Waiting
Login processing...

Trial ends in Request Full Access Tell Your Colleague About Jove

A subscription to JoVE is required to view this content.
You will only be able to see the first 20 seconds.

וקטורים בכיוונים מרובים
 
Click here for the English version

וקטורים בכיוונים מרובים

Overview

מקור: ניקולס טימונס, אסנטה קוריי, PhD, המחלקה לפיזיקה ואסטרונומיה, בית הספר למדעי הפיזיקה, אוניברסיטת קליפורניה, אירווין, קליפורניה

ניסוי זה מדגים כיצד וקטורים מוסיפים ומפחיתים בכיוונים מרובים. המטרה תהיה לחשב באופן אנליטי את התוספת או החיסור של וקטורים מרובים ולאחר מכן לאשר באופן ניסיוני את החישובים.

וקטור הוא עצם בעוצמה ובכיוון. הגודל של וקטור מסומן פשוט כאורך, בעוד הכיוון מוגדר בדרך כלל על ידי הזווית שהוא עושה עם ציר x. מכיוון שכוחות הם וקטורים, הם יכולים לשמש כייצוג פיזי של וקטורים. על ידי הקמת מערכת כוחות ומציאת הכוח הנוסף ייצור שיווי משקל בין הכוחות, ניתן לאמת מערכת וקטורים באופן ניסיוני.

Principles

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

באיור 1 מוצג הווקטור Equation 21 , כמו גם את צירי x ו- yואת הזווית θ Equation 21 שעושה עם ציר x.

Figure 1

איור 1.

כדי להוסיף או להחסיר שני וקטורים, כדאי לתאר את הווקטור במונחים של רכיבי x ו- yשלו. רכיב x הוא כמות הווקטור שמצביעה בכיוון x,המיוצג מתמטית כ:

Equation 1. (משוואה 1)

רכיב ה- yמיוצג כ:

Equation 2. (משוואה 2)

הגודל של Equation 21 מוגדר להיות:

Equation 3. (משוואה 3)

כדי להוסיף או להחסיר שני וקטורים, פשוט שברו את הווקטורים לרכיבי x ו- yשלהם ולאחר מכן הוסיפו או חיסרו, בהתאמה, את הרכיבים המתאימים.

לדוגמה, אם Equation 4 וקטור וקטור Equation 5 , אז התוספת של שני הווקטורים Equation 6 .

כדי לקבוע את הזווית ש-θ וקטור יוצר ביחס לציר x,השתמש במשוואה הבאה:

Equation 7. (משוואה 4)

מכיוון שלווקטורים יש גם גודל וגם כיוון, הכפלת שני וקטורים אינה פשוטה כמו הכפלת שני מספרים. ישנן שתי דרכים להכפיל וקטורים: מכפלת הנקודות והמכפלה הצולבת. ניתן לכתוב את מוצר הנקודה Equation 8 כ- או Equation 9 כאן, הזווית בין שני הווקטורים. לתוצאה יש רק סדר גודל, ולא כיוון. יישום של מכפלת הנקודות בפיזיקה הוא עבודה (W), שבה העבודה מוגדרת ככוח כפול מרחק Equation 10 ניתן לכתוב את המכפלה הצולבת של שני וקטורים כמו Equation 11 אמנם דומה למכפלת הנקודה, והמכפלה הצולבת מכילה את המונח Equation 12 , המוגדר כווקטור עם גודל 1 המאונך לשני הווקטורים Equation 21 ו Equation 22 . התוצאה של המכפלה הצולבת היא וקטור. דוגמה אחת של המכפלה הצולבת בפיזיקה היא מומנט Equation 13 , שהוא תוצאה של כוח כפול רדיוס Equation 14

וקטורים שימושיים בפיזיקה מכיוון שכוחות כמו כוח המשיכה או החיכוך יכולים להיות מיוצגים כווקטורים. במעבדה זו, כוח הכבידה משמש להדגמת האופי הווקטורי של הכוחות וכיצד כוחות אלה מוסיפים בכיוונים מרובים. כוח הכבידה על פני כדור הארץ כתוב כ:

Equation 15,(משוואה 5)

Equation 16היכן מסת העצם, בעוד Equation 17 האצת הכבידה ליד פני כדור הארץ (9.8 מ'/ש'2).

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Procedure

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

1. כוחות איזון.

  1. על שולחן הכוח, הגדר שתי גלגלות עם אותה מסה הפונה לכיוונים מנוגדים (הבדל של 180° בזווית).
  2. הכוח של כל אחד מהם יהיה שווה Equation 18 ל. בדוק אם שני הכוחות שווים ומנוגדים על ידי בחינת הטבעת במרכז שולחן הכוח, אשר לא צריך לזוז.
  3. שים לב שאם מרכיבי הווקטורים המשויכים לכוחות אלה מתווספים, לווקטור התוצאה יהיה אפס סדר גודל. כך ניתן לקבוע שכל הכוחות נמצאים בשיווי משקל.

2. חישובים אנליטיים.

  1. מעבדה זו תורכב משלושה כוחות בשיווי משקל. שני כוחות יהיו ידועים, בעוד השלישי יימצא אנליטי ראשון, באמצעות התיאוריה של וקטורים, ולאחר מכן באופן ניסיוני. עבור מעבדה זו, לשמור Equation 21 על 0° למשך הזמן.
  2. שים לב שאם Equation 21 Equation 22 ידועים Equation 23 ו, כאשר נוסף למערכת, גורם שני הכוחות להיות בשיווי משקל, אז Equation 23 הוא בסדר גודל שווה אבל בכיוון ההפוך לסכום ( + Equation 21 Equation 22 ).
  3. חישוב הגודל של Equation 21 Equation 22 ו. השתמש בעובדה Equation 18 ש- 1 ניוטון (N) היא יחידת כוח השווה ל Equation 19 - .
  4. באמצעות התיאוריה של וקטורים, לחשב מה סדר הגודל Equation 23 יהיה אם זה היה הסכום ( + Equation 21 Equation 22 ).
  5. באמצעות התיאוריה של וקטורים, לחשב איזו זווית Equation 23 תהיה אם זה היה הסכום ( + Equation 21 Equation 22 ).

3. ניסוי.

  1. לאחר הערכים בשורה הראשונה של טבלה 1 עבור Equation 21 Equation 22 ו, הגדר את שני הכוחות בטבלת הכוח. זכור לשמור Equation 21 על 0°.
  2. הגדר את הכוח השלישי, Equation 23 , על ידי הוספת משקולות ושינוי הזווית עד שיווי המשקל הוא הגיע. רשום ערכים אלה בטבלה 2.
  3. חזור על שלב 3.2 עבור כל אחד מארבעת המקרים.
  4. קבע את ההבדל באחוזים מהתוצאה האנליטית על-ידי חישוב Equation 20 . השלם טבלה 2 עם ערכים מחושבים אלה.

וקטורים הם כמויות עם סקלרים בגודל וגם בכוון, שיש להם רק גודל וסימן.

כוח, תאוצה ומהירות הם דוגמאות לווקטורים. בעוד מסה, אנרגיה וזמן, הם דוגמאות של סקלרים.

וקטור מיוצג בדרך כלל על-ידי חץ. אורך החץ תואם את גודלו והזווית מציינת כיוון.

וידאו זה יציג מערכת של כוחות שניתן לנתח עם חיבור וחיסור וקטור, ולהדגים כיצד פעולות כאלה לייצר תוצאות חשובות להבנת כמה תופעות פיזיות.

תיאור וקטור דורש מערכת קואורדינטות. במסגרת ההתייחסות שנבחרה זו, לדוגמה זו של כדור שנבעט לאוויר יש וקטור מהירות התחלתי. כפי שהוסבר קודם לכן, אורך החץ מייצג את גודל המהירות. והכיוון של הווקטור הוא הזווית שלו מהקרקע.

כל וקטור יכול להיות מפורק לרכיבים, שהם וקטורים עצמם לאורך x- ו y-צירים. אם המהירות ההתחלתית של הכדור היא 20 מטר לשנייה ב-60 מעלות, הרכיב האופקי הוא מהירות כפול קוסינוס של 60 מעלות ויש לו גודל של 10 מטר לשנייה. הרכיב האנכי הוא מהירות כפול סינוס של 60 מעלות ויש לו גודל של כ 17.3 מטר לשנייה.

תוספת וקטורית של רכיבים אופקיים ואנכיים משחזרת את וקטור המהירות המקורי. כדי להוסיף וקטורים, דמיינו את הנחת ראשו של אחד לזנבו של השני. בדוגמה זו הווקטורים הם בזווית ישרה. התוצאה של הסכום נעה ישירות מזנבו של הראשון לראש השני.

רכיבים אלה נמצאים בזווית ישרה, כך שגודל הסכום ניתן על ידי משפט פיתגורס. הזווית היא הארק-טנגנס של הרכיב האנכי חלקי הרכיב האופקי.

בעת הוספת שני וקטורים שאינם מאונכים, יש לפרק כל אחד מהם לרכיבי x ו- y ולאחר מכן להוסיף רכיבים מתאימים. לבסוף, חשב את הסכום הווקטורי של רכיבים אופקיים ואנכיים כפי שהוסבר קודם. חיסור וקטור אחד מהשני שקול לשולל את הווקטור השני ולהוסיף אותו לווקטור הראשון. כמו קודם, יש לפרק כל וקטור לרכיבי x ו-y. לאחר מכן הפחת את רכיב ה- x הקטן יותר מהרכיב הגדול יותר ונעשה את אותו הדבר עבור רכיבי y. לאחר מכן, כמו קודם, לחשב את הסכום הווקטורי של x ו- y-רכיבים וכתוצאה מכך.

כדי להדגים את התוספת והחיסור של וקטורים במעבדת פיזיקה, הציוד הנפוץ הוא שולחן כוח. זהו דיסק עם זוויות המסומנות סביב ההיקף, טבעת במרכז המחוברת לכבלים עם מסות בקצה השני תלויות על ידי גלגלות. ההמונים מייצרים כוחות, שהם הווקטורים שיש לחקור. הכוח לאורך כל כבל שווה לכוח הכבידה, או מ"ג, עם יחידות של ניוטון.

עכשיו, במערך הזה, אם יש רק שתי מסות שוות ב-180 מעלות אחת מהשנייה, אז הן מייצרות כוחות עם סכום וקטורי של אפס. מצב זה נקרא שיווי משקל, אשר גורם אפס תאוצה ולכן הטבעת לא זזה.

אבל אם שני הכוחות ששולפים את הטבעת לא יבטלו אחד את השני, למשל בגלל שינוי בזווית, אז הכוח נטו שאינו אפס יגרום לטבעת לזוז. במקרים כאלה, אם אנו יודעים את סדרי הגודל והכיוונים של כוחות אלה, אז אנחנו יכולים להשתמש בתוספת וחיסור וקטור כדי לחשב את הכוח השלישי הדרוש כדי ליצור מחדש שיווי משקל.

בסעיף הבא נראה כיצד לערוך ניסויים כאלה בטבלת הכוח שבוחנים את העקרונות התיאורטיים של חיבור וחיסור וקטוריים

אם שני הכוחות שווים ומנוגדים, הטבעת במרכז השולחן לא צריכה לזוז. במקרה זה, כל וקטור כוח מתנגד בדיוק לשני בעוצמה ובכיוון. הסכום הווקטורי יש אפס גודל, שהוא התנאי של אפס כוח נטו, או שיווי משקל.

כדי לאמת את העקרונות של חיבור וחיסור וקטורים, הגדר את המסות והזוויות עבור כוחות A ו- B כפי שצוין בשורה הראשונה של טבלה זו. שמור את הזווית עבור A באפס מעלות. עכשיו, להגדיר את הכוח השלישי על ידי הוספת מסות ושינוי הזווית עד הטבעת לא זזה.

לאחר השגת שיווי משקל, לחשב את הכוח של C על ידי הכפלת המסה שלה על ידי התאוצה בשל כוח המשיכה. כמו כן, הקלט את הגודל והזווית עבור כוח C.

חזור על בדיקה זו עבור שלושת המקרים השונים ורשום את הגודל והזווית של כוח C בכל פעם.

עבור ארבעת ההקמות הניסיוניות, טבלה זו מציגה את סדרי הגודל המחושב של כוחות A ו- B, וזוויות של B ביחס ל- A. באמצעות ההקמה הראשונה כדוגמה, אנו יכולים לחשב את כוח C הדרוש ליצירת שיווי משקל על השולחן.

כאן כוח A יש סדר גודל של 0.98 ניוטון ב 0°. כוח B יש את אותו גודל של 0.98 ניוטון אבל זווית של 20°. כדי לקבוע את הווקטור עבור C, הפירוק מאלץ את A ו- B לרכיבי x ו- yשלהם. כוח הערה A מכוון רק לאורך ציר ה- x ואינו כולל רכיב y. לאחר מכן הוסיפו את הרכיבים כדי להניב את הווקטורים x ו- y, שהם הסכום של וקטורים A ו- B.

כדי להשיג שיווי משקל, רכיבי x ו- y של C חייבים להיות ההפך מווקטורים אלה. כדי להשיג את וקטור C, להזיז את הזנב של רכיב y שלה לראש של רכיב x. לאחר מכן הוסיפו את שני הווקטורים באמצעות משפט פיתגורס כדי למצוא את הגודל של וקטור C. והזווית עבור C היא הארק-טנגנס של הרכיב האנכי חלקי הרכיב האופקי. לכן, הגודל המחושב של C מתברר להיות 1.93 ניוטון בזווית של 10° ביחס לציר x.

עכשיו במהלך הניסוי, אנו מחשבים C באמצעות תצפית וניסוי וטעייה, על ידי התאמת המשקולות והזוויות כדי למנוע את התנועה של הטבעת על שולחן הכוח.

וטבלה זו מראה שתוצאות ניסיוניות ומחושבות הן בסדר גודל והן בזווית תואמות באופן הדוק עבור כל ארבע ההגדרות. הסכם זה מאמת את ייצוג הכוחות וכןקטורים. ניתן לייחס את ההבדל למגבלות בדיוק המשקולות, דיוק המדידה של הזווית וכוחות בלתי מוסברים הנגרמים על ידי חיכוך על שולחן הכוח ועם גלגלות.

חיבור וחיסור וקטורים משמשים הן ביישומים פשוטים והן ביישומים מורכבים. בואו נסתכל על כמה מהם.

כאשר מטיילים בעיר כמו ניו יורק, המרחק נמדד בדרך כלל בבלוקים, והכיוונים הם צפון, דרום, מזרח ומערב.

אדם שהולך ארבעה רחובות מזרחה ושלושה רחובות צפונה עובר שינוי במיקום, שהוא כמות וקטורית. לכן, על ידי החלת המשוואות עבור תוספת וקטורית, ניתן לחשב את הגודל והכיוון של הווקטור בין נקודות ההתחלה והסיום של ההליכה.

מהליכה לטיסה: טייס מבצע כל הזמן חיבור וקטור מנטלי וחיסור לתמרון המטוס. על ידי שימוש במדפים ובאיילרון של הכנפיים, טייס יכול להתאים את המעלית כנגד כוח המשיכה. אם המעלית גדולה מכוח הכבידה, המישור עולה. אם המעלית היא פחות מכוח הכבידה, היא יורדת.

באופן דומה, טייס משתמש במנועים כדי לכוונן את הדחף מפני גרירה. אם הדחף גדול יותר מגרירה, המישור מאיץ. אם הדחף הוא פחות מגרירה, הוא מואט.

כאשר הסכום של ארבעת הכוחות האלה שווה לאפס, המטוס נמצא בשיווי משקל ומפליג במהירות ובגובה קבועים.

הרגע צפיתם בהקדמה של ג'וב לווקטורים. עכשיו אתה צריך לדעת איך להוסיף ולהחסיר וקטורים, ולהבין איך כמויות פיזיות מסוימות מתנהגות כמו וקטורים. תודה שצפיתם!

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Results

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

תוצאות המעבדה מוצגות בטבלה 1 ובטבלה 2.

טבלה 1. ההתקנה.

ההתקנה # A B
מסה פינה מסה פינה
1 100 0 100 20
2 100 0 150 40
3 200 0 150 60
4 200 0 250 80

טבלה 2. תוצאות אנליטיות.

ההתקנה # גודל Equation 21
(נ)
גודל Equation 22
(נ)
פינה Equation 22
(°)
גודל Equation 23
(נ)
פינה Equation 23
(°)
1 0.98 0.98 20 1.93 10
2 0.98 1.47 40 2.31 24
3 1.96 1.47 60 2.98 25
4 1.96 2.45 80 3.39 45

טבלה 3. תוצאות ניסוי.

ההתקנה # סדר גודל ניסיוני Equation 23
(נ)
סדר גודל אנליטי Equation 23
(נ)
הבדל
(%)
זווית ניסיונית Equation 23
(°)
זווית אנליטית
Equation 23
(°)
הבדל
(%)
1 2.1 1.93 9 11 10 10
2 2.2 2.31 5 26 24 8
3 2.8 2.98 6 28 25 12
4 3.5 3.39 3 43 45 5

תוצאות הניסוי עולות בהסכמה עם החישובים האנליטיים. ניתן לחשב את הסכום של שני וקטורים ואת הזווית ביניהם באמצעות משוואות 1-5. המשוואות תקפות לביצוע חישובים של וקטורים פיזיים, כגון כוח.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Applications and Summary

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

שחקן חוץ בבייסבול צריך להבין וקטורים כדי לתפוס כדור בתנועה. אם שחקן החוץ רק ידע את מהירות הכדור, הוא היה רץ למגרש השמאלי במקום ימינה ומפספס את הכדור. אם הוא רק היה יודע את כיוון הפגיעה, הוא היה יכול להסתער פנימה, רק כדי לראות את הכדור מפליג מעל ראשו. אם הוא מבין וקטורים, אז ברגע שהכדור נפגע, הוא יכול לשקול גם את הגודל וגם את הכיוון כדי להעריך איפה הכדור הולך להיות כשהוא תופס.

כאשר מטוס נמצא בשמיים, המהירות והכיוון שלו יכולים להיכתב כווקטור. כאשר יש רוח כבדה, וקטור הרוח מוסיף לווקטור של המישור כדי לתת את וקטור המערכת המתקבל. לדוגמה, אם מטוס טס לתוך הרוח, הגודל של הווקטור המתקבל יהיה קטן מהגודל ההתחלתי. זה מתאים למטוס נע לאט יותר כאשר הוא פונה אל הרוח, וזה הגיוני אינטואיטיבית.

כאשר שני עצמים מתנגשים ונדבקים זה בזה, ניתן להעריך את התנע הסופי שלהם (וקטור) כסכום של שני וקטורי התנע ההתחלתיים. זהו פישוט, כמו בעולם האמיתי, לשני עצמים מתנגשים יש גורמים נוספים לשקול, כמו חום או עיוות מההתנגשות. מומנטום הוא רק המסה של עצם כפול המהירות שלו. אם שני מחליקים על קרח נעים בכיוונים שונים ובמהירויות שונות מתנגשים ונאחזים זה בזה, ניתן להעריך את הכיוון והמהירות הסופיים שלהם בהתבסס על הרכיבים הווקטוריים הראשוניים שלהם.

בניסוי זה, האופי הווקטורי של הכוחות נבדק ונמדד. וקטורים נוספו יחד, והגודל והכיוון הנובעים מכך נקבעו הן מבחינה אנליטית והן מבחינה ניסיונית.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Transcript

Please note that all translations are automatically generated.

Click here for the English version.

Get cutting-edge science videos from JoVE sent straight to your inbox every month.

Waiting X
Simple Hit Counter