Overflatetilordning av jordlignende eksoplaneter ved hjelp av enkeltpunktlyskurver

Summary

Protokollen trekker ut informasjon fra lyskurver av eksoplaneter og konstruerer sine overflatekart. Den bruker lyskurver av jorden, som fungerer som en proxy eksoplanet, for å demonstrere tilnærmingen.

Abstract

Romlig å løse eksoplanetfunksjoner fra enkeltpunktobservasjoner er avgjørende for å evaluere den potensielle beboeligheten til eksoplaneter. Det endelige målet med denne protokollen er å avgjøre om disse planetariske verdenene har geologiske egenskaper og/eller klimasystemer. Vi presenterer en metode for å trekke ut informasjon fra flerbølgelengde enkeltpunktslyskurver og hente overflatekart. Den bruker entall verdi nedbrytning (SVD) for å skille kilder som bidrar til lyskurve variasjoner og utlede eksistensen av delvis overskyet klimasystemer. Gjennom analyse av tidsseriene hentet fra SVD, kan fysiske tilskrivelser av hovedkomponenter (PCer) utledes uten antagelser om noen spektrale egenskaper. Ved å kombinere med visningsgeometri er det mulig å rekonstruere overflatekart hvis en av PCene finnes for å inneholde overflateinformasjon. Degeneracy stammer fra convolution av pikselgeometri og spektruminformasjon bestemmer kvaliteten på rekonstruerte overflatekart, noe som krever innføring av regularisering. For å demonstrere protokollen analyseres multibølgelengdelyskurver på jorden, som fungerer som en proxy-eksoplanet. Sammenligning mellom resultatene og grunnsannhet presenteres for å vise ytelsen og begrensningen av protokollen. Dette arbeidet gir en målestokk for fremtidig generalisering av eksoplanetapplikasjoner.

Introduction

Identifisere beboelige verdener er et av de endelige målene i astrobiologi¹. Siden den første^{deteksjonen 2}har mer enn 4000 eksoplaneter blitt bekreftet^{til dags dato 3} med en rekke jordanaloger (f.eks. TRAPPIST-1e)⁴. Disse planetene har orbitale og planetariske egenskaper som ligner på jorden, og er derfor potensielt beboelige. Evaluering av deres beboelse fra begrensede observasjoner er avgjørende i denne sammenhengen. Basert på kunnskap om livet på jorden, er geologiske og klimasystemer avgjørende for beboelse, noe som derfor kan tjene som biosignaturer. I prinsippet kan funksjonene i disse systemene observeres på avstand selv når en planet ikke kunne romlig løses bedre enn ett enkelt punkt. I dette tilfellet er identifisering av geologiske egenskaper og klimasystemer fra ettpunkts lyskurver avgjørende når man vurderer beboeligheten av eksoplaneter. Overflatekartlegging av disse eksoplanetene blir presserende.

Til tross for konveksjon mellom visning geometri og spektrale funksjoner, informasjon om en eksoplanet overflate finnes i sin tid-løst enkelt-punkts lyskurver, som kan oppnås på avstand, og avledet med tilstrekkelige observasjoner. Todimensjonal (2D) overflatekartlegging av potensielt beboelige jordlignende eksoplaneter er imidlertid utfordrende på grunn av påvirkning av skyer. Metoder for å hente 2D-kart er utviklet og testet ved hjelp av simulerte lyskurver og kjente spektra^5,6,7,8,men de har ikke blitt brukt på virkelige observasjoner. Videre, i analyser av eksoplanetobservasjoner nå og i nær fremtid, kan antagelser om karakteristiske spektra være kontroversielle når de planetariske overflatesammensetningene ikke er godt begrenset.

I dette papiret demonstrerer vi en overflatekartleggingsteknikk for jordlignende eksoplaneter. Vi bruker SVD til å evaluere og skille informasjon fra ulike kilder som finnes i lyskurver med flere bølgelengder uten antagelser om noen bestemt spektra. Kombinert med visningsgeometri presenterer vi rekonstruksjon av overflatekart ved hjelp av tidsmessig løst, men romlig innviklet overflateinformasjon. For å demonstrere denne metoden analyseres to årige flerbølgelengdeobservasjoner av jorden oppnådd av Deep Space Climate Observatory / Earth Polychromatic Imaging Camera (DSCOVR / EPIC; www.nesdis.noaa.gov/DSCOVR/spacecraft.html) . Vi bruker jorden som proxy eksoplanet for å vurdere denne metoden fordi for tiden tilgjengelige observasjoner av eksoplaneter ikke er tilstrekkelige. Vi legger ved koden med papiret som et eksempel. Den er utviklet under python 3.7 med anaconda og healpy pakker, men matematikken i protokollen kan også gjøres i andre programmeringsmiljøer (f.eks IDL eller MATLAB).

Protocol

1. Programmering oppsett

1. Definer programmeringsmiljøet for den vedlagte koden. En datamaskin med Linux-operativsystem er nødvendig, da healpy pakken ikke er tilgjengelig på Windows. Koden er ikke beregningsmessig dyrt, så en vanlig personlig datamaskin kan håndtere protokollen.
2. Følg instruksjonene (https://docs.anaconda.com/anaconda/install/linux/) for å installere Anaconda med Python 3.7 på systemet, og bruk deretter følgende kommandoer i terminalen for å konfigurere programmeringsmiljøet:
   $ conda opprette --navn myenv python = 3,7
   $ conda aktivere myenv
   $ conda installere anaconda
   $ conda installere healpy
   MERK: Disse trinnene kan ta titalls minutter, avhengig av maskinvare og Internett-hastighet. Miljønavnet 'myenv' i de to første kommandolinjene kan endres til en hvilken som helst annen streng.

2. Oppnå lyskurver med flere bølgelengder og visningsgeometri fra observasjoner

1. I visningsgeometrien, inkluderer lengdegrad og breddegrad av sub-stellar og sub-observatør poeng for hver tilsvarende tidsramme.
   Hvis du vil bruke følgende vedlagte kode, må du kontrollere at disse to filene har samme format som LightCurve.csv og Geometri.csv.
2. Kjør PlotTimeSeries.py for å visualisere dataene og kontrollere kvalitetene deres. To figurer LightCurve.png og Geometri.png vil bli opprettet (Supplerende figur 1-2). Parametere i denne og følgende plotting koder må kanskje justeres hvis det brukes på ulike observasjoner.
   $ python PlotTimeSeries.py LightCurve
   $ python PlotTimeSeries.py Geometri

3. Trekk ut overflateinformasjon fra lyskurver

1. Center tid-løst multi-bølgelengde albedo lys kurver av en eksoplanet og normalisere dem ved tilsvarende standardavvik ved hver bølgelengde. Dette resulterer i like stor betydning for hver kanal.
   
   hvor_R't,k og R_t,k er skalert og observert albedo på t-th gang trinn og k-th bølgelengde, henholdsvis; μ_k og σ_k er gjennomsnittet og standardavviket til albedo-tidsserien ved k-th bølgelengden.
   1. Kjør Normalize.py for å normalisere lyskurvene, R_t,k. Utgangen lagres i NormalizedLightCurve.csv.
      $ python Normalize.py
2. Kjør PlotTimeSeries.py for å visualisere de normaliserte lyskurvene. En figur NormalizedLightCurve.png vil bli opprettet( Supplerende figur 3).
   $ python PlotTimeSeries.py normalisertLightCurve
3. Påfør SVD på de skalerte albedo lyskurvene for å finne dominerende PCer og deres tilsvarende tidsserier.
   
   På venstre side er T og K det totale antall tidstrinn og observasjonsbølgelengder; R' er matrisen av skalerte albedo observasjoner, hvis (t, k)-th element er R'_t,k. På høyre side er kolonner med V PCer, ortonormale vektorer som definerer plassen SVD-prosjekter til; Σ er en diagonal matrise, hvis (k,k)-th element er standardavviket for skalerte lyskurver langs k-th-aksen definert av k-th-kolonnen i V; kolonner i U er den tilsvarende tidsserien for hver PC i V.
   1. Kjør SingularValueDecomposition.py for å dekomponere R'. Den resulterende U, Σ, V^T lagres i utdatafilene U.csv, SingularValue.csv og V_T.csv, henholdsvis.
      $ python SingularValueDecomposition.py
4. Bruk PlotTimeSeries.py og PlotSVD.py til å visualisere SVD-resultatet. Tre tall U.png, Sigma.png og V_T.png vil bli opprettet (Supplerende figur 4-6).
   $ python PlotTimeSeries.py U
   $ python PlotSVD.py
5. Analyser bidrag og tilsvarende tidsserier med PCer for å finne den som inneholder overflateinformasjon.
   1. Sammenlign entallsverdiene på diagonalen av Σ. En jordlignende delvis overskyet eksoplanet forventes å ha to sammenlignbare dominerende entallsverdier.
      MERK: Σ kan inneholde mindre eller mer enn to dominerende entallsverdier, som er omtalt nedenfor.
   2. Sammenlign tidsseriemønstrene til de to dominerende PCene. PCen som inneholder overflateinformasjon har en tendens til å ha mer vanlig form enn den andre. På grunn av langsgående asymmetri og gjenkomst av overflaten med små endringer i to påfølgende dager, har den tilsvarende tidsserien en tendens til å ha omtrent konstant daglig variasjon.
   3. Beregne periodicities av de to dominerende PCene ved hjelp av Lomb-Scargle periodogram^9,10 for å bekrefte valg av PC. PCen som inneholder overflateinformasjon har en tendens til å ha høyere topp tilsvarende rotasjonsperiode i effekttetthetsspekteret.
   4. Kjør Periodogram.py for å få strømspektra av tidsserien for hver PC. Strømspektraen lagres i Periodogram.csv.
      $ python Periodogram.py
   5. Kjør PlotPeriodogram.py visualisere disse periodogrammene og bekrefte valget av PC. Det opprettes en .png Periodogram (Tilleggstall 7). Den nåværende plottkoden legger til i stiplede linjer som representerer årlige, halvårlige, daglige og halvdaglige sykluser for referanse, som kanskje må endres når de brukes på andre observasjoner.
      $ python PlotPeriodogram.py
   6. Velg PC,v_j, som inneholder overflateinformasjon og tidsserier, u_j.
      
      
      der V[:,j] og U[:,j] er j-th kolonnene i V og U,henholdsvis; j er indeksen for PC utledet i trinn 3.3 som inneholder overflateinformasjon.

4. Konstruer planetoverflatekart

1. Bruk metoden Hierarchical Equal Area iso-Latitude Pixelization (HEALPix)¹¹ til å pikselere hentekartet. Den deler sfærisk overflate av en planet i piksler med samme område og jevn fordeling. Angi den ukjente verdien for p-th-pikselen som x_p.
   1. Kjør HEALPixRandom.py for å visualisere pixeliseringsmetoden. En figur HEALPixRandom.png vil bli opprettet( Supplerende figur 8). Parameteren_N-siden på linje 17 kan endres for ulike oppløsninger. Dette trinnet kan ta noen sekunder til minutter, avhengig av oppløsningen.
      $ python HEALPixRandom.py
2. Beregne vekten av p-th pikselen i observasjoner på t-th gang trinn, w_t,p, ved hjelp av visning geometri.
   
   hvor α_t,p, β_t,p er solenergi og romfartøyet senit vinkler på p-th pixel på t-th gang trinn; c_t er en normaliseringsperiode for t-th observasjon slik at summen av den totale vekten på hvert trinn er enhet.
   MERK: Geometri antas å være kjent på dette trinnet, eller kan utledes fra annen analyse, som diskuteres nedenfor.
   1. Kjør ComputeWeight.py for å beregne w_t,p. Endre verdien for_{N-siden på} linje 23 for andre oppløsninger av kartet som er hentet. Utgangen lagres som W.npz på grunn av sin størrelse.
      $ python ComputeWeight.py
3. Bruk PlotWeight.py til å visualisere disse vektene. En rekke tall, en på hvert trinn, vil bli opprettet i en mappe Vekt. Sammenslåing av dem resulterer i Supplerende Video 1, som viser hvordan vekten av hver piksel endres med tiden. Dette trinnet kan ta timer å fullføre på grunn av det store antallet visualiseringer.
   $ python PlotWeight.py
4. Kombiner geometri og observasjoner for å nå et lineært regresjonsproblem.
   
   der P er det totale antallet hentepiksler; W er vektmatrisen med w_{t t,p} som (t,p)-th-elementet; x består av x_p som p-th element, som er mengden som skal løses i dette problemet.
   Løs det lineære regresjonsproblemet med en regularisering av L-2-normen.
   
   der jeg er identitetsmatrisen og λ er regulariseringsparameteren.
   MERK: 10^-3 er en god verdi for λ når T ~ 10⁴ og P ~ 3 * 10³. De bør justeres ved å sammenligne verdiene for de to termene i den regulariserte firkantede feilen, e, som vist nedenfor.
   
   1. Kjør LinearRegression.py for å løse dette lineære regresjonsproblemet. Resultatet av x lagres i filen PixelValue.csv. Endre verdien av λ på linje 16 for ulike styrker av regularisering.
      $ python LinearRegression.py
5. Konverter x til et 2D-overflatekart i henhold til kartregelen til HEALPix.
   1. Kjør PlotMap.py å konstruere de hentede kartene ved hjelp av ulike regulariseringsparametere. Tre tall Map_-2.png, Map_-3.png og Map_-4.png vil bli opprettet med gjeldende innstilling (Supplerende figur 9). Forholdet mellom pikselindeksene og plasseringene deres på kartet er beskrevet i HEALPix-dokumentet¹¹. Dette trinnet tar titalls sekunder.
      $ python PolotMap.py

5. Estimer usikkerhet om kartet

1. Omskriv det lineære regresjonsproblemet i trinn 4.3 med den "sanne verdien" av x som z og observasjonsstøyen, ε.
   1. Anta ε å følge en gaussisk distribusjon N (0, σ²I_{[T * T]}) og estimere sin kovariance. T-P er graden av frihet av u_{j fra} observasjon når det hentet kartet er fast.
      
   2. Kombiner ligninger i trinn 4.4 og 5.1. Det resulterer i en gaussisk vektor av x.
      
   3. Beregne forventningen og kovariance matrisen av x.
      
   4. Få usikkerheten til hvert element i x som kvadratroten av det tilsvarende elementet på diagonalen av Cov[x].
      
      hvor e_p er usikkerheten om x_p; Diag[Cov[x]]_p er p-th element på diagonalen av Cov[x].
   5. Kjør Covariance.py for å beregne kovariance matrisen av x. Resultatet lagres i Covariance.npz på grunn av sin størrelse. Dette trinnet tar titalls sekunder til minutter, avhengig av størrelsen på W.
      $ python Covariance.py
2. Konverter e_p til det hentede 2D-kartet i henhold til kartregelen til HEALPix.
   1. Kjør PlotCovariance.py for å visualisere Cov[x] og kartlegge usikkerheten e_{p til} kartet som er hentet. To tall Covariance.png og usikkerhet.png vil bli opprettet (Supplerende figur 10-11).
      $ python PlotCovariance.py

Representative Results

Vi bruker multi-bølgelengde ettpunkts lyskurver på jorden for å demonstrere protokollen, og sammenligner resultatene med grunnsannhet for å evaluere kvaliteten på overflatekartlegging. Observasjon som brukes her er innhentet av DSCOVR / EPIC, som er en satellitt som ligger i nærheten av det første Lagrangian punktet (L1) mellom jorden og solen tar bilder på ti bølgelengder av den solfylte ansiktet av jorden. To år (2016 og 2017) av observasjoner brukes til denne demonstrasjonen, som er de samme som i Jiang et al. (2018)¹² og Fan et al. (2019)¹³, hvor flere detaljer om observasjonene presenteres. Et utvalg observasjon på 9:27 UTC, 2017 Februar 8 er vist i Figur 1. Bilder av jorden er integrert til enkeltpunkter for å simulere lyskurveobservasjoner oppnådd av Aliens, fjerne observatører, som ikke kunne romlig løse jorden bedre enn en piksel. Derfor genereres flerbølgelengde eksoplanetlyskurver med ~10 000 tidstrinn, som er inndata for denne protokollen.

Etter trinn 3 finner vi to dominerende PCer i lyskurvene med flere bølgelengder, og den andre PC-en (PC2) inneholder overflateinformasjon. Avledet som trinn 3.5, viser tidsserie av PC2 mer vanlig morfologi med en omtrent konstant daglig variasjon, og kraftspekteret viser sterkere dagsyklus enn den første PCen (PC1, figur 2). Derfor er et overflatekart over denne proxy-eksoplaneten konstruert etter trinn 4 (figur 3a), som består av verdien av PC2 på hver piksel. Sammenlignet med jordens grunnsannhet (figur 3b)gjenoppretter det rekonstruerte kartet alle store kontinenter, til tross for noen uenigheter på den sørlige halvkule hvor skyer delvis hindrer overflateinformasjon fra å bli observert. Usikkerhet om hver pikselverdi oppnådd i henhold til trinn 5 (Figur 3c) er i rekkefølge av 10% av det i det hentede kartet, noe som tyder på en god kvalitet på overflatekartleggingen og et positivt resultat.

Figur 1: Refleksjonsbilder av jordens solbelyste halvkule.
Observasjonene er tatt av DSCOVR/EPIC på ti bølgelengder og kl 9:27 UTC, 2017 8. Vennligst klikk her for å se en større versjon av denne figuren.

Figur 2: Tidsserier og kraftspektra av de to dominerende PCene.
(a) Tidsserie av PC1. Daglig maksimum og minimum er merket med svarte linjer. (b)Kraftspekter av PC1s tidsserier. Årlige, halvårlige, daglige og halvdagslige sykluser betegnes som svart stiplet linje. (c) og (d) er identiske med (a) og (b), men tilsvarer PC2. Dette tallet er hentet fra Fan et al. (2019)¹³. Vennligst klikk her for å se en større versjon av denne figuren.

Figur 3: Rekonstruksjon av jordens overflate.
(a)Overflatekart over jorden, som fungerer som en proxy eksoplanet, rekonstruert fra multi-bølgelengde lyskurver. Farger i kartet er verdiene for PC2 på hver piksel. Konturen av medianverdi er betegnet som den svarte linjen. (b)Ground sannhet av jordens overflatekart. (c)Usikkerhet om det rekonstruerte kartet vist i (a). Dette tallet er endret fra Fan et al. (2019)¹³. Vennligst klikk her for å se en større versjon av denne figuren.

Figur 4: Et resultat av å finne den optimale regulariseringsparameteren.
Den optimale verdien av regulariseringsparameteren λ er 10^-3.153 (stiplet linje) når χ² av rekonstruksjonen (fast linje) når sitt minimum. Vennligst klikk her for å se en større versjon av denne figuren.

Figur 5: Følsomhetstest av observasjonsstøy.
(a)Korrelasjonskoeffisient mellom PC2 og landfraksjon i synsfeltet (fast linje) avledet fra observasjoner med forskjellige signal- til støyforhold (S/Ns). Den opprinnelige korrelasjonen fra lyskurver uten støy vises som den stiplede linjen. (b)Betydningen av hver PC på landfraksjonen avledet med forskjellig observasjon S / Ns. Betydningen beregnes ved hjelp av gradient boosted regresjonstrær (GBRT)-modeller som beskrevet i Fan et al. (2019)¹³. Vennligst klikk her for å se en større versjon av denne figuren.

Supplerende figur 1: Tidsserie av refleksjon av jorden ved ti bølgelengder. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Supplerende figur 2: (a) Tidsserie av breddegrad av underobservatørpunktet. (b) Samme som (a), men for lengdegrad. (c) og (d) er identiske med (a) og (b), men tilsvarer underbildet. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Supplerende figur 3: Tidsserie av normalisert refleksjon av jorden ved ti bølgelengder. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Tilleggsfigur 4: Tidsserie av de ti PCene, kolonnene i U. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Tilleggstall 5: Entallsverdier som tilsvarer hver PC, diagonale elementer i Σ. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Tilleggstall 6: Normalisert refleksjonsspektra av ti PCer, kolonner med V. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Tilleggstall 7: Effekttetthetsspektra av tidsserier på ti PCer. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Tilleggsfigur 8: Pixelization av henting av kart, fylt med tilfeldige pikselverdier. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Tilleggsfigur 9: Rekonstruert jordkart ved hjelp av ulike regulariseringsparametere for (a) 10^-2, (b) 10^-3og (c) 10^-4. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Tilleggs figur 10: Kovariance matrise av x. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Supplerende figur 11: Kvadratrot av de diagonale elementene i kovariance matrisen av x, kartlagt på det hentet overflatekartet. Vennligst klikk her for å laste ned dette tallet.

Video S1: Pikselvekter for observasjoner ved hver tidsramme i 2016 og 2017.

Tilleggsfiler. Vennligst klikk her for å laste ned disse filene.

Discussion

Et kritisk krav i protokollen er muligheten for å trekke ut overflateinformasjon fra lyskurver, som avhenger av skydekningen. I trinn 3.5.1 kan de relative verdiene til PCene være forskjellige blant eksoplaneter. Når det gjelder jorden, dominerer de to første PCene lyskurvevariasjonene, og tilsvarer overflateuavhengige skyer og overflate (Fan et al. 2019)¹³. De har sammenlignbare entallsverdier slik at overflateinformasjonen kan skilles etter trinn 3.5.2 og 3.5.3. For en fremtidig observasjon av eksoplanet, i ekstreme tilfeller av enten en helt overskyet eller en skyfri eksoplanet, ville bare en dominerende PC vises i SVD i trinn 3.3. Spektral analyse er nødvendig i dette tilfellet for å tolke betydningen av denne PCen, da komposisjoner av skyer og overflate er forskjellige. Hvis den dominerende PCen tilsvarer overflaten, kan trinn 4 og 5 fortsatt følges; Hvis det tilsvarer skyer, kan det trekkes en konklusjon om at overflateinformasjon er blokkert av skyer og derfor ikke kan ekstraheres ved hjelp av lyskurver ved gitte bølgelengder. I dette tilfellet er overflatekartlegging ikke mulig. En tredje eller fjerde sammenlignbar dominerende PC kan også eksistere, noe som kan tilsvare et annet lag med skyer eller store hydrologiske prosesser, og vil ikke ugyldiggjøre følgende trinn av metoden så lenge overflateinformasjonen ekstraheres.

Degeneracy som følge av konveksjon av geometri og spektrum er den dominerende faktoren som begrenser kvaliteten på det hentede kartet, som diskutert i Cowan & Strait (2013)¹⁴ og Fujii et al. (2017)¹⁵. Siden tidsserien med dominerende PCer bare dekker en liten del av PC-flyet, er det alltid en avveining mellom romlige og spektrale variasjoner. Med andre ord, det hentede kartet (Figur 2a) kunne ikke forbedres mye selv med et uendelig antall tidstrinn og perfekte observasjoner, så lenge du bruker lyskurver på samme bølgelengder. Vi introduserer regulariseringen for å delvis lindre degeneracy. Den optimale verdien av regulariseringsbemerkingen λ i trinn 4.4 bestemmes ved hjelp av observasjoner syntetisert av grunnsannhet, hvor den observerte u_j erstattes av vektede og skalerte landfraksjoner innen synsfeltet (FOV). For å generere den syntetiske observasjonen bruker vi ligningen i trinn 4.3 og erstatter x med bakken sannhet land brøkdeler av hver piksel, y. y er skalert til samme område med x ved hjelp av den sterke lineære korrelasjonen mellom PC2 observasjon, u₂, og den gjennomsnittlige FOV landfraksjon¹³. På grunn av degeneracy, y kan ikke være perfekt gjenopprettet fra lineær regresjon i trinn 4.4, så vi bestemmer den optimale verdien av λ ved å finne minimum χ², kvadrert gjenværende skalert av variansen for hver piksel. Sistnevnte er estimert av den absolutte verdien for hver piksel. Dette ligner på L-kurvekriteriet i Kawahara & Fujii (2011)¹⁶. I det spesielle tilfellet av dette papiret der T = 9739 og P = 3072, er den optimale verdien av λ 10^-3.153 (figur 4).

Observasjonsstøy, en annen faktor som påvirker kartleggingskvaliteten, kan ødelegge SVD-analysen av lyskurver i praktisk. Vi tester robustheten i protokollen ved å introdusere ulike nivåer av observasjonsstøy til de opprinnelige lyskurvene. De antas å inneholde alle støykilder (f.eks. himmelbakgrunn, mørk strøm og lesestøy), og følge gaussisk distribusjon. I de opprinnelige lyskurvene uten støy viser PC2 sterk (r²=0,91) lineær korrelasjon med FOV landfraksjon^13,slik at tidsserien brukes til overflatekartlegging. Med økende støynivå blir korrelasjonen mellom PC2 og overflaten svakere (figur 5). Korrelasjonskoeffisienten, r², blir under 0,5 når signal-til-støy-forholdet (S/N) er mindre enn 10 (figur 5a), selv om betydningen av PC2 fortsatt er dominerende (figur 5b). Vi foreslår et minimum S / N på 30 for trygt å bruke protokollen i fremtidig generalisering. Det er verdt å legge til at S / N her er forholdet mellom eksoplanetsignal til observasjonsstøyen, med signalet om at foreldrestjernen blir fjernet.

Visning geometri antas å være kjent på trinn 4.2, som nettopp utlede visning geometri fra eksoplanet observasjoner er utenfor omfanget av dette arbeidet. Foruten de orbitale elementene som kan avledet fra lyskurveobservasjoner, og rotasjonsperiode fra effekttetthetsspektra (figur 2b og 2d),er det bare to mengder, sommer / vintersolverv og glemsel, som kreves for overflatekartlegging. Sommer / vintersolverv vanligvis sammenfaller med ekstremum av tidsserien av overflaten tilsvarende PC, så lenge det finnes merkbar asymmetri mellom nordlige og sørlige halvkule. Obliquity av eksoplaneten kan utledes fra sin innflytelse på amplitude og hyppigheten av lyskurver^17,18. Alle disse avledningene krever observasjoner samplingsfrekvens minst høyere enn for planetarisk rotasjon, som for tiden sjelden er fornøyd for eksoplaneter.

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
Python 3.7 with anaconda and healpy packages			Other programming environments (e.g., IDL or MATLAB) also work.