 스프링에서 가해지는 이러한 복원 력을 기록합니다.

이제 왼쪽 회전 암 0.3m와 오른쪽 회전 암 0.7m를 만드는 왼쪽 으로 0.2 m의 무게를 이동합니다. 개별 힘과 스프링 스케일 측정의 계산을 반복합니다.

마지막으로 무게를 왼쪽으로 0.2m를 추가로 이동하고 힘 계산 및 스프링 스케일 측정을 수행합니다. 더 거대한 무게에 대한이 평형 실험을 반복합니다.

미터 스틱에 작용하는 개별 힘은 부착 된 무게와 스프링의 복원 력에 중력으로 구성됩니다. 번역 및 회전 평형 하에서 시스템의 자유 바디 다이어그램을 볼 때 두 개의 방정식을 사용하여 알 수 없는 복원 력을 결정할 수 있습니다.

회전 팔은 스프링 사이의 중간에 무게가 있을 때 동일합니다. 따라서 각 복원 력은 무게의 절반과 같아야 합니다. 무게가 중심에서 이동될 때 실험의 경우 복원 력은 각각의 회전 암의 비율에 따라 결정됩니다.

이러한 계산된 값은 스프링 스케일 측정에서 결정된 복원 력과 비교할 수 있습니다. 값 간의 차이점은 실험의 측정 오류 내에 있습니다. 따라서 평형 조건을 호출함으로써, 복원력은 중량의 질량과 회전 암의 길이에 대한 지식으로 결정될 수 있다.

평형의 기본 원칙은 엔지니어가 우리가 매일 사용하는 구조를 설계 할 때 매우 중요 할 수 있습니다.

다리는 항상 정적 평형에 있으며, 자체 무게와 그 를 가로 질러 이동하는 하중 모두에서 큰 힘과 토크를 지속적으로 경험합니다. 따라서 샌프란시스코의 골든 게이트와 같은 현수교를 건설하려면 교통량이 많은 시기에도 평형이 유지되도록 상당한 구조 엔지니어링 노력이 필요합니다.

마찬가지로, 고층 빌딩은 엄청난 힘 아래 강철 빔의 복잡한 시스템을 가지고, 이는 모두 모두 정적 평형에 경직 된 시스템을 구성. 따라서 평형 뒤에 있는 개념을 이해하면 건축가가 시공 파라미터를 결정하는 데 도움이 되므로 이러한 구조는 특히 지진 발생 구역에서 일정량의 토크를 견딜 수 있습니다.

당신은 평형에 JoVE의 소개를 보았다. 평형의 원리와 자유 체형 다이어그램을 사용하여 평형 시스템에 기여하는 힘과 토크를 결정하는 방법을 이해해야 합니다. 시청해 주셔서 감사합니다!

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Results

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실험의 대표적인 결과는 표 1에서찾을 수 있다. 매달려 있는 질량에 의해 두 스프링에 가해지는 힘은 그들의 위치에 의해 표시됩니다: 왼쪽과 오른쪽, 하위 스크립트 L과 R에 의해 표시. 이 실험에는 FL과 F R에두 개의 미지수가 있기 때문에 이를 해결하기 위해 두 가지 방정식이 필요합니다. 따라서, 수학식 1과 2는 두 힘을 해결하기 위해 사용된다. 토크는 FL과 FR 사이의 관계를 얻기 위해 사용된다.

중량에 의해 가해지는 힘이 하향이므로, 방정식 3의 각도 θ는 90°이며 토크는 r·1이다. F. 토크가 L을 θS및 θR은 반대 방향으로도 반대 방향으로, 시계 반대 방향은 긍정적 인 방향으로 정의됩니다. 방정식 2 사용

-θL + θR = 0 = -rL L L + rR R FR. (방정식 5)

동등

FL = FR RR /rL. (방정식 6)

방정식 1 사용

FL + FR = m g, (방정식 7)

여기서 m은 중량의 질량이고 g는 9.8 m/s 2의 중력 상수이다. 즉, 무게의 하향 힘은 시스템을 일시 중단하는 왼쪽과 오른쪽에 있는 두 개의 스프링인 중량 및 미터 스틱 시스템을 유지하는 힘의 합과 같습니다. 이 두 방정식(6 7)을사용하면 알 수없는 FL FR을 계산할 수 있습니다. 표 1에표시됩니다. 이러한 값은 테이블의 마지막 두 열에서 스프링에 가해지는 힘과 비교됩니다. 측정 오류로 인한 약간의 불일치가 예상됩니다. 또한 미터 스틱의 질량이 0이라고 가정되어 엄격히 말하고 있지만 그럼에도 불구하고 좋은 근사치입니다. 이 실험실은 스프링 스케일을 사용하여 스프링 스케일을 사용하여 스프링 이클이 늘어날 때 봄에 얼마나 많은 뉴턴이 적용되고 있는지 보여주기 때문에 스프링 상수 k를 알 필요가 없습니다.

표 1. 이론적 및 실험 결과.

질량 (g) rL (cm) r R(cm) FL (N) FR (N) FL,스프링 (N) FR,스프링 (N) % diff(왼쪽) % diff (오른쪽)
100 50 50 0.5 0.5 0.45 0.45 9.9 9.9
100 30 70 0.68 0.29 0.65 0.3 4.4 3.4
100 10 90 0.9 0.1 0.85 0.1 5.5 0
200 50 50 0.98 0.98 1 1 0 0
200 30 70 1.38 0.59 1.35 0.55 2.1 7.2
200 10 90 1.8 0.2 1.85 0.2 2.7 0

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Applications and Summary

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모든 교량은 자신의 무게와 가로이동하는 하중의 무게 모두에서 약간의 스트레스를 받고 있습니다. 골든 게이트와 같은 현수막 교량은 매우 무거운 힘과 평형의 복잡한 물체 시스템입니다. 다리를 위로 고정하는 케이블은 탄성이며 구조 엔지니어가 다리를 설계할 때 탄력성을 고려했습니다. 마찬가지로, 고층 빌딩은 엄청난 힘 아래 강철 빔의 복잡한 시스템을 가지고, 이는 모두 모두 정적 평형에 경직 된 시스템을 구성. 신축성은 특히 지진이 만연한 지역에서 일정량의 굴곡을 견딜 수 있어야 하기 때문에 건물을 짓는 데 사용되는 재료에 중요한 역할을 합니다. 이러한 구조물을 건설하는 데 사용되는 크레인은 또한 평형에 있으며, 복잡한 케이블 시스템과 풀리가 건설 자재를 들어 올리고 낮춥니까.

본 연구에서는, 다양한 힘 하에서 여러 성분으로 구성된 시스템의 평형이 관찰되었다. 탄성 성분의 효과는 또한 알려진 스프링 상수의 스프링 스케일을 사용하여 관찰되었다. 스프링에 가해지는 힘은 평형에 필요한 두 가지 조건을 사용하여 계산되었습니다: 힘의 합과 토크의 합은 0입니다.

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