运动学和抛体运动

Physics I

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Overview

资料来源: Ketron 米切尔韦恩博士, Asantha 库雷博士,物理系 & 天文,物理科学学院,加利福尼亚大学,加利福尼亚州欧文市

本实验演示的运动学运动在 1 和 2 的尺寸。这个实验室将开始学习运动的 1 的维度,根据恒定的加速度,通过发射弹丸直接向上和测量的最大高度达到。这个实验室将验证达到最大高度是符合下面的运动学方程。

议案在 2 个维度将证明由发射角θ的舞会。使用下面的运动学方程,人可以预测到子弹头会落在哪里的距离根据初始速度、 总时间和角度的轨迹。这将分别展示运动与出yx方向的加速度。

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JoVE Science Education Database. 物理学精要 I. 运动学和抛体运动. JoVE, Cambridge, MA, (2019).

Principles

任何测量运动学的对象,如位置、 位移和速度,必须作出一些参考框架。X 轴方向的坐标轴将对应于水平方向和垂直y 。起源的坐标轴 (0,0),将被定义为初始位置的粒子 (在这里,一个球)。

在一维空间中的运动

让我们首先考虑在特定的时间间隔t,相应的定位y. 1 三维运动的球表示为t0,对应位置的初始时间y0.位移的球,Δy,定义如下:

Δy = y-y0.(方程 1)

球的平均速度, -,v是位移除以时间:

v-= (y-y0) / (t-t0) = Δx /Δt。(公式 2)

瞬时速度, v的速度是在一些很小的时间间隔,定义为:

v = limδ t 0x /Δt)。(方程 3)

恒定加速度,是速度除以时间的变化:

= (v-v0) / (t-t0)。(方程 4)

设置t0 = 0 的初始时间和解决v在最后一个公式来获得速度作为时间的函数:

v = v0 + 擅长(方程 5)

接下来,作为时间函数的使用公式 2计算y位置。y是重新标记为:

y = y0 + v-t.(方程 6)

根据恒定的加速度,速度将增加以均匀的速度,所以平均速度将介于之间的初始的和最终的速度:

- v = (v0 + v) / 2。(方程 7)

这代入方程 6和使用瞬时速度的定义给出了一个新的方程为y:

y = y0 + v0t +2½。(方程 8)

t解决代入方程 7 方程 6:

t =(v-v0) /a.(方程 9)

t代入方程 6和再次使用再定义方程 7变化的计算公式为y:

y = y0 + (v + v0) / 2 (v-v0) /a = y0 + (v2- v02) / 2a。(方程 10)

解决为v2给:

v2 = v02 + 2a (y-y0)。(方程 11)

这些都是有用的方程有关位置、 速度、 加速度和时间当是恒定的。

2 运动dimensions

现在,将考虑在 2 个维度的议案。方程 5 7 8 11构成一整套一般的运动学方程在y方向。这些可以扩大到运动 2 尺寸、 xyy组件简单地替换x组件。考虑与初始速度v0在角 θ相对于x轴,发射,如图 1所示。从上图中,一个可以看到x-方向元件的初始速度, vx,0v0,因为 (θ)。同样,在y 轴方向, vy,0 = v0(θ)。

T他唯一加速粒子经验是重力负y-方向。因此,在x方向的速度是恒定的。在y 轴方向的速度达到最小值的抛物线,中途位移,高峰在t /2,其中t是的总时间。使用上述方程来描述这个二维的运动方程。在此坐标系原点 (0,0) 对应于 (x0,y0)。开始与x-方向

x = x0 + vx,0 t + ½xt2 (方程 12)

因为 = v0 (θ) t. (方程 13)

y方向

y = y0 + vy,0t + ½y t2 (方程 14)

v =0 (θ) t-½ g t2(方程 15)

Figure 1
图 1。在 2 个维度的抛体运动。弹丸发射与初始速度v0在角 θ相对于x轴。两个速度分量是vx和 vyV = vx + vy

w在这里g是重力加速度。如果一个测量的时间所需的弹丸来完成它的路径和角θ和初始速度v0众所周知,在x-位移可以计算y-方向。在开始之前这个实验,发射器,6.3 m/s,弹丸初速而闻名。这些位移的计算将与实验结果进行比较。类似的程序可以在 1 个维度通过直接射击子弹头向上,与θ = 0。

Procedure

1.在一维空间中运动。

  1. 获得一个球、 发射器与柱塞、 两极、 一桶,两个夹、 蹦极绳和 2 米的棍子。
  2. 将发射器附加到极点,与 2 米长的杆上面。
  3. 使用柱塞将球放在最大的弹簧张力发射架上发射。
  4. 角的发射器直接向上所以θ = 0。
  5. 发射球,用秒表来衡量总时间t花球达到其最大高度.初始位置是在哪里球退出发射器。
  6. 请注意球达到最大高度 2 米和 stopsinstantaneously,当它达到那样的高度。
  7. 重复步骤 1.5-1.6 五倍和用于计算的平均时间。

2.在 2 个维度的议案。

  1. 设置发射器和其他极 4 m 分开,在同一水平高度。将桶附加到另一极使用夹具和蹦极绳 (图 2)。桶的高度应在梯段球高度退出发射器相同。
  2. 使用柱塞将球放在最大的弹簧张力发射架上发射。
  3. 所以角度在 45 ° 角发射器θ = π /4。
  4. 使用秒表测量球的土地需要存储桶中的总时间t
  5. 注意到球到达的近似高度。
  6. 重复步骤 2.4-2.5 五倍和用于计算的平均时间。

Figure 2
图 2.实验设置。

运动学是描述运动,经常是很多物理事件和现象的一个重要结果。

运动可以是一维、 二维或三维。适用于在所有这些情况下物体的运动方程使用向量数量的位置-即针对原点,速度-,是位置随时间变化的位移和加速度 — — 这是速度随时间的变化。

使用此信息,就可以计算路径的自由落体,子弹头,轨迹和轨道的行星,放弃只是一些例子。

在这里,我们将专注于与一维兴衰的对象与二维圆弧,圆弧角发射物体相关的运动学方程

之前描述运动,它是需要有一个坐标系统或一个参考框架。通常情况下,是水平的 x 轴和 y 轴是垂直的。起源是任意的而经常对象的起始点。

让我们来考虑一个篮球放在原点和垂直向上抛出。球的位置是从原点的方向、 距离和有米的单位。

平均速度vy是除以时间δ t,在变化的位置主峰的变化和有米每秒的单位。然而,当δ t趋近于零,平均速度方程变得一个瞬时速度。

实际上,看作瞬时速度的速度在那一瞬间。所以在开始时瞬时速度v0是发射速度,和瞬时速度降低持续直到它的以下是零在高峰期。

在由地球的引力,反对球提供恒定加速度的速度减少的议案并负此坐标系统中。

在这种恒定加速度的条件下,运动学关系导致这些方程的大小的瞬时速度和一个维度中的位置。使用它们,我们可以计算物体的运动在任何给定的时间

让我们将这些公式应用于篮球例子。让我们说篮球的发射速度,v0,是每秒 20 米。我们知道球的最终瞬时速度的高峰期是零。这里的加速度是负g,因为它反对球的运动。因此,通过重新排列这运动学方程,我们可以获得t — — 上升时间,出来要大约两秒。现在,使用位置,运动学公式并说初始位置 y0 是零,我们可以插在重力和上升时间,计算最大位移,发射速度加速度的值是峰高在这里,大约 20.4 米。达到峰值后, 球落两秒钟,随着速度的增加,直到它落地时它开始的地方,使总飞行时间为大约 4 秒。

对于两个维度,对象的垂直和水平运动是相互独立的可以分别对待,与净结果是矢量和。使用这种洞察力,整个弧的抛体运动可分解为两个单独的、 一维运动。

让我们来研究这使用示例: 投球手投出 20 米/秒的初始速度与棒球在三十度的角度从地面。初始垂直分量是速度的这时代的正弦值的 30 度或 10 米/秒的速度。初始的水平分量是时代的余弦值为 30 度,或大约 17 米/秒的速度。

在棒球的上升时间,垂直速度向上是以降低由于重力的速度。在高峰期,是的中点,垂直速度为零的瞬间.然后在跌的时候,它是向下随着速度的增加。

忽略空气阻力,水平运动没有加速度,因此具有恒定的速度。

向量加法的垂直和水平位置和垂直和水平速度产生抛体运动的电弧。上升和下降时间之和的总飞行时间,确定范围或水平距离。

现在,我们已经看到如何计算运动物体的路径,我们将测试笔直向上抛出一个球,另一个投掷角度的运动学方程。

这些实验使用球、 发射器与柱塞、 两极、 一桶,两个夹和一根两米长的棍子和秒表。请注意,发射器弹丸初速是 6.3 米每秒。第一个实验,演示一维抛体运动,将发射器附加到极点和两米粘在上面它的位置。

于是它指直接向上在零度角从纵向调整发射装置。这从横向对应于一个发射角为 90 度。注意到的发射器,球在哪里将退出,并将它指定为 y0 一角的垂直位置。使用柱塞将球放在最大的弹簧张力发射架上发射。

发射球,在同一瞬间启动秒表。测量球返回到垂直位置 y0 其起始点并将结果作为飞行时间记录的总时间。通知球在这一点上达到最大高度约 2 米,站了一会儿。

重复此过程五次及以后的计算使用的平均的总时间。

这第二个实验演示二维抛体运动。设置第一个实验发射器和放置另一极四米走在相同的高度。附上斗到这第二个杆位钳钳夹并调整桶,所以在相同的高度作为发射器的提示。

附加 2 米粘在配置,并将其定位所以发射器或为 y0至少一米以上的高度。调整发射装置,所以它是从纵向看,这是一个发射角为 45 度从横向呈 45 度角。使用柱塞将球放在最大的弹簧张力发射架上发射。

现在发射球,在同一瞬间启动秒表。测量球的桶里土地的总飞行时间。注意到并记录球达到最大高度。重复这个实验五次及以后的计算使用的平均的总时间。

实验演示议案一维,发射机制将球的初始速度为 6.3 米每秒。还记得,当球直接抛出,其速度是 0 在高峰期。此信息与速度的运动学公式,我们可以计算球的理论上升时间为 0.64 秒。这乘以 2 给我们计算的飞行时间。然后,使用位置的公式,我们可以计算峰值高度为 2.02 米。

理论和实测结果具有可比性,在实验误差,验证运动学方程的一维运动范围内

实验演示议案在两个维度,以 45 度角 6.3 米/秒的速度发起了球。若要计算其抛体运动,首先确定x-组件的初始速度-v•cosθ-和初始速度-v•sinθ 的y分量。然后使用初始的垂直速度和加速度来确定时间达到峰值的高度,来为 0.45 秒。因此,总飞行时间双是此值或 0.9 秒。

若要计算最大竖向位移,请使用初始的垂直速度、 重力,加速度和上升时间。这给了我们 1 米的理论最大y位移。若要计算最大水平位移,请使用初始水平速度和总飞行时间,结果在理论最大x位移 4 米。

再次,理论与实验,验证运动学方程的二维运动吻合。

利用运动学和抛体运动的理解是重要的往往是看不见的在很多日常应用程序。

汽车工程师经常使用运动学计算不同车规格。

其中之一是停止或制动的距离,这是一个重要的安全参数,可以使用一维运动学方程计算

不知道,一个高尔夫球手执行心理计算运动学用每次挥杆都的俱乐部。希望能一杆进洞,伍兹波动、 触击球和启动它以一定的速度和角度,以飞跨课程。高尔夫球场球理想二维路径服从抛体运动的方程。

你刚看了运动学和抛体运动的朱庇特的简介。你现在应该知道如何使用运动学方程来计算在一个或两个维度中移动对象的轨迹。一如既往,感谢您收看 !

Results

下面表 1中列出代表结果从步骤 1 和 2 的上面的过程。此表在 1 和 2 的尺寸,与一个已知的初始速度和总飞行时间记录球传到最大高度。实验测得的最大竖向位移的值进行比较,计算方程 15,其价值也发现下面。表也记录为 2 维实验球最大水平位移。这被相比从方程 13使用已知的初始速度和量测的飞行时间的计算值。这两项结果非常相配,用来验证的运动学方程。

计算的飞行时间 (s) 计算的y (m) 平均测量飞行时间 (s) 平均测量的y (m)
1.28 2.02 1.22 2.1

表 1。计算值和实测的结果一维.

计算的飞行时间 (s) 计算的y (m) 计算的x (m) 平均测量飞行时间 (s) 平均测量的y (m) 平均测量的x (m)
0.9 1.01 4.01 1.02 1.1 4

2.计算值和实测的结果两个尺寸。

Applications and Summary

运动学用于广泛的应用。军方使用这些运动学方程来确定发射弹道的最好方法。对于精度较高,空气阻力的阻力包括在方程。汽车生产商使用运动学想出的最高速度和制动距离。以起飞,飞机必须达到一定的速度之前他们冲出跑道。与运动学分析,它是可能计算速度有多快,飞行员将需要加快在某些机场起飞的时候。

1.在一维空间中运动。

  1. 获得一个球、 发射器与柱塞、 两极、 一桶,两个夹、 蹦极绳和 2 米的棍子。
  2. 将发射器附加到极点,与 2 米长的杆上面。
  3. 使用柱塞将球放在最大的弹簧张力发射架上发射。
  4. 角的发射器直接向上所以θ = 0。
  5. 发射球,用秒表来衡量总时间t花球达到其最大高度.初始位置是在哪里球退出发射器。
  6. 请注意球达到最大高度 2 米和 stopsinstantaneously,当它达到那样的高度。
  7. 重复步骤 1.5-1.6 五倍和用于计算的平均时间。

2.在 2 个维度的议案。

  1. 设置发射器和其他极 4 m 分开,在同一水平高度。将桶附加到另一极使用夹具和蹦极绳 (图 2)。桶的高度应在梯段球高度退出发射器相同。
  2. 使用柱塞将球放在最大的弹簧张力发射架上发射。
  3. 所以角度在 45 ° 角发射器θ = π /4。
  4. 使用秒表测量球的土地需要存储桶中的总时间t
  5. 注意到球到达的近似高度。
  6. 重复步骤 2.4-2.5 五倍和用于计算的平均时间。

Figure 2
图 2.实验设置。

运动学是描述运动,经常是很多物理事件和现象的一个重要结果。

运动可以是一维、 二维或三维。适用于在所有这些情况下物体的运动方程使用向量数量的位置-即针对原点,速度-,是位置随时间变化的位移和加速度 — — 这是速度随时间的变化。

使用此信息,就可以计算路径的自由落体,子弹头,轨迹和轨道的行星,放弃只是一些例子。

在这里,我们将专注于与一维兴衰的对象与二维圆弧,圆弧角发射物体相关的运动学方程

之前描述运动,它是需要有一个坐标系统或一个参考框架。通常情况下,是水平的 x 轴和 y 轴是垂直的。起源是任意的而经常对象的起始点。

让我们来考虑一个篮球放在原点和垂直向上抛出。球的位置是从原点的方向、 距离和有米的单位。

平均速度vy是除以时间δ t,在变化的位置主峰的变化和有米每秒的单位。然而,当δ t趋近于零,平均速度方程变得一个瞬时速度。

实际上,看作瞬时速度的速度在那一瞬间。所以在开始时瞬时速度v0是发射速度,和瞬时速度降低持续直到它的以下是零在高峰期。

在由地球的引力,反对球提供恒定加速度的速度减少的议案并负此坐标系统中。

在这种恒定加速度的条件下,运动学关系导致这些方程的大小的瞬时速度和一个维度中的位置。使用它们,我们可以计算物体的运动在任何给定的时间

让我们将这些公式应用于篮球例子。让我们说篮球的发射速度,v0,是每秒 20 米。我们知道球的最终瞬时速度的高峰期是零。这里的加速度是负g,因为它反对球的运动。因此,通过重新排列这运动学方程,我们可以获得t — — 上升时间,出来要大约两秒。现在,使用位置,运动学公式并说初始位置 y0 是零,我们可以插在重力和上升时间,计算最大位移,发射速度加速度的值是峰高在这里,大约 20.4 米。达到峰值后, 球落两秒钟,随着速度的增加,直到它落地时它开始的地方,使总飞行时间为大约 4 秒。

对于两个维度,对象的垂直和水平运动是相互独立的可以分别对待,与净结果是矢量和。使用这种洞察力,整个弧的抛体运动可分解为两个单独的、 一维运动。

让我们来研究这使用示例: 投球手投出 20 米/秒的初始速度与棒球在三十度的角度从地面。初始垂直分量是速度的这时代的正弦值的 30 度或 10 米/秒的速度。初始的水平分量是时代的余弦值为 30 度,或大约 17 米/秒的速度。

在棒球的上升时间,垂直速度向上是以降低由于重力的速度。在高峰期,是的中点,垂直速度为零的瞬间.然后在跌的时候,它是向下随着速度的增加。

忽略空气阻力,水平运动没有加速度,因此具有恒定的速度。

向量加法的垂直和水平位置和垂直和水平速度产生抛体运动的电弧。上升和下降时间之和的总飞行时间,确定范围或水平距离。

现在,我们已经看到如何计算运动物体的路径,我们将测试笔直向上抛出一个球,另一个投掷角度的运动学方程。

这些实验使用球、 发射器与柱塞、 两极、 一桶,两个夹和一根两米长的棍子和秒表。请注意,发射器弹丸初速是 6.3 米每秒。第一个实验,演示一维抛体运动,将发射器附加到极点和两米粘在上面它的位置。

于是它指直接向上在零度角从纵向调整发射装置。这从横向对应于一个发射角为 90 度。注意到的发射器,球在哪里将退出,并将它指定为 y0 一角的垂直位置。使用柱塞将球放在最大的弹簧张力发射架上发射。

发射球,在同一瞬间启动秒表。测量球返回到垂直位置 y0 其起始点并将结果作为飞行时间记录的总时间。通知球在这一点上达到最大高度约 2 米,站了一会儿。

重复此过程五次及以后的计算使用的平均的总时间。

这第二个实验演示二维抛体运动。设置第一个实验发射器和放置另一极四米走在相同的高度。附上斗到这第二个杆位钳钳夹并调整桶,所以在相同的高度作为发射器的提示。

附加 2 米粘在配置,并将其定位所以发射器或为 y0至少一米以上的高度。调整发射装置,所以它是从纵向看,这是一个发射角为 45 度从横向呈 45 度角。使用柱塞将球放在最大的弹簧张力发射架上发射。

现在发射球,在同一瞬间启动秒表。测量球的桶里土地的总飞行时间。注意到并记录球达到最大高度。重复这个实验五次及以后的计算使用的平均的总时间。

实验演示议案一维,发射机制将球的初始速度为 6.3 米每秒。还记得,当球直接抛出,其速度是 0 在高峰期。此信息与速度的运动学公式,我们可以计算球的理论上升时间为 0.64 秒。这乘以 2 给我们计算的飞行时间。然后,使用位置的公式,我们可以计算峰值高度为 2.02 米。

理论和实测结果具有可比性,在实验误差,验证运动学方程的一维运动范围内

实验演示议案在两个维度,以 45 度角 6.3 米/秒的速度发起了球。若要计算其抛体运动,首先确定x-组件的初始速度-v•cosθ-和初始速度-v•sinθ 的y分量。然后使用初始的垂直速度和加速度来确定时间达到峰值的高度,来为 0.45 秒。因此,总飞行时间双是此值或 0.9 秒。

若要计算最大竖向位移,请使用初始的垂直速度、 重力,加速度和上升时间。这给了我们 1 米的理论最大y位移。若要计算最大水平位移,请使用初始水平速度和总飞行时间,结果在理论最大x位移 4 米。

再次,理论与实验,验证运动学方程的二维运动吻合。

利用运动学和抛体运动的理解是重要的往往是看不见的在很多日常应用程序。

汽车工程师经常使用运动学计算不同车规格。

其中之一是停止或制动的距离,这是一个重要的安全参数,可以使用一维运动学方程计算

不知道,一个高尔夫球手执行心理计算运动学用每次挥杆都的俱乐部。希望能一杆进洞,伍兹波动、 触击球和启动它以一定的速度和角度,以飞跨课程。高尔夫球场球理想二维路径服从抛体运动的方程。

你刚看了运动学和抛体运动的朱庇特的简介。你现在应该知道如何使用运动学方程来计算在一个或两个维度中移动对象的轨迹。一如既往,感谢您收看 !

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