1.11:
测量不确定度：有效数字
A subscription to JoVE is required to view this content. Sign in or start your free trial.
科学测量中的所有数字 都是确定的，除了最后一个数字。测量的确定性取决于两个因素：测量中的位数 以及所用仪器的精度。在测量的量中，所有的数字，包括最后一个不确定的数字，被称为有效数字 可以用 特定的规则来确定。任何非零数字和所有捕获零 位于两个非零数字之间 都是有效的。例如，28 有两个有效数字，26.25 有 4 个有效数字，208 有 3 个。前导零从来都不重要，它们只定位小数点。例如，0.00208 有三个有效数字。这样的量可以用指数来表示。因此，0.00208 可以写成 2.08×10⁻³。尾随零只在十进制格式 的数字中有效。2200 有两个尾随零和两个有效数字，而 2200.0 和 2200.1 都有 5 个有效数字。对于没有小数点的量，尾随零的意义变得模棱两可。因此，2200 可以写成 2.2×10³（含两个有效数字）或 2.20×10³（含三个有效数字）有效数字也有助于实现 数学运算的确定性。在加法或减法中，结果 应该四舍五入以便与 小数位数最少的测量值 具有相同的小数位数。当最后一位数字低于 5 时，应进行向下舍入，当它是 5 或以上时 应进行向上舍入。当最后一位数字是 5 时，有时还会使用其他舍入方法。例如，2.052 和 1.2 之和四舍五入为 3.3。然而，在进行乘法或除法时，结果应四舍五入，以使 其有效数字的数量 与有效数字最少的测量值相同。2.052 和 1.2 之和四舍五入为 2.5。科学家们经常重复实验 以达到测量的精确性。标准差是这种精确度的 统计表达式，用于测量 与期望值的偏差。如果精确度很高，则标准差 很小，反之亦然。例如，有两组人以厘米为单位来测量一本书的 厚度。他们发现了相同的平均值 10.6 厘米。然而，第一组的测量结果更精确，因此标准差较低。而第二组有更多分散的测量值和更高的 标准差。
1.11:
测量不确定度：有效数字
测量中的所有数字，包括不确定的最后一位数字，都称为有效数字或有效位数。 请注意，零可能是一个测量值；例如，如果显示重量最接近的磅的秤值的刻度为“ 140 ”，则 1 (百位) ， 4 (十位) 和 0 (个位) 都是有效的 (测量) 值。
当测量结果的有效位数准确地代表测量过程的确定性时，将正确报告测量结果。 下面是一组用于确定测量中有效数字数量的规则：
- 所有非零位都是有效的。 从左侧的第一个非零位开始，将该位数和所有剩余位数计入右侧。 这是测量中的有效数字数。 例如， 843 有三个有效数字， 843.12 有五个有效数字。
- 俘获零是指两个非零位之间的零。 例如， 808.101 有两个俘获零和 6 个有效数字。
- 前导零是第一个非零位左侧的零。 前导数字不重要；它们只是代表小数点的位置。 例如， 0.008081 中的前导零不重要。 该数字可以使用指数符号 8.081 × 10-3表示，然后数字 8.081 包含所有有效数字， 10-3 定位小数点。
- 尾随零 (即数字末尾的零) 的意义取决于其位置。 在小数点前 (但在非零位后) 和小数点后的尾随零非常重要。 但是，对于没有小数点的数字，尾随的零可能有意义，也可能不重要。 这种模糊性可以通过使用指数表示法来解决。 例如，测量值 1300 可以是 1.3 × 103 (两个有效数字) ， 1.30 × 103 (如果测量了十位，则为三个有效数字) 或 1.300 × 103 (如果同时测量了个位，则为四个有效数字)。
计算中的有效数字
通过使用正确数量的有效数字报告计算结果，可以避免测量中的不确定性。 这可以通过以下舍入数字的规则来确定：
- 在添加或减去数字时，将结果舍入到与小数位数最少的数字相同的小数位数。
- 当乘法或除法数字时，将结果四舍五入到与有效数字最小数字相同的位数。
- 如果要删除的数字 (要保留的数字右侧的数字) 小于 5 ，则“向下舍入”并保持保留的数字不变。
- 如果要删除的数字 (要保留的数字右侧的数字) 为 5 或更大，请“向上舍入” 并将保留的数字增加1。 如果删除的数字为 5 ，也可以使用其他舍入方法。 保留的数字向上或向下舍入，以得出偶数值为准。
一个重要的注意事项是，最好在多步计算结束时对有效数字进行舍入，以避免因舍入而导致的每个步骤的错误累积。 因此，有效数字和舍入有助于正确表示所报告的测量值的确定性。