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Cinemática e Movimento do Projétil
 
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Cinemática e Movimento do Projétil

Overview

Fonte: Ketron Mitchell-Wynne, PhD, Asantha Cooray, PhD, Department of Physics & Astronomy, School of Physical Sciences, University of California, Irvine, CA

Este experimento demonstra a cinemática do movimento em 1 e 2 dimensões. Este laboratório começará estudando o movimento em uma dimensão, sob aceleração constante, lançando um projétil diretamente para cima e medindo a altura máxima alcançada. Este laboratório verificará que a altura máxima atingida é consistente com as equações cinemáticas derivadas abaixo.

O movimento em 2 dimensões será demonstrado lançando a bola em um ângulo φ. Usando as equações cinemáticas abaixo, pode-se prever a distância até onde o projétil pousará com base na velocidade inicial, tempo total e ângulo de trajetória. Isso demonstrará movimento cinemático com e com aceleração nas direções y e x,respectivamente.

Principles

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Qualquer medição da cinemática de um objeto, como posição, deslocamento e velocidade, deve ser feita com relação a algum quadro de referência. A direção xdos eixos de coordenadas corresponderá à direção horizontal, e y à vertical. A origem dos eixos de coordenadas (0, 0), será definida como a posição inicial da partícula (aqui, uma bola).

Movimento em 1 dimensão

Vamos começar considerando o movimento 1-dimensional de uma bola ao longo de algum intervalo de tempo específico t, correspondendo à posição y. Denote o tempo inicial como t0, que corresponde à posição y0. O deslocamento da bola, Δy,é definido como:

Δy = y - y0. (Equação 1)

A velocidade média da bola, v-, é o deslocamento dividido pelo tempo decorrido:

v-= (y - y0)/(t - t0) = Δx/Δt.(Equação 2)

A velocidade instantânea, v,é a velocidade em algum intervalo de tempo muito pequeno, definido como:

v = limΔt 0x/Δt). (Equação3)

A aceleração constante, a,é a mudança de velocidade dividida pelo tempo decorrido:

a = (v - v0)/(t - t0). (Equação 4)

Definir t0 = 0 para ser o tempo inicial e resolver para v na última equação para obter a velocidade em função do tempo:

v = v0 + at. (Equação 5)

Em seguida, calcule a posição y em função do tempo usando a Equação 2. y é re-rotulado como:

y = y0 + v-t. (Equação 6)

Sob aceleração constante, a velocidade aumentará a uma taxa uniforme, de modo que a velocidade média será a meio caminho entre as velocidades iniciais e finais:

v- = (v0 + v)/2. (Equação 7)

Substituir isso na Equação 6 e usar a definição de velocidade instantânea dá uma nova equação para y:

y = y0 + v0t + 1/2 a2. (Equação 8)

t é resolvido para substituir a Equação 7 na Equação 6:

t = (v - v0)/a. (Equação 9)

Substituir esse t na Equação 6 e novamente usando a definição da Equação 7 muda novamente a equação para y:

y = y0 + (v + v0)/2 (v - v0)/a = y0 + (v2 - v02)/2a. (Equação 10)

Resolução para v2 dá:

v2 = v02 + 2a(y - y0). (Equação 11)

Estas são as equações úteis que relacionam posição, velocidade, aceleração e tempo em que a é constante.

Movimento em 2 dimensions

Agora, o movimento em 2 dimensões será considerado. As equações 5, 7, 8e 11 constituem um conjunto geral de equações cinemáticas na direção y. Estes podem ser expandidos para movimento em 2 dimensões, x e y,simplesmente substituindo os componentes y por componentes x. Considere um projétil lançado com uma velocidade inicial v0em um ângulo φ em relação ao eixo x,como mostrado na Figura 1. A partir da figura, pode-sever que o componente x-direção para a velocidade inicial, vx,0, é v0cos(φ). Da mesma forma, na direção y, vy,0 = v0sin(φ).

Elesó acelera as experiências de partículas é a gravidade na direção negativa. Portanto, a velocidade na direção xé constante. A velocidade na direção yatinge um mínimo no pico da parábola, no meio do deslocamento, em t/2, onde t é o tempo total. Use as equações acima para descrever este movimento bidimensional com equações. Neste quadro de coordenadas, a origem (0,0) corresponde a (x0, y0). Começando com a direção x

x = x0 + vx,0 t + 1/2 axt2 (Equação 12)

= v0 cos (φ)t. (Equação 13)

Na direção y

y = y0 + vy,0t + 1/2 ay t2 (Equação 14)

= v0pecado(φ)t - 1/2 g t2,(Equação15)

Figure 1
Figura 1. Movimento de projétil em 2 dimensões. Um projétil é lançado com velocidade inicial v0em um ângulo φ em relação ao eixo x. Os dois componentes de velocidade são vxe vy, onde V = vx +vy.

waqui g é a aceleração gravitacional. Se for conhecido o tempo necessário para que o projétil complete seu caminho e o ângulo φ e a velocidade inicial v0sejam conhecidos, o deslocamento nas direções x e ypode ser calculado. Antes de iniciar este experimento, a velocidade do lançador, 6,3 m/s, é conhecida. Esses cálculos de deslocamento serão comparados com os resultados experimentais. Um procedimento semelhante pode ser feito em 1 dimensão, atirando o projétil diretamente para cima, com φ = 0.

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Procedure

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1. Movimento em 1 dimensão.

  1. Obtenha uma bola, um lançador com um êmbolo, dois postes, um balde, dois grampos, um cabo de bungee, e um bastão de 2 m.
  2. Conecte o lançador a um poste, com um poste de 2 metros de comprimento acima dele.
  3. Use o êmbolo para colocar a bola no lançador com tensão máxima de mola.
  4. Anguer o lançador diretamente para cima para que φ = 0.
  5. Lance a bola e use um cronômetro para medir o tempo total que a bola leva para atingir sua altura máxima. A posição inicial é onde a bola sai do lançador.
  6. Observe que a bola atinge uma altura máxima de 2 metros e pára instantâneamente quando atinge essa altura.
  7. Repita as etapas 1.5-1.6 cinco vezes e use o tempo médio para cálculos.

2. Movimento em 2 dimensões.

  1. Coloque o lançador e o outro polo com 4 m de distância, na mesma altura horizontal. Fixar o balde ao outro polo usando o grampo e o cabo de bungee(Figura 2). A altura do balde deve ser a mesma da altura em que a bola sai do lançador.
  2. Use o êmbolo para colocar a bola no lançador com tensão máxima de mola.
  3. Anguer o lançador em um ângulo de 45° para que φ = π/4.
  4. Use um cronômetro para medir o tempo total que a bola leva para pousar no balde.
  5. Tome nota da altura aproximada que a bola alcança.
  6. Repita as etapas 2.4-2.5 cinco vezes e use o tempo médio para cálculos.

Figure 2
Figura 2. Configuração experimental.

Cinemática é a descrição do movimento, que muitas vezes é uma consequência importante de muitos eventos físicos e fenômenos.

O movimento pode ser unidimensional, bidimensional ou tridimensional. As equações que se aplicam ao movimento de um objeto em todos esses casos usam as quantidades vetoriais de posição - que é o deslocamento em relação à origem, velocidade - que é a mudança de posição com o tempo, e a aceleração - que é a mudança na velocidade com o tempo.

Com essas informações, é possível calcular os caminhos dos corpos em queda livre, as trajetórias dos projéteis e as órbitas dos planetas, para dar apenas alguns exemplos.

Aqui, nos concentraremos em equações cinemáticas relacionadas com a ascensão e queda unidimensional de um objeto e o arco bidimensional de um objeto lançado em um ângulo

Antes de descrever o movimento, é necessário ter um sistema de coordenadas, ou um quadro de referência. Normalmente, o eixo x é horizontal e o eixo y é vertical. A origem é arbitrária, mas muitas vezes é o ponto de partida de um objeto.

Vamos considerar uma bola de basquete colocada na origem e jogada para cima. A posição da bola é sua distância e direção da origem e tem unidades de metros.

Velocidade média vy é a mudança de posição Δy dividida pela mudança no tempo Δt, e tem unidades de metros por segundo. No entanto, à medida que Δt se aproxima de zero, a equação de velocidade média torna-se uma para velocidade instantânea .

Na prática, pense na velocidade instantânea como a velocidade naquele instante. Assim, no início, a velocidade instantânea v0 é a velocidade de lançamento, e depois que a velocidade instantânea diminui continuamente até que seja zero no pico.

A diminuição da velocidade devido à aceleração constante proporcionada pela gravidade da Terra, que se opõe ao movimento da bola e é negativa neste sistema de coordenadas.

Em condições de aceleração constantes, as relações cinematicas levam a essas equações para a magnitude da velocidade e posição instantâneas em uma dimensão. Usando-os, podemos calcular o movimento de um objeto a qualquer momento

Vamos aplicar essas fórmulas ao exemplo do basquete. Digamos que a velocidade de lançamento do basquete, v0, é de 20 metros por segundo. Sabemos que a velocidade instantânea final da bola no pico é zero. A aceleração aqui é negativa g, uma vez que se opõe ao movimento da bola. Assim, reorganizando esta equação cinemática, podemos obter t - o tempo de ascensão, que sai para ser aproximadamente dois segundos. Agora, usando a fórmula cinemática para posição, e dizendo que a posição inicial y0 é zero, podemos conectar os valores para aceleração da velocidade de lançamento devido à gravidade e tempo de elevação, para calcular o deslocamento máximo, que é a altura máxima aqui, de aproximadamente 20,4 metros. Depois de atingir o pico, a bola cai por dois segundos com velocidade crescente até atingir o chão onde começou, fazendo com que o tempo total de voo seja de aproximadamente 4 segundos.

Para duas dimensões, os movimentos verticais e horizontais de um objeto são independentes um do outro e podem ser tratados separadamente, sendo o resultado líquido a soma vetorial. Usando essa visão, todo o arco do movimento do projétil pode ser decomposto em dois movimentos unidimensionais separados.

Vamos estudar isso usando um exemplo: um arremessador joga uma bola de beisebol com uma velocidade inicial de 20 metros/segundo em um ângulo de trinta graus do chão. O componente vertical inicial da velocidade é este tempo de velocidade seno de 30 graus, ou 10 metros/segundo. O componente horizontal inicial é o tempo de velocidade do cosseno de 30 graus, ou cerca de 17 metros/segundo.

Durante o tempo de ascensão do beisebol, a velocidade vertical é para cima com a velocidade diminuindo devido à gravidade. No pico, que é o ponto médio, a velocidade vertical é zero por um instante. Então, durante o tempo de queda, é para baixo com velocidade crescente.

Ignorando a resistência ao ar, o movimento horizontal não tem aceleração e, portanto, tem velocidade constante.

A adição vetorial de posições verticais e horizontais e velocidades verticais e horizontais produz o arco do movimento do projétil. A soma dos tempos de ascensão e queda é o tempo total de voo, que determina o alcance, ou a distância horizontal.

Agora que vimos como calcular os caminhos dos objetos em movimento, vamos testar as equações cinemáticas em uma bola lançada para cima e uma lançada em um ângulo.

Esses experimentos usam uma bola, um lançador com êmbolo, dois postes, um balde, dois grampos, e uma vara de dois metros de comprimento e um cronômetro. Note que a velocidade do lançador é de 6,3 metros por segundo. Para o primeiro experimento, que demonstra o movimento unidimensional do projétil, conecte o lançador a um poste e posicione a vara de dois metros acima dele.

Ajuste o lançador para que ele seja apontado diretamente para cima em um ângulo de zero graus da vertical. Isso corresponde a um ângulo de lançamento de 90 graus a partir da horizontal. Observe a posição vertical da ponta do lançador, onde a bola sairá, e designe-a y0. Use o êmbolo para colocar a bola no lançador com tensão máxima de mola.

Lance a bola e inicie um cronômetro no mesmo instante. Meça o tempo total para a bola retornar ao seu ponto de partida na posição vertical y0 e registo o resultado como tempo de voo. Observe que a bola atinge uma altura máxima de aproximadamente 2 metros e pára por um instante neste ponto.

Repita este procedimento cinco vezes e use o tempo total médio para cálculos posteriores.

Este segundo experimento demonstra movimento de projétil bidimensional. Configure o lançador como no primeiro experimento e coloque o outro polo a quatro metros de distância na mesma altura. Coloque o balde neste segundo poste com o grampo e ajuste o balde para que ele esteja na mesma altura que a ponta do lançador.

Conecte a vara de 2 metros no meio da configuração e posicione-a para que haja pelo menos um metro acima da altura do lançador, ou y0. Ajuste o lançador para que ele esteja em um ângulo de 45 graus a partir da vertical, que é um ângulo de lançamento de 45 graus da horizontal. Use o êmbolo para colocar a bola no lançador com tensão máxima de mola.

Agora lance a bola e inicie o cronômetro no mesmo instante. Meça o tempo total de voo para a bola pousar no balde. Observe e regisse a altura máxima que a bola alcança. Repita este experimento cinco vezes e use o tempo total médio para cálculos posteriores.

Para o experimento demonstrando movimento em uma dimensão, a velocidade inicial da bola fora do mecanismo de lançamento foi de 6,3 metros por segundo. Lembre-se, quando uma bola é lançada para cima, sua velocidade é 0 no pico. Com essa informação e a fórmula cinemática para velocidade, podemos calcular o tempo teórico de ascensão da bola para 0,64 segundos. Multiplicar isso por 2 nos dá o tempo de voo calculado. Então, usando a fórmula para posição, podemos calcular a altura máxima para 2,02 metros.

Os resultados teóricos e medidos são comparáveis, dentro de erro experimental, validando as equações cinemáticas para movimento unidimensional

Para o experimento demonstrando movimento em duas dimensões, a bola foi lançada com uma velocidade de 6,3 metros/segundo em um ângulo de 45 graus. Para calcular seu movimento de projétil, primeiro determine o x-componente da velocidade inicial-v•cosφ-e o componente y da velocidade inicial-v•sinφ. Em seguida, use a velocidade vertical inicial e aceleração para determinar o tempo para atingir a altura máxima, que sai para 0,45 segundos. Portanto, o tempo total de voo é o dobro desse valor, ou 0,9 segundos.

Para calcular o deslocamento vertical máximo, use a velocidade vertical inicial, a aceleração devido à gravidade e o tempo de elevação. Isso nos dá o deslocamento máximo teórico de 1 metro. Para calcular o deslocamento horizontal máximo, utilize a velocidade horizontal inicial e o tempo total de voo, o que resulta em deslocamento máximo x teórico de 4 metros.

Mais uma vez, a teoria concorda bem com o experimento, validando as equações cinemáticas para movimento bidimensional.

O uso de cinemática e a compreensão do movimento do projétil são importantes, e muitas vezes invisíveis, em muitas aplicações cotidianas.

Engenheiros de automóveis geralmente usam cinemática para calcular diferentes especificações do carro.

Uma delas é a distância de parada ou frenagem, que é um importante parâmetro de segurança que pode ser computado usando equações de cinemática unidimensional

Sem saber, um golfista realiza cálculos mentais usando cinemática a cada balanço do clube. Esperando por um buraco em um, o golfista balança, bate a bola e lança-a com uma certa velocidade e ângulo para voar através do campo. O caminho bidimensional ideal da bola de golfe obedece às equações que regem o movimento do projétil.

Você acabou de assistir a introdução de JoVE à cinemática e ao movimento do projétil. Agora você deve saber como usar equações cinemáticas para calcular a trajetória de um objeto se movendo em uma ou duas dimensões. Como sempre, obrigado por assistir!

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Results

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Os resultados representativos das etapas 1 e 2 do procedimento acima estão listados abaixo na Tabela 1. Esta tabela registra a altura máxima que a bola atingiu em ambas as dimensões 1 e 2, com uma velocidade inicial conhecida e tempo total de voo. O valor do deslocamento vertical máximo medido experimentalmente é comparado ao calculado usando a Equação 15, o valor que também é encontrado abaixo. A tabela também registra o deslocamento horizontal máximo da bola para o experimento bidimensional. Isso é comparado com o valor calculado da Equação 13 usando a velocidade inicial conhecida e o tempo de voo medido. Estes dois resultados combinam muito bem, o que valida as equações cinemáticas.

Tempo de voo calculado (s) Calculado y (m) Tempo médio de voo medido (s) Média Medida y (m)
1.28 2.02 1.22 2.1

Mesa 1. Resultados calculados e medidos em uma dimensão.

Tempo de voo calculado (s) Calculado y (m) Calculado x (m) Tempo médio de voo medido (s) Média Medida y (m) Média medida x (m)
0.9 1.01 4.01 1.02 1.1 4

Tabela 2. Resultados calculados e medidos em duas dimensões.

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Applications and Summary

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A cinemática é usada em uma ampla gama de aplicações. Os militares usam essas equações cinemáticas para determinar a melhor maneira de lançar balística. Para uma melhor precisão, o arrasto da resistência ao ar está incluído nas equações. Os fabricantes de carros usam cinemática para descobrir velocidades máximas e distâncias de parada. Para decolar, os aviões devem atingir uma certa velocidade antes de ficarem sem pista. Com cinemática, é possível calcular o quão rápido o piloto precisará acelerar ao decolar em um determinado aeroporto.

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Transcript

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