Неопределенность в измерениях: значащие цифры

Все цифры в измерении, включая последнюю недостоверную цифру, называются значащими разрядами или значащими (значимыми) цифрами. Обратите внимание, что нуль может быть измеренным значением; например, если весы показывают вес до ближайшего фунта, и считано значение “140,” то все цифры, 1 (сотни), 4 (десятки) и 0 (единицы) являются значащими (измеренными) значениями.

Результат измерения сообщён правильно, если его значащие цифры точно представляют достоверность процесса измерения. Ниже приведен набор правил для определения количества значащих цифр в измерении:

1. Все ненулевые цифры значительны. Начиная с первой ненулевой цифры слева, подсчитайте эту цифру и все остальные цифры справа. Это количество значащих цифр в измерении. Например, 843 содержит три значащих цифры, 843.12 содержит 5 значащих цифр.  
2. Нули, которые находятся между двумя ненулевыми цифрами, значащие. Например, 808.101808.101 содержит два значащих нуля и всего 6 значащих цифр.
3. Начальные нули — нули слева от первой ненулевой цифры. Ведущие цифры не являются значащими; они просто представляют позицию десятичной точки. Например, нули в начале 0.008081 – не значащие. Это число может быть выражено в экспоненциальной форме как 8.081 × 10⁻³, тогда число 8.081 содержит все значащиее цифры, а 10⁻³ определяет положение десятичной точки.
4. Значение конечных нулей, которые являются нулями в конце числа, зависит от их положения. Трейлинговые нули перед (но после ненулевой цифры) и после десятичной точки являются значащими. Однако для чисел, не имеющих десятичных точек, трейлинговые нули могут быть и значащими, и незначащими. Эту двойственность можно устранить с помощью экспоненциальной формы записи. Например, измерение 1300 может быть записано как 1.3 × 10³ (две значащие цифры), 1.30 × 10³ (три значащие цифры, если место десятки было измерено), или 1.300 × 10³ (четыре значащие цифры, если единицы также были измерены).

Значащие цифры при расчетах

Погрешности измерений можно избежать, сообщая результаты расчета с правильным количеством значащих цифр. Это можно определить по следующим правилам округления чисел:

1. При добавлении или вычитании чисел округлите результат до того же числа десятичных разрядов, что и число с наименьшим количеством десятичных разрядов.
2. При умножении или делении чисел округлить результат до того же количества цифр, что и число с наименьшим количеством значащих цифр.
3. Если цифра, которую необходимо отбросить (цифра сразу же справа от цифры, которую нужно сохранить), меньше 5, “округлите в меньшую сторону” т.е., оставьте сохраненную цифру без изменений.
4. Если цифра, которую необходимо отбросить (цифра, сразу же справа от цифры, которую необходимо сохранить), составляет 5 или более, “округлите в большую сторону” т.е., увеличьте сохраненную цифру на 1. Также можно использовать альтернативные методы округления, если отбрасываемая цифра равна 5. Сохраненная цифра округляется вверх или вниз, в зависимости от того, что дает четное значение.

Важно отметить, что округление значащих цифр желательно выполнить в конце многоэтапного расчета, чтобы избежать накопления ошибок на каждом этапе из-за округления. Таким образом, значащие цифры и округление способствуют правильному представлению достоверности измеренных значений, указанных в отчете.

Этот текст адаптирован из Openstax, Химия 2e, раздел 1.5: Погрешность измерений, аккуратность и точность.