運動と飛翔経路

Physics I

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Overview

ソース:ミッチェル ・ ウィン博士は Ketron、 Asantha Cooray、PhD、物理教室 & 天文学、物理的な科学の学校、カリフォルニア大学、アーバイン、カリフォルニア州

この実験では、1 と 2 の次元で動きの運動を示しています。この演習は、一定加速度下での 1 次元での運動を研究することによって開始されます直接上向きと測定投射物を起動することで最大の高さに達する。この演習はその最大の高さに達し、運動方程式を以下と一致を確認します。

2 次元の運動角度θでボールを起動することでデモを行います。以下の運動方程式を使用して、1 つは投射物が着陸する場所までの距離が初期速度、合計時間、および軌道の角度に基づいて予測できます。これはそれぞれy 軸x 軸方向に加速度を運動とを示しています。

Cite this Video

JoVE Science Education Database. 物理学の基礎 I. 運動と飛翔経路. JoVE, Cambridge, MA, (2019).

Principles

オブジェクトの位置、変位、速度などの運動の任意の測定は、いくつかの参照フレームに対して行わなければなりません。座標系の軸のx方向は、水平方向と垂直方向にyに対応します。(0, 0) 座標の軸の原点は、(ここでボール) 粒子の初期位置として定義されます。

1 次元での運動

玉の 1 次元運動を考慮したいくつか特定の時間間隔tに対応するの位置から始めましょうTとして0、位置に対応する最初の時間を示すy0.Δyボールの変位は、として定義されます。

Δy = y ・ y0.(式 1)

ボールの平均速度、 v-は変位の経過時間で割った値です。

v-= (y ・ y0)/(t0t) = Δx/Δt.(式 2)

瞬時速度、 vは超えてとして定義されている、いくつかの非常に小さな時間間隔の速度。

v = limΔt 0x/Δt)。(式 3)

一定加速は速度の経過時間で割った値の変化です。

= (v - v0)/(t0t)。(関係式 4)

設定t0 =最初の時間、時間の関数としての速度を取得する最後の方程式のvのために解決する 0。

v = v0 + で(式 5)

次に、方程式 2を使用して時間の機能として位置yを計算します。yとして再分類されました。

y = y0 + v-t.(関係式 6)

一定加速度で、速度は平均速度は最初と最後の速度の中間になるので均一の速度で増加します。

v- = (v0 + v)/2。(関係式 7)

式 6にこれを代入と瞬間速度の定義を使用して与えるy:のための新しい方程式

y = y0 + v0t +2½(関係式 8)

t式 7を代入することによって解決の式 6:

t =(v ・ v0)/a.(式 9)

式 6tを代入し、方程式 7の定義を再度使用して、再度変更「y」の方程式

y = y0 + (v +0v)/2 (v - v0)/a = y0 + (v2 - v02)/2 a.(関係式 10)

V2の解決を与えます。

v2 = v02 + 2 a (y ・ y0).(関係式 11)

これらは、位置、速度、加速度、およびとき一定の時間に関連便利な等式です。

2 に運動dimensions

今、2 次元での運動とみなされます。方程式 5 7 8および 11は、 y方向の運動方程式の一般的なセットを構成します。これらは、2 の寸法、 xyの動きのxコンポーネントとyコンポーネントを交換するだけで拡張できます。図 1に示すように、 x軸、初期速度v0角度 θで起動投射物を検討してください。図では、1 つは cos x方向成分の初期速度、 vx 0v0であることを見ることができます (θ).同様に、 y方向のvy 0 v0罪を =(θ).

T彼だけ加速粒子の経験は負のyで重力の方向。そのため、 x方向の速度は一定です。Y方向の速度に達した放物線、変位、途中のピーク時に最低でt/2、ここでtは時間の合計。上記の方程式を使用すると、この 2 次元運動方程式を記述します。この座標系の原点 (0, 0) に対応 (0, y0x).X方向から始まる

x = x0 + vx 0 t + ½×t2 (式 12)

v0を = cos (θ) t. (方程式 13)

Y方向の

y = y0 + vy 0t + ½y t2 (式 14)

= v0 (θ) t - ½ g t2(式 15)

Figure 1
図 1。2 次元の投射物の運動。初速v0角度 θ x軸に対して投射物を発売します。速度 2 のコンポーネントは、 vxと v のyところV = vx + vy

wここでgは重力加速度。1 つは時間を測定する場合のパスを完了する投射物にかかる角度θと初速v0知られている、 x変位とy方向を計算することができます。この実験を開始する前に、ランチャー、6.3 m/s の初速が知られています。これらの変位計算は実験の結果と比較されます。直接投射物の撮影で 1 次元で同様の手順を行うことができます上向きに、 θ = 0。

Procedure

1 1 次元での運動。

  1. ボール、プランジャーとランチャー、2 つの極、バケツ、2 つのクランプ、バンジー コード、2 m の棒を入手します。
  2. ランチャーをそれの上極の 2 m 長のポールに取り付けます。
  3. プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。
  4. ランチャーを直接角度上向き、 θ = 0。
  5. ボールを起動し、その最大の高さ.に到達するボールにかかる合計時間tの測定にはストップウォッチを使用初期位置はボールがランチャーを終了します。
  6. ボールが 2 メートルと stopsinstantaneously の最大の高さに到達するその高さに達したときに注意してください。
  7. 手順 1.5 1.6 5 回と計算の平均時間を使用します。

2. 2 次元の動き。

  1. ランチャーは、他のポール 4 m 離れて、同じ水平の高さに設定します。クランプとバンジー コード (図 2) を使用して、一方の極にバケツを取り付けます。バケットの高さは、当該ボールの高さは、ランチャーを終了すると同じにする必要があります。
  2. プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。
  3. 角度 45 ° の角度でランチャーをのでθ = π/4。
  4. バケツにボールの土地にかかる合計時間tを測定するのにストップウォッチを使用します。
  5. ボールに達するとおおよその高さの注意してください。
  6. 手順 2.4 2.5 5 回と計算の平均時間を使用します。

Figure 2
図 2.実験のセットアップ

運動学、運動は、しばしば多くの物理的な事象や現象の重要な結果の説明です。

運動は、一次元、二次元、三次元にすることができます。これらのすべてのケースでのオブジェクトの移動に適用される方程式使用位置 - - 時間の位置の変更、速度の基準変位のベクトル量と時間と速度変化か加速どっちです。

この情報により、自由落下する物体や、発射の軌道, ほんの一例を与えるため、惑星の軌道のパスを計算することが可能です。

ここでは、運動学的方程式次元上昇と落下物体と二次元円弧角度で開始したオブジェクトの関連に注力します

動きを説明する前に、座標系やフレームの参照が必要です。通常、x 軸は水平方向、y 軸は垂直。原点は任意ですが、多くの場合オブジェクトの開始点。

原点に配置され、ストレートを投げてバスケット ボールを考えてみましょう。ボールの位置は、その距離と原点からの方向で、メートル単位。

平均速度vyは位置Δy時間Δtの変化で割った値の変更で、1 秒あたりのメートル単位。しかし、 Δtがゼロに近づくと平均速度方程式になる瞬時速度の 1 つ。

実質的には、その瞬間速度と瞬間速度の考えます。だから開始時瞬時速度v0は起動速度と次の瞬間の速度がそれまで継続的に減少させることはピーク時にゼロ。

ボールに対抗する地球の重力によって提供される一定の加速による速度の低下はのこの座標系の負。

このような一定の加速条件で運動学的関係は瞬間速度と 1 つのディメンション内の位置の大きさのこれらの方程式に します。それらを使用して、任意の時点でオブジェクトのモーションを計算できます。

これらの式をバスケット ボールの例に適用してみましょう。バスケット ボールの起動速度、v0 が毎秒 20 メートルであることとしましょう。我々 はピーク時にボールの最終的な瞬時速度がゼロである知っています。加速度はここでは否定的なgボールの動きに対抗するためです。したがって、この運動方程式を並べ替えてできるt ― 立ち上がり時間は、約 2 秒間に出てくる。今、位置、キネマティック式を使用して、そして、初期位置 y0 はゼロ、我々 は重力と立ち上がり時間、最大変位を計算するための起動速度の加速度の値をプラグインできますと言って約 20.4 m のピーク高さをここにします。ピークに達し後、ボールが落下を振り出し、地面にヒットするまで速度を増加すると 2 秒間に約 4 秒間総飛行時間を作るします。

2 つの次元のオブジェクトの垂直方向と水平方向の動きは互いに独立してし、ベクトル和である純結果個別に扱うことができます。この洞察を使用して、2 つの独立した 1 次元の運動に投射物の動きの全体の弧を分解する可能性があります。

この例を使って勉強しましょう: 投手が 30 度の角度で地面から 20 メートル/秒の初期速度と野球をスローします。速度の初期の垂直コンポーネントは、30 度、または 10 メートル/秒のサイン回この速度です。初期の水平成分は、17 メートル/秒前後 30 度のコサイン回速度です。

野球の立ち上がり時間中に鉛直方向の風速が上向き重力減少速度です。中間点で、ピーク時に鉛直方向の風速が一瞬. 0 です。その後、落下時に下向き速度の増加と共に。

空気抵抗を無視して、水平方向の動きは加速度を持たないし、等速したがっています。

垂直方向と水平方向の位置と垂直方向と水平方向の速度のベクトルの加算は、投射物の動きの円弧を生成します。立ち上がりと立ち下がり時間の合計は総飛行時間、範囲、または水平方向の距離を決定します。

今では移動オブジェクトのパスを計算する方法を見てきた、我々 はまっすぐ上方にスロー ボール、もう 1 つの角度でスロー運動学的方程式をテストします。

これらの実験は、ボール、プランジャーとランチャー、2 つの極、バケツ、2 つのクランプと 2 メートルの長い棒とストップウォッチを使用します。ランチャーの初速が 6.3 メートル毎秒であることに注意してください。最初の実験は、一次元飛翔経路を示します、ポールにランチャーを添付し、上に 2 メートルの棒を配置します。

指すよう直接上向きに 0 度の角度で垂直からランチャーを調整します。これは水平から 90 度の打ち上げ角度に対応します。ボールが終了、y0 を指定、ランチャーの先端の垂直方向の位置に注意してください。プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。

ボールを起動し、同時にストップウォッチを開始します。Y0 を垂直方向の位置でその出発点に戻り、結果として飛行時間を記録するボールの合計時間を測定します。ボールの通知では、最大の高さ約 2 メートル、一瞬停止この時点に到達します。

この手順を 5 回繰り返すし、後の計算の平均の合計時間を使用します。

この 2 番目の実験では、二次元の投射物の運動を示しています。最初の実験のようにランチャーを設定し、同じ高さで一方の極の 4 メートルを離れて配置。クランプでバケツをこの 2 番目のポールに接続し、ランチャーの先端と同じ高さになるように、バケツを調整します。

構成、真ん中に 2 メートルの棒を添付し、少なくとも 1 メートルの高さの上のランチャー、またはy0があるのでそれを配置します。ランチャーは、水平から 45 度の打ち上げの角度が垂直から 45 度の角度になるように調整します。プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。

今ボールを起動し、同時にストップウォッチを開始します。土地のバケツの中にボールの総飛行時間を測定します。注意してください、ボールに到達高さの最大値を記録します。この実験を 5 回繰り返すし、後の計算の平均の合計時間を使用します。

1 次元実験デモ運動の起動メカニズムからボールの初速は 6.3 メートル毎秒だった思い出すと、ボールがまっすぐに投げられるときに、その速度はピーク時に 0。この情報と速度のキネマティック式、0.64 秒ボールの理論上の立ち上がり時間を計算できます。2 これを乗じて計算された飛行時間をくれます。その後、位置を数式を使用して、2.02 m ピーク高さを計算できます。

理論値と実測結果が同等、1 次元運動の運動方程式を検証、実験誤差内で

2 つの次元の実験デモ運動、ボールが 45 度の角度で 6.3 メートル/秒の速度で開始されました。その投射物の運動を計算するxの初期速度の成分v•cosθ を決定する最初の初期速度v•sinθ のyコンポーネント。0.45 秒に出てくるピークの高さに到達するのに時間を決定するのに初期の垂直速度と加速を使用しています。したがって、総飛行時間はこの値、または 0.9 秒ダブルです。

最大垂直変位を計算するには、最初の縦の速度、重力、加速度と立ち上がり時間を使用します。これは私たちに 1 メートルの理論的な最大y変位を与えます。最大水平変位を計算するには、初期の水平速度と 4 メートルの理論的な最大x変位の結果合計フライト時間を使用します。

もう一度、2次元運動における運動方程式の検証実験と理論に同意します。

運動学の使用および投射物の動きの理解が重要であり、多くの日常的なアプリケーションでは、よく見えないです。

自動車エンジニアは多くの場合別の車の仕様を計算するキネマティックを使用します。

それらの 1 つが停止または、制動距離が一次元の運動方程式を使用して計算することができます安全上重要なパラメーターであります。

それを知らずには、ゴルファーはクラブのすべての振動運動を使用して精神的な計算を実行します。穴 1 を期待して、ゴルファーはスイング、ボールを打つし、特定のスピードと角度、コースを横断飛行を開始します。ゴルフ ・ ボールの理想的な二次元パス飛翔経路を支配する方程式に従います。

運動と飛翔経路のゼウスの概要を見てきただけ。今、運動方程式を使用して、1 つまたは 2 つの次元に移動する物体の軌道を計算する方法を知っている必要があります。いつも見てくれてありがとう!

Results

手順 1 と 2 上記の手順から代表的な結果は表 1のとおりです。このテーブルは、既知の初期速度と総飛行時間 1 と 2 の両方の次元でボールに達する高さの最大値を記録します。実験的に測定された最大垂直変位の値が比較されます15 方程式を使用して計算されますが、値も下にあります。テーブルは、2 次元の実験のための球の最大水平変位を記録します。これは方程式 13使用知られている初期の速度と測定飛行時間から計算された値と比較されます。これらの 2 つの結果は非常によく、運動方程式を検証すると一致します。

計算された飛行時間 (s) 計算されたy (m) 平均測定飛行時間 (s) 平均測定値y (m)
1.28 2.02 1.22 2.1

表 1.計算し 1 つの寸法の測定結果.

計算された飛行時間 (s) 計算されたy (m) 計算x (m) 平均測定飛行時間 (s) 平均測定値y (m) 平均測定値x (m)
0.9 1.01 4.01 1.02 1.1 4

テーブル2.計算結果と測定結果2 つ寸法

Applications and Summary

運動は、幅広いアプリケーションで使用されます。軍は、弾道学を開始するのに最善の方法を決定するのにこれらの運動方程式を使用します。精度を上げるため、方程式で空気抵抗のドラッグが含まれております。車は、トップ スピードと停止距離を把握するために使用運動を製造しています。脱ぐために飛行機は滑走路を使い果たす前に一定の速度を達成する必要があります。運動学、パイロットは特定の空港で離陸時を加速する必要がありますどのくらいの速可能な計算です。

1 1 次元での運動。

  1. ボール、プランジャーとランチャー、2 つの極、バケツ、2 つのクランプ、バンジー コード、2 m の棒を入手します。
  2. ランチャーをそれの上極の 2 m 長のポールに取り付けます。
  3. プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。
  4. ランチャーを直接角度上向き、 θ = 0。
  5. ボールを起動し、その最大の高さ.に到達するボールにかかる合計時間tの測定にはストップウォッチを使用初期位置はボールがランチャーを終了します。
  6. ボールが 2 メートルと stopsinstantaneously の最大の高さに到達するその高さに達したときに注意してください。
  7. 手順 1.5 1.6 5 回と計算の平均時間を使用します。

2. 2 次元の動き。

  1. ランチャーは、他のポール 4 m 離れて、同じ水平の高さに設定します。クランプとバンジー コード (図 2) を使用して、一方の極にバケツを取り付けます。バケットの高さは、当該ボールの高さは、ランチャーを終了すると同じにする必要があります。
  2. プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。
  3. 角度 45 ° の角度でランチャーをのでθ = π/4。
  4. バケツにボールの土地にかかる合計時間tを測定するのにストップウォッチを使用します。
  5. ボールに達するとおおよその高さの注意してください。
  6. 手順 2.4 2.5 5 回と計算の平均時間を使用します。

Figure 2
図 2.実験のセットアップ

運動学、運動は、しばしば多くの物理的な事象や現象の重要な結果の説明です。

運動は、一次元、二次元、三次元にすることができます。これらのすべてのケースでのオブジェクトの移動に適用される方程式使用位置 - - 時間の位置の変更、速度の基準変位のベクトル量と時間と速度変化か加速どっちです。

この情報により、自由落下する物体や、発射の軌道, ほんの一例を与えるため、惑星の軌道のパスを計算することが可能です。

ここでは、運動学的方程式次元上昇と落下物体と二次元円弧角度で開始したオブジェクトの関連に注力します

動きを説明する前に、座標系やフレームの参照が必要です。通常、x 軸は水平方向、y 軸は垂直。原点は任意ですが、多くの場合オブジェクトの開始点。

原点に配置され、ストレートを投げてバスケット ボールを考えてみましょう。ボールの位置は、その距離と原点からの方向で、メートル単位。

平均速度vyは位置Δy時間Δtの変化で割った値の変更で、1 秒あたりのメートル単位。しかし、 Δtがゼロに近づくと平均速度方程式になる瞬時速度の 1 つ。

実質的には、その瞬間速度と瞬間速度の考えます。だから開始時瞬時速度v0は起動速度と次の瞬間の速度がそれまで継続的に減少させることはピーク時にゼロ。

ボールに対抗する地球の重力によって提供される一定の加速による速度の低下はのこの座標系の負。

このような一定の加速条件で運動学的関係は瞬間速度と 1 つのディメンション内の位置の大きさのこれらの方程式に します。それらを使用して、任意の時点でオブジェクトのモーションを計算できます。

これらの式をバスケット ボールの例に適用してみましょう。バスケット ボールの起動速度、v0 が毎秒 20 メートルであることとしましょう。我々 はピーク時にボールの最終的な瞬時速度がゼロである知っています。加速度はここでは否定的なgボールの動きに対抗するためです。したがって、この運動方程式を並べ替えてできるt ― 立ち上がり時間は、約 2 秒間に出てくる。今、位置、キネマティック式を使用して、そして、初期位置 y0 はゼロ、我々 は重力と立ち上がり時間、最大変位を計算するための起動速度の加速度の値をプラグインできますと言って約 20.4 m のピーク高さをここにします。ピークに達し後、ボールが落下を振り出し、地面にヒットするまで速度を増加すると 2 秒間に約 4 秒間総飛行時間を作るします。

2 つの次元のオブジェクトの垂直方向と水平方向の動きは互いに独立してし、ベクトル和である純結果個別に扱うことができます。この洞察を使用して、2 つの独立した 1 次元の運動に投射物の動きの全体の弧を分解する可能性があります。

この例を使って勉強しましょう: 投手が 30 度の角度で地面から 20 メートル/秒の初期速度と野球をスローします。速度の初期の垂直コンポーネントは、30 度、または 10 メートル/秒のサイン回この速度です。初期の水平成分は、17 メートル/秒前後 30 度のコサイン回速度です。

野球の立ち上がり時間中に鉛直方向の風速が上向き重力減少速度です。中間点で、ピーク時に鉛直方向の風速が一瞬. 0 です。その後、落下時に下向き速度の増加と共に。

空気抵抗を無視して、水平方向の動きは加速度を持たないし、等速したがっています。

垂直方向と水平方向の位置と垂直方向と水平方向の速度のベクトルの加算は、投射物の動きの円弧を生成します。立ち上がりと立ち下がり時間の合計は総飛行時間、範囲、または水平方向の距離を決定します。

今では移動オブジェクトのパスを計算する方法を見てきた、我々 はまっすぐ上方にスロー ボール、もう 1 つの角度でスロー運動学的方程式をテストします。

これらの実験は、ボール、プランジャーとランチャー、2 つの極、バケツ、2 つのクランプと 2 メートルの長い棒とストップウォッチを使用します。ランチャーの初速が 6.3 メートル毎秒であることに注意してください。最初の実験は、一次元飛翔経路を示します、ポールにランチャーを添付し、上に 2 メートルの棒を配置します。

指すよう直接上向きに 0 度の角度で垂直からランチャーを調整します。これは水平から 90 度の打ち上げ角度に対応します。ボールが終了、y0 を指定、ランチャーの先端の垂直方向の位置に注意してください。プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。

ボールを起動し、同時にストップウォッチを開始します。Y0 を垂直方向の位置でその出発点に戻り、結果として飛行時間を記録するボールの合計時間を測定します。ボールの通知では、最大の高さ約 2 メートル、一瞬停止この時点に到達します。

この手順を 5 回繰り返すし、後の計算の平均の合計時間を使用します。

この 2 番目の実験では、二次元の投射物の運動を示しています。最初の実験のようにランチャーを設定し、同じ高さで一方の極の 4 メートルを離れて配置。クランプでバケツをこの 2 番目のポールに接続し、ランチャーの先端と同じ高さになるように、バケツを調整します。

構成、真ん中に 2 メートルの棒を添付し、少なくとも 1 メートルの高さの上のランチャー、またはy0があるのでそれを配置します。ランチャーは、水平から 45 度の打ち上げの角度が垂直から 45 度の角度になるように調整します。プランジャーを使用すると、最大のスプリングの張力でランチャーでボールを配置します。

今ボールを起動し、同時にストップウォッチを開始します。土地のバケツの中にボールの総飛行時間を測定します。注意してください、ボールに到達高さの最大値を記録します。この実験を 5 回繰り返すし、後の計算の平均の合計時間を使用します。

1 次元実験デモ運動の起動メカニズムからボールの初速は 6.3 メートル毎秒だった思い出すと、ボールがまっすぐに投げられるときに、その速度はピーク時に 0。この情報と速度のキネマティック式、0.64 秒ボールの理論上の立ち上がり時間を計算できます。2 これを乗じて計算された飛行時間をくれます。その後、位置を数式を使用して、2.02 m ピーク高さを計算できます。

理論値と実測結果が同等、1 次元運動の運動方程式を検証、実験誤差内で

2 つの次元の実験デモ運動、ボールが 45 度の角度で 6.3 メートル/秒の速度で開始されました。その投射物の運動を計算するxの初期速度の成分v•cosθ を決定する最初の初期速度v•sinθ のyコンポーネント。0.45 秒に出てくるピークの高さに到達するのに時間を決定するのに初期の垂直速度と加速を使用しています。したがって、総飛行時間はこの値、または 0.9 秒ダブルです。

最大垂直変位を計算するには、最初の縦の速度、重力、加速度と立ち上がり時間を使用します。これは私たちに 1 メートルの理論的な最大y変位を与えます。最大水平変位を計算するには、初期の水平速度と 4 メートルの理論的な最大x変位の結果合計フライト時間を使用します。

もう一度、2次元運動における運動方程式の検証実験と理論に同意します。

運動学の使用および投射物の動きの理解が重要であり、多くの日常的なアプリケーションでは、よく見えないです。

自動車エンジニアは多くの場合別の車の仕様を計算するキネマティックを使用します。

それらの 1 つが停止または、制動距離が一次元の運動方程式を使用して計算することができます安全上重要なパラメーターであります。

それを知らずには、ゴルファーはクラブのすべての振動運動を使用して精神的な計算を実行します。穴 1 を期待して、ゴルファーはスイング、ボールを打つし、特定のスピードと角度、コースを横断飛行を開始します。ゴルフ ・ ボールの理想的な二次元パス飛翔経路を支配する方程式に従います。

運動と飛翔経路のゼウスの概要を見てきただけ。今、運動方程式を使用して、1 つまたは 2 つの次元に移動する物体の軌道を計算する方法を知っている必要があります。いつも見てくれてありがとう!

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