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여러 방향의 벡터

Overview

출처: 니콜라스 티몬스, 아산타 쿠레이, 박사, 물리학 및 천문학학과, 물리 과학 학교, 캘리포니아 대학, 어바인, 캘리포니아

이 실험에서는 벡터가 여러 방향으로 추가하고 빼는 방법을 보여 줍니다. 목표는 여러 벡터의 추가 또는 뺄셈을 과질적으로 계산한 다음 실험적으로 계산을 확인하는 것입니다.

벡터는 크기와 방향을 모두 갖춘 개체입니다. 벡터의 크기는 단순히 길이로 표시되며 방향은 일반적으로 x-축으로만드는 각도로 정의됩니다. 힘은 벡터이므로 벡터의 물리적 표현으로 사용할 수 있습니다. 병력 시스템을 설정하고 힘 사이의 평형을 생성할 추가 병력을 찾아서 벡터 시스템을 실험적으로 검증할 수 있습니다.

Principles

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도 1에서 Equation 21 벡터뿐만 아니라 x-축 Equation 21 x-축으로만드는 각도 θ를 나타낸다.

Figure 1

그림 1.

두 개의 벡터를 추가하거나 빼려면 x 및 y-구성요소 측면에서 벡터를 설명하는 것이 유용합니다. x-구성요소는 수학적으로 다음과 같이 표현되는 x-방향으로가리키는 벡터의 양입니다.

Equation 1. (방정식 1)

y-구성요소는 다음과 같이 표시됩니다.

Equation 2. (방정식 2)

크기는 Equation 21 다음과 같이 정의됩니다.

Equation 3. (방정식 3)

두 개의 벡터를 추가하거나 빼려면 벡터를 x 및 y-구성요소로 나누기만 한 다음 해당 구성 요소를 각각 추가하거나 빼기만 하면 됩니다.

예를 들어 벡터 및 벡터인 경우 Equation 4Equation 5 벡터를 Equation 6 추가합니다.

벡터가 x 축과관련하여 만드는 각도 θ를 확인하려면 다음 방정식을 사용합니다.

Equation 7. (방정식 4)

벡터의 크기와 방향이 모두 있기 때문에 두 벡터를 곱하는 것은 두 숫자를 곱하는 것만큼 간단하지 않습니다. 벡터를 곱하는 방법에는 점 제품및 교차 제품이라는 두 가지 방법이 있습니다. 점 생성물은 또는 여기로 기록될 수 Equation 8 Equation 9 있으며, θ는 두 벡터 사이의 각도이다. 결과는 방향이 아니라 크기만 을 가지고 있습니다. 물리학에서 도트 생성물의 응용은 작업이 힘 시간거리로 정의되는 작업(W)이며, 여기서 두 Equation 10 벡터의 교차 생성물은 Equation 11 도트 생성물과 유사하지만, 크로스 제품은 Equation 12 두 벡터에 수직인 크기 1을 가진 벡터로 정의된 용어를 포함하고 Equation 21 Equation 22 있다. 교차 제품의 결과는 벡터입니다. 물리학에서 교차 제품의 한 예는 Equation 13 반경 힘 시간의 결과입니다 토크입니다 Equation 14

벡터는 중력이나 마찰과 같은 힘이 벡터로 표현될 수 있기 때문에 물리학에 유용합니다. 이 실험실에서 중력의 힘은 힘의 벡터 특성과 그 힘이 여러 방향으로 추가하는 방법을 시연하는 데 사용됩니다. 지구 표면의 중력은 다음과 같이 기록됩니다.

Equation 15, (수학식 5)

Equation 16물체의 질량은 어디에, Equation 17 지구 표면 근처의 중력의 가속은 (9.8 m/s2)이다.

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Procedure

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1. 밸런스 힘.

  1. 힘 테이블에는 반대 방향으로 향하는 동일한 질량으로 두 개의 풀리를 설정합니다(각도의 180° 차이).
  2. 각 힘의 힘은 와 Equation 18 같습니다. 이동해서는 안 되는 힘 테이블중앙의 링을 검사하여 두 힘이 동등하고 반대인지 확인합니다.
  3. 이러한 힘과 연관된 벡터의 구성 요소가 추가되면 결과 벡터의 크기가 0입니다. 이것은 모든 힘이 평형에 있는지 확인하는 방법입니다.

2. 분석 계산.

  1. 이 실험실은 평형의 세 가지 힘으로 구성됩니다. 두 개의 힘이 알려지지만, 세 번째 힘은 벡터 이론을 사용하여 먼저 의도적으로 발견된 다음 실험적으로 발견될 것입니다. 이 랩의 경우 Equation 21 기간 동안 0°로 유지하십시오.
  2. 알고 있는 경우 Equation 21 Equation 22 시스템에 Equation 23 추가될 때 두 힘이 평형에 있는 경우, 그 다음 Equation 23 크기는 동일하지만 합계(+)와 반대 방향으로 발생합니다. Equation 21 Equation 22
  3. 및 의 크기를 Equation 21 Equation 22 계산합니다. Equation 18 1 뉴턴(N)이 와 동일한 힘의 단위라는 사실을 Equation 19 사용하십시오.
  4. 벡터 이론을 사용하여 Equation 23 합계(+)인 경우 크기를 Equation 21 Equation 22 계산합니다.
  5. 벡터 이론을 사용하여 Equation 23 합계(+)인 경우 각도를 Equation 21 Equation 22 계산합니다.

3. 실험.

  1. 표 1의 첫 번째 줄에 있는 값을 따라 Equation 21 힘 테이블에 두 힘을 Equation 22 설정합니다. 0°에서 유지해야 Equation 21 합니다.
  2. 세 번째 힘을 Equation 23 설정, 무게를 추가하고 평형에 도달 할 때까지 각도를 변경하여. 표 2에서이러한 값을 기록합니다.
  3. 네 가지 경우 각각에 대해 3.2 단계를 반복합니다.
  4. 를 계산하여 분석 결과와 백분율 차이를 Equation 20 결정합니다. 이러한 계산된 값으로 표 2를 완료합니다.

벡터는 크기와 방향과 달리 크기와 기호만 있는 수량입니다.

힘, 가속 및 속도는 벡터의 예입니다. 질량, 에너지 및 시간은 스칼라의 예입니다.

벡터는 일반적으로 화살표로 표시됩니다. 화살표의 길이는 크기에 해당하며 각도는 방향을 나타냅니다.

이 비디오는 벡터 추가 및 뺄셈으로 분석할 수 있는 힘 시스템을 보여주고, 이러한 작업이 여러 물리적 현상을 이해하는 데 중요한 결과를 생성하는 방법을 보여줍니다.

벡터를 설명하려면 좌표 시스템이 필요합니다. 이 선택한 참조 프레임 내에서 공중으로 발로 차는 볼의 이 예제에는 초기 속도 벡터가 있습니다. 앞에서 설명한 바와 같이 화살표의 길이는 속도의 크기를 나타냅니다. 그리고 벡터의 방향은 지면에서 각도입니다.

모든 벡터는 x 축 및 y 축을 따라 벡터 자체인 구성 요소로분해될 수 있습니다. 공의 초기 속도가 60도에서 초당 20미터인 경우, 수평 구성 요소는 60도의 속도 시간 코스신이며 초당 10미터의 진도를 가지고 있습니다. 수직 구성 요소는 60도의 속도 시간 죄이며 초당 약 17.3 미터의 진도를 가지고 있습니다.

수평 및 수직 구성 요소의 벡터 추가는 원래 속도 벡터를 재구성합니다. 벡터를 추가하려면 한 쪽 머리를 다른 쪽 의 꼬리에 배치한다고 상상해 보십시오. 이 예제에서는 벡터가 직각에 있을 수 있습니다. 합계는 첫 번째 꼬리에서 두 번째 머리로 직접 여행할 때 발생합니다.

이러한 구성 요소는 직각에 있으므로 합계의 크기는 피타고라스 정리에 의해 제공됩니다. 각도는 수평 구성 요소로 분할된 수직 구성 요소의 호선젠트입니다.

수직이 아닌 두 개의 벡터를 추가할 때 각각 을 x 및 y 구성 요소로 분해한 다음 해당 구성요소를 추가합니다. 마지막으로 앞에서 설명한 대로 수평 및 수직 구성 요소의 벡터 합계를 계산합니다. 한 벡터를 다른 벡터에서 빼는 것은 두 번째 벡터를 부정하고 첫 번째 벡터에 추가하는 것과 같습니다. 이전과 마찬가지로 각 벡터를 x 및 y 구성 요소로 분해합니다. 그런 다음 더 큰 x 구성 요소에서 더 작은 x 구성 요소를 빼고 y 구성 요소에 대해 동일한 작업을 수행합니다. 그런 다음 이전과 마찬가지로 생성된 x 및 y-구성 요소의 벡터 합계를 계산합니다.

물리 실험실에서 벡터의 추가 및 뺄셈을 입증하기 위해 일반적으로 사용되는 장비는 힘 테이블입니다. 이것은 둘레에 각도가 표시된 디스크이며, 다른 쪽 끝에는 풀리가 매달려 있는 대지에 질량이 부착된 가운데링입니다. 질량은 연구할 벡터인 힘을 생산합니다. 각 코드를 따라 힘은 중력력, 또는 mg과동일하며 뉴턴 의 단위와 같습니다.

이제 이 설정에서 서로 180도에서 두 개의 동일한 질량이 있는 경우 벡터 합계가 0인 힘을 생성합니다. 이 조건은 평형이라고불리며, 이는 0 가속을 초래하므로 링이 움직이지 않습니다.

그러나 링을 당기는 두 힘이 각도 변경으로 인해 서로 취소되지 않으면 0이 아닌 순 힘이 링이 이동하게 됩니다. 이러한 경우 이러한 힘의 크기와 방향을 알고 있다면 벡터 추가 및 뺄셈을 사용하여 평형을 다시 설정하는 데 필요한 세 번째 힘을 계산할 수 있습니다.

다음 섹션에서는 벡터 추가 및 뺄셈의 이론적 원리를 테스트하는 힘 테이블 실험을 수행하는 방법을 보여 드리겠습니다.

두 힘이 같고 반대인 경우 테이블 중앙의 링이 이동해서는 안 됩니다. 이 경우 각 힘 벡터는 크기와 방향으로 상대방을 정확히 반대합니다. 벡터 합계의 크기는 0이며, 이는 순 력이 0또는 평형입니다.

벡터 추가 및 뺄셈의 원리를 검증하려면 이 테이블의 첫 번째 줄에 표시된 대로 힘 A및 B의 질량과 각도를 설정합니다. A의 각도를 0도유지합니다. 이제 질량을 추가하고 링이 움직이지 않을 때까지 각도를 변경하여 세 번째 힘을 설정합니다.

평형을 달성한 후 중력으로 인한 가속도에 질량을 곱하여 C의 힘을 계산합니다. 또한 힘 C의크기와 각도를 기록합니다.

세 가지 다른 경우에 대해 이 테스트를 반복하고 매번 힘의 크기와 각도를 기록합니다.

4개의 실험셋업의 경우, 이 표는 A와 B의 계산된 크기와 A. A. 첫 번째 설정을 예로 사용하여, 우리는 테이블에 평형을 설정하는 데 필요한 힘 C를 계산할 수 있다.

여기서 힘 A의 크기는 0°에서 0.98 뉴턴. 포스 B의 크기는 0.98 뉴턴이지만 각도는 20°입니다. C의 벡터를 결정하기 위해 A와 B를 x 및 y-구성 요소로 분해합니다. 참고 힘 A는 x 축을 따라만 지시되며 y 구성 요소가 없습니다. 그런 다음 구성 요소를 추가하여 A 및 B 벡터의 합계인 x 및 y-벡터를 생성합니다.

평형을 달성하기 위해 C의 x 및 y 구성 요소는 이러한 벡터와 반대여야 합니다. 벡터 C를얻으려면 y-성분의 꼬리를 x-성분의 머리로 이동합니다. 그런 다음 피타고라스 정리를 사용하여 두 벡터를 추가하여 벡터 C의 크기를 찾습니다. 그리고 C의 각도는 수평 성분으로 나눈 수직 성분의 호탄젠트이다. 따라서, C의 계산된 크기는 x축에 대하여 10°의 각도에서 1.93 뉴턴으로 판명됩니다.

이제 실험 중에 힘 테이블에 있는 링의 움직임을 방지하기 위해 중량과 각도를 조정하여 관찰 및 시행 착오를 통해 C를 계산합니다.

이 표는 크기와 각도 모두에 대한 실험적이고 계산된 결과가 네 가지 설정 모두에 대해 밀접하게 일치한다는 것을 보여줍니다. 이 계약은 힘을 벡터로 나타내는지 확인합니다. 차이점은 중량의 정확도, 힘 테이블및 풀리의 마찰로 인한 각도 및 미회계 력의 측정 정확도에 대한 제한에 기인할 수 있습니다.

벡터 추가 및 빼기는 간단하고 복잡한 응용 프로그램 모두에서 사용됩니다. 그들 중 일부를 살펴 보자.

뉴욕과 같은 도시를 여행 할 때 거리는 일반적으로 블록단위로 측정되며 방향은 북쪽, 남쪽, 동쪽 및 서쪽입니다.

동쪽과 북쪽3블록을 걷는 사람이 벡터 수량인 위치의 변화를 겪는다. 따라서 벡터 추가를 위한 방정식을 적용하여 걷기의 시작점과 끝점 사이의 벡터의 크기와 방향을 계산할 수 있다.

걷기에서 비행까지 : 조종사는 지속적으로 정신 벡터 추가 및 뺄셈을 수행하여 비행기를 조종합니다. 날개의 플랩과 에일러론을 사용하여 조종사는 중력에 대한 리프트를 조정할 수 있습니다. 리프트가 중력보다 크면 비행기가 올라간다. 리프트가 중력보다 적으면 하강합니다.

마찬가지로 파일럿은 엔진을 사용하여 드래그에 대한 추력을 조정합니다. 추력이 드래그보다 크면 평면이 가속됩니다. 추력이 드래그보다 적으면 감속됩니다.

이 네 개의 힘의 합이 0과 같을 때, 비행기는 평형에 있으며 일정한 속도와 고도에서 크루즈를 합니다.

당신은 벡터에 대한 JoVE의 소개를 보았다. 이제 벡터를 추가하고 빼는 방법을 알고 특정 물리적 수량이 벡터로 어떻게 행동하는지 이해해야 합니다. 시청해 주셔서 감사합니다!

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Results

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랩의 결과는 표 1과 표 2에표시됩니다.

표 1. 설치.

설치 # A B
미사 미사
1 100 0 100 20
2 100 0 150 40
3 200 0 150 60
4 200 0 250 80

표 2. 분석 결과.

설치 # 크기 Equation 21
(N)
크기 Equation 22
(N)
Equation 22
(°)
크기 Equation 23
(N)
Equation 23
(°)
1 0.98 0.98 20 1.93 10
2 0.98 1.47 40 2.31 24
3 1.96 1.47 60 2.98 25
4 1.96 2.45 80 3.39 45

표 3. 실험 결과.

설치 # 실험 적 크기 Equation 23
(N)
분석 크기 Equation 23
(N)
다름
(%)
실험적 각도 Equation 23
(°)
분석 각도
Equation 23
(°)
다름
(%)
1 2.1 1.93 9 11 10 10
2 2.2 2.31 5 26 24 8
3 2.8 2.98 6 28 25 12
4 3.5 3.39 3 43 45 5

실험 결과는 분석 계산과 일치합니다. 두 벡터의 합계와 둘 사이의 각도는 방정식 1-5를사용하여 계산할 수 있습니다. 방정식은 힘과 같은 물리적 벡터를 계산하는 데 유효합니다.

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Applications and Summary

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야구의 외야수는 이동 중공을 잡기 위해 벡터를 이해해야 합니다. 외야수가 공의 속도만 알고 있다면, 그는 오른쪽이 아닌 왼쪽 필드로 달려가 공을 놓칠 수 있습니다. 그는 단지 히트의 방향을 알고 있다면, 그는 단지 그의 머리 를 통해 항해 공을 보고, 충전 할 수 있습니다. 그가 벡터를 이해한다면, 공이 부딪히자마자, 그는 공을 잡을 때 공이 어디에 될지 예측하기 위해 크기와 방향을 모두 고려할 수 있습니다.

비행기가 하늘에 있을 때 속도와 방향을 벡터로 기록할 수 있습니다. 바람이 부는 경우, 바람 벡터는 결과의 시스템 벡터를 제공하기 위해 평면의 벡터에 추가합니다. 예를 들어 비행기가 바람에 날아가는 경우 결과 벡터의 크기는 초기 크기보다 낮습니다. 이는 바람으로 향할 때 느리게 움직이는 평면에 해당하므로 직관적인 의미가 있습니다.

두 오브젝트가 충돌하여 함께 고정하면 최종 모멘텀(벡터)은 두 개의 초기 모멘텀 벡터의 합으로 근사할 수 있습니다. 이것은 실제 세계에서와 같이 충돌하는 두 물체가 충돌하는 경우와 같이 충돌에서 열이나 변형과 같은 추가 요소를 고려해야 합니다. 모멘텀은 속도를 곱한 물체의 질량일 뿐입니다. 서로 다른 방향으로 이동하는 얼음에 두 스케이터가 서로 충돌하고 서로 붙잡는 경우, 그들의 최종 방향과 속도는 초기 벡터 구성 요소에 따라 추정될 수 있습니다.

이 실험에서 힘의 벡터 특성을 검사하고 측정하였다. 벡터가 함께 추가되었고, 결과 크기 및 방향은 음량과 방향을 모두 실험적으로 결정하였다.

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Transcript

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