Ytmappning av jordliknande Exoplaneter med hjälp av Ljuskurvor med single point

Summary

Protokollet extraherar information från ljuskurvor av exoplaneter och konstruerar deras ytkartor. Den använder ljuskurvor av jorden, som fungerar som en proxy exoplanet, för att visa tillvägagångssättet.

Abstract

Rumsligt lösa exoplanet funktioner från enpunktsobservationer är viktigt för att utvärdera den potentiella beboelighet exoplaneter. Det slutliga målet med detta protokoll är att avgöra om dessa planetariska världar hamn geologiska egenskaper och / eller klimatsystem. Vi presenterar en metod för att extrahera information från multi-våglängd enpunkt ljuskurvor och hämtar ytan kartor. Den använder singular värdeförruttnelse (SVD) för att separera källor som bidrar till ljuskurvans variationer och dra slutsatsen att det finns delvis grumliga klimatsystem. Genom analys av tidsserien som erhållits från SVD kunde fysiska tillskrivningar av huvudkomponenter (PC) härledas utan antaganden om några spektrala egenskaper. Kombinera med visning geometri, är det möjligt att rekonstruera ytan kartor om en av datorerna visar sig innehålla ytinformation. Degeneracy härstammar från faltning av pixelgeometrin och spektruminformationen bestämmer kvaliteten på rekonstruerade ytkartor, vilket kräver införandet av regularization. I syfte att demonstrera protokollet analyseras flervåglängdsljuskurvor av jorden, som fungerar som en proxyexoplanet. Jämförelse mellan resultaten och marken sanningen presenteras för att visa prestanda och begränsning av protokollet. Detta arbete ger ett riktmärke för framtida generalisering av exoplanetapplikationer.

Introduction

Identifiera beboeliga världar är en av de slutliga målen i astrobiologi¹. Sedan den första upptäckten², mer än 4000 exoplaneter har bekräftats hittills³ med ett antal Jorden analoger (t.ex., TRAPPIST-1e)⁴. Dessa planeter har omlopps- och planetariska egenskaper som liknar jordens, och därför är potentiellt beboeliga. Att utvärdera deras beboelighet från begränsade observationer är viktigt i detta sammanhang. Baserat på kunskapen om livet på jorden är geologiska system och klimatsystem kritiska för beboelighet, som därför kan fungera som biosignaturer. I princip kunde funktioner i dessa system observeras på avstånd även när en planet inte kunde vara rumsligt löst bättre än en enda punkt. I detta fall är det viktigt att identifiera geologiska egenskaper och klimatsystem från ljuskurvor med en punkt när man bedömer exoplaneternas beboelighet. Ytkartläggning av dessa exoplaneter blir brådskande.

Trots faltningen mellan visningsgeometri och spektrala funktioner, finns information om en exoplanets yta i dess tidsavstämda ljuskurvor med en punkt, som kan erhållas på avstånd, och härledas med tillräckliga observationer. Men tvådimensionella (2D) yta kartläggning av potentiellt beboeliga jordliknande exoplaneter är utmanande på grund av påverkan av moln. Metoder för att hämta 2D-kartor har utvecklats och testats med hjälp av simulerade ljuskurvor och kända spektra^5,6,7,8, men de har inte tillämpats på verkliga observationer. I analyserna av exoplanetobservationer nu och inom en snar framtid kan dessutom antaganden om karakteristiska spektra vara kontroversiella när de planetariska ytsammansättningarna inte är välbegränsade.

I detta dokument visar vi en ytkartläggningsteknik för jordliknande exoplaneter. Vi använder SVD för att utvärdera och separera information från olika källor som finns i flervågsljuskurvor utan antaganden om några specifika spektra. I kombination med visningsgeometri presenterar vi rekonstruktion av ytkartor med hjälp av tidsenlig löst men rumsligt invecklad ytinformation. I syfte att demonstrera denna metod analyseras tvåårsdelvåglängdsobservationer av jorden som erhållits av Deep Space Climate Observatory/Earth Polychromatic Imaging Camera (DSCOVR/EPIC; www.nesdis.noaa.gov/DSCOVR/spacecraft.html) . Vi använder jorden som en proxy exoplanet för att bedöma denna metod eftersom för närvarande tillgängliga observationer av exoplaneter inte är tillräckliga. Vi bifogar koden med pappret som exempel. Det är utvecklat under python 3.7 med anaconda och healpy paket, men matematiken i protokollet kan också göras i andra programmeringsmiljöer (t.ex. IDL eller MATLAB).

Protocol

1. Programmering setup

1. Ställ in programmeringsmiljön för den kopplade koden. En dator med Linux-operativsystem krävs, eftersom healpy-paketet inte finns på Windows. Koden är inte beräkningsmässigt dyr, så en normal persondator kan hantera protokollet.
2. Följ instruktionen (https://docs.anaconda.com/anaconda/install/linux/) för att installera Anaconda med Python 3.7 på systemet, använd sedan följande kommandon i terminal för att ställa in programmeringsmiljön:
   $ conda skapa --name myenv python=3.7
   $ conda aktivera myenv
   $ conda installera anaconda
   $ conda installera healpy
   OBS: Dessa åtgärder kan ta tiotals minuter beroende på hårdvara och Internethastighet. Miljönamnet 'myenv' i de två första kommandoraderna kan ändras till vilken annan sträng som helst.

2. Att erhålla flervågsljuskurvor och visa geometri från observationer

1. I visningsgeometrin ska du inkludera delstäcks-stjärnornas longitud och latitud och delobservatörspunkterna för varje motsvarande tidsram.
   Om du vill använda följande bifogade kod ska du se till att dessa två filer har samma format som LightCurve.csv och Geometri.csv.
2. Kör PlotTimeSeries.py att visualisera data och kontrollera deras kvaliteter. Två figurer LightCurve.png och Geometri.png kommer att skapas (Supplemental Bild 1-2). Parametrar i denna och följande plottningskoder kan behöva justeras om de tillämpas på olika observationer.
   $ python PlotTimeSeries.py LightCurve
   $ python PlotTimeSeries.py Geometri

3. Extrahera ytinformation från ljuskurvor

1. Center tidslösade flervågsfärg albedo ljuskurvor av en exoplanet och normalisera dem genom motsvarande standardavvikelse vid varje våglängd. Detta resulterar i lika stor betydelse för varje kanal.
   
   där R'_t,k och R_t,k är de skalade och observerade albedo vid t-th tidssteget respektive k-th våglängden, μ_k och σ_{k är medelvärdet} och standardavvikelsen för tidsserien albedo vid k-th våglängden.
   1. Kör Normalize.py för att normalisera ljuskurvorna, R_t,k. Utdata sparas i NormalizedLightCurve.csv.
      $ python Normalize.py
2. Kör PlotTimeSeries.py att visualisera de normaliserade ljuskurvorna. En figur NormalizedLightCurve.png kommer att skapas (Supplemental Bild 3).
   $ python PlotTimeSeries.py NormalizedLjusKurva
3. Applicera SVD på de skalade albedoljuskurvorna för att hitta dominerande PC och deras motsvarande tidsserier.
   
   På vänster sida, T och K är det totala antalet tidssteg och observationsvåglängder; R' är matrisen av skalas albedo observationer, vars (t,k)-th element är R'_t,k. På höger sida, kolumner av V är PC, ortonormala vektorer som definierar utrymmet SVD projekt till; Σ är en diagonal matris, vars (k,k)-th element är standardavvikelsen för skalade ljuskurvor längs k-th-axeln som definieras av k-th kolumnen i V; kolumnerna i U är motsvarande tidsserier för varje PC i V.
   1. Kör SingularValueDecomposition.py att sönderdelas R'. Den resulterande U, Σ, V^T sparas i utdatafilerna U.csv, SingularValue.csv V_T.csv, respektive.
      $ python SingularValueDecomposition.py
4. Använd PlotTimeSeries.py och PlotSVD.py för att visualisera SVD-resultatet. Tre siffror U.png, Sigma.png och V_T.png kommer att skapas (Supplemental Figur 4-6).
   $ python PlotTimeSeries.py U
   $ python PlotSVD.py
5. Analysera bidrag och motsvarande tidsserier av PC för att bestämma den som innehåller information om surface.
   1. Jämför singularvärdena vid diagonalen av Σ. En jordliknande delvis grumlig exoplanet förväntas ha två jämförbara dominerande singularvärden.
      OBS: Σ kan innehålla mindre eller mer än två dominerande singularvärden, som diskuteras nedan.
   2. Jämför tidsseriemönstren för de två dominerande PC:erna. PC:n som innehåller information om ytan tenderar att ha mer regelbunden form än den andra. På grund av den longitudinella asymmetrin och ytans återkomst med små förändringar om två på varandra följande dagar tenderar motsvarande tidsserier att ha ungefär konstant daglig variation.
   3. Beräkna periodicities av de två dominerande PC med hjälp av Lomb-Scargle periodogram^9,10 för att bekräfta valet av PC. PC:n som innehåller information om ytan tenderar att ha högre topp som motsvarar rotationsperiod i effekttäthetsspektrat.
   4. Kör Periodogram.py för att erhålla effektspektra av tidsserierna för varje PC. Effektspektran sparas i Periodogram.csv.
      $ python Periodogram.py
   5. Kör PlotPeriodogram.py för att visualisera dessa periodogram och bekräfta valet av PC. En figur Periodogram.png kommer att skapas (Supplemental Figure 7). Den aktuella plottningskoden lägger till i streckade linjer som representerar årliga, halvårsvis, dagaktiva och halvdagliga cykler som referens, som kan behöva ändras när den tillämpas på andra observationer.
      $ python PlotPeriodogram.py
   6. Välj den PC, v_j, som innehåller information om ytan och dess tidsserier, u_j.
      
      
      där V[:,j] och U[:,j] är j-th kolumnerna i V respektive U, j är indexet för PC härledas vid steg 3.3 som innehåller information om ytan.

4. Konstruera planetariska ytkarta

1. Använd metoden Hierarkisk equal area iso-Latitude Pixelization (HEALPix)¹¹ för att pixelera den hämtande kartan. Den delar sfärisk yta av en planet i pixlar med samma område och enhetlig fördelning. Beteckna det okända värdet för p-th pixel som x_p.
   1. Kör HEALPixRandom.py för att visualisera pixeliseringsmetoden. En siffra HEALPixRandom.png kommer att skapas (Kompletterande Figur 8). Parametern N_sida vid linje 17 kan ändras för olika upplösningar. Det här steget kan ta några sekunder till minuter beroende på upplösningen.
      $ python HEALPixRandom.py
2. Beräkna vikten av p-th pixel i observationer vid t-th tidssteg, w_t,p, med hjälp av visningsgeometri.
   
   där α_t,p, β_t,p är sol och rymdfarkosten zenit vinklar vid p-th pixel vid t-th tidssteget; c_t är en normalisering term av t-th observation så att summan av den totala vikten vid varje steg är enhet.
   OBS: Geometri antas vara känd i detta steg, eller kan härledas från annan analys, som diskuteras nedan.
   1. Kör ComputeWeight.py att beräkna w_t,p. Ändra värdet på_N-sida vid linje 23 för andra upplösningar av den hämtade kartan. Utmatningen sparas som W.npz på grund av dess storlek.
      $ python ComputeWeight.py
3. Använd PlotWeight.py för att visualisera dessa vikter. Ett antal siffror, en vid varje tid steg, kommer att skapas i en mapp Vikt. Sammanslagning av dem resulterar i Supplemental Video 1, som visar hur vikten för varje pixel ändras med tiden. Det här steget kan ta timmar att avsluta på grund av det stora antalet visualiseringar.
   $ python PlotWeight.py
4. Kombinera geometri och observationer för att nå ett linjärt regressionsproblem.
   
   där P är det totala antalet hämtar pixlar; W är viktmatrisen med w_t,p som (t,p)-th-elementet; x består av x_{p som} p-th elementet, vilket är den kvantitet som ska lösas i detta problem.
   Lös det linjära regressionsproblemet med en regularisering av L-2 norm.
   
   där jag är identitetsmatrisen och λ är regularizationparametern.
   OBS: 10^-3 är ett bra värde för λ när T~ 10⁴ och P ~ 3 * 10³. De bör justeras genom att jämföra värdena för de två termerna i det regularized kvadrat fel, e, som visas nedan.
   
   1. Kör LinearRegression.py för att lösa detta linjära regressionsproblem. Resultatet av x sparas i filen PixelValue.csv. Ändra värdet av λ vid linje 16 för olika styrkor av regularization.
      $ python LinearRegression.py
5. Konvertera x till en 2D-ytkarta enligt kartregeln i HEALPix.
   1. Kör PlotMap.py att konstruera de hämtade kartorna med hjälp av olika regularization parametrar. Tre siffror Map_-2.png, Map_-3.png och Map_-4.png kommer att skapas med den aktuella inställningen (Supplemental Figure 9). Förhållandet mellan pixelindexen och deras platser på karta beskrivs i HEALPix-dokumentet¹¹. Det här steget tar tiotals sekunder.
      $ python PolotMap.py

5. Uppskattning osäkerhet av hämtad karta

1. Skriv om problemet med linjär regression vid steg 4.3 med det "sanna värdet" på x som z och observationsbruset, ε.
   1. Antag ε att följa en Gaussisk Distribution N (0, σ²I_{[T * T]}) och uppskatta dess kovarians. T-P är graden av frihet av u_{j från} observation när den hämtade kartan är fast.
      
   2. Kombinera ekvationer i steg 4.4 och 5.1. Det resulterar i en Gaussisk vektor av x.
      
   3. Beräkna förväntan och kovariansmatrisen av x.
      
   4. Få osäkerhet för varje element i x som kvadratroten av motsvarande element på diagonalen av Cov[x].
      
      där e_p är osäkerheten hos x_p; Diag[Cov[x]]_p är p-th element på diagonalen av Cov[x].
   5. Kör Covariance.py för att beräkna kovariansmatrisen för x. Resultatet sparas i Covariance.npz på grund av dess storlek. Detta steg tar tiotals sekunder till minuter beroende på storleken på W.
      $ python Covariance.py
2. Konvertera e_p till den hämtade 2D-kartan enligt kartregeln i HEALPix.
   1. Kör PlotCovariance.py för att visualisera Cov[x] och kartlägga osäkerheten e_p till den hämtade kartan. Två siffror Kovarians.png och osäkerhet.png kommer att skapas (Supplemental Figure 10-11).
      $ python PlotCovariance.py

Representative Results

Vi använder multi-våglängd enpunkt ljuskurvor av jorden för att visa protokollet, och jämföra resultaten med marken sanningen att utvärdera kvaliteten på ytan kartläggning. Observation som används här erhålls av DSCOVR /EPIC, som är en satellit som ligger nära den första Lagrangian punkten (L1) mellan jorden och Solen tar bilder på tio våglängder av solbelysta jordens yta. Två år (2016 och 2017) av observationer används för denna demonstration, som är desamma som de i Jiang et al. (2018)¹² och et al. (2019)¹³, där fler detaljer om observationerna presenteras. En provobservation klockan 9:27 UTC, 2017 8 februari visas i figur 1. Bilder av jorden är integrerade till enstaka punkter för att simulera ljus kurvan observationer som erhållits av Aliens, avlägsna observatörer, som inte kunde rumsligt lösa jorden bättre än en pixel. Därför genereras flervåglängdsljus i enpunktsljuskurvor med ~10 000 tidssteg, som är indata för detta protokoll.

Efter steg 3 hittar vi två dominerande PC i flervåglängdsljuskurvorna, och den andra PC:n (PC2) innehåller information om ytan. Härlett som steg 3.5, tidsserier av PC2 visar mer regelbunden morfologi med en ungefär konstant daglig variation, och dess makt spektrum visar starkare dygnscykeln än den första PC (PC1, Figur 2). Därför är en ytkarta över denna proxy exoplanet konstruerad efter steg 4 (Bild 3a), som består av värdet av PC2 vid varje pixel. Jämfört med marken sanningen om jorden (Figur 3b), den rekonstruerade kartan återvinner alla större kontinenter, trots vissa meningsskiljaktigheter på södra halvklotet där moln delvis förhindra ytinformation observeras. Osäkerhet för varje pixelvärde som erhålls enligt steg 5 (Figur 3c) är på storleksordningen 10% av den i hämtad karta, vilket tyder på en god kvalitet på ytan mappning och ett positivt resultat.

Bild 1: Reflexeringsbilder av jordens solbelysta halvklot.
Observationerna tas av DSCOVR/EPIC vid tio våglängder och kl 9:27 UTC, 2017 februari 8. Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Bild 2: Tidsserie och effektspektra för de två dominerande PC-datorerna.
(a) Tidsserie av PC1. Dagliga högsta och lägsta betecknas med svarta linjer. (b) Power spektrum av PC1:s tidsserier. Årliga, halvårsvis, dagaktiva och halvdagliga cykler betecknas som svart streckad linje. (c) och (d) är identiska med (a) och (b), men motsvarar PC2. Denna siffra är hämtad från et al. (2019)¹³. Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Figur 3: Rekonstruktion av jordens yta.
(a) Ytkarta över jorden, som fungerar som en proxy exoplanet, rekonstrueras från flervåglängd ljuskurvor. Färger i kartan är värdena för PC2 vid varje bildpunkt. Konturen av medianvärdet betecknas som den svarta linjen. (b) Ground sanning av Jordens yta karta. (c) Osäkerheten i den rekonstruerade kartan som visas i (a). Denna siffra är modifierad från et al. (2019)¹³. Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Bild 4: Resultat av att hitta den optimala regularizationparametern.
Det optimala värdet av regulariseringsparametern λ är 10^-3,153 (streckad linje) när χ² av rekonstruktionen (heldragen linje) når sitt minimum. Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Figur 5: Känslighetstest av observationsbuller.
(a) Korrelationskoefficient mellan PC2 och landfraktion i synfältet (heldragen linje) som härletts från observationer med olika signal- till brusförhållanden (S/N). Den ursprungliga korrelationen från ljuskurvor utan brus visas som den streckade linjen. (b) Betydelsen av varje PC på den markfraktion som härletts med olika observation S/N. Betydelsen beräknas med hjälp av GBRT-modeller (Gradient Boosted Regression Trees) enligt beskrivningen i et al. (2019)¹³. Vänligen klicka här för att visa en större version av denna figur.

Supplemental Figure 1: Tidsserie av reflektorans av jorden vid tio våglängder. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Kompletterande figur 2: a) Tidsserie för latitud för delobservatörspunkten. b) Samma som a, men för longitud. c och d är identiska med a och b, men motsvarar undersnäckarpunkten. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Supplemental Figure 3: Tidsserier av normaliserad refrefans av jorden vid tio våglängder. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Kompletterande figur 4: Tidsserier för de tio PC:na, kolumnerna i U. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Kompletterande figur 5: Singularvärden som motsvarar varje PC, diagonala element av Σ. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Kompletterande figur 6: Normaliserad refrängspektra av tio PC, kolumner av V. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Kompletterande figur 7: Effekttäthetsspektra av tidsserier om tio PC. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Supplemental Figure 8: Pixelisering av hämtar karta, fylld med slumpmässiga pixelvärden. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Kompletterande figur 9: Rekonstruerad karta över jorden med hjälp av olika regulariseringsparametrar på (a) 10^-2, (b) 10^-3, och (c) 10^-4. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Kompletterande figur 10: Kovariansmatris av x. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Kompletterande figur 11: Kvadratroten på de diagonala elementen i kovariansmatrisen av x, mappad på den hämtade ytkartan. Vänligen klicka här för att ladda ner denna siffra.

Video S1: Pixelvikter för observationer vid varje tidsram under 2016 och 2017.

Kompletterande filer. Vänligen klicka här för att ladda ner dessa filer.

Discussion

Ett kritiskt krav i protokollet är möjligheten att extrahera ytinformation från ljuskurvor, vilket beror på molntäckningen. I steg 3.5.1 kan de relativa värdena för PC:erna vara olika bland exoplaneter. När det gäller Jorden dominerar de två första PC-datorerna ljuskurvans variationer, och motsvarar ytoberoende moln och yta (Fan et al. 2019)¹³. De har jämförbara singularvärden så att ytinformationen kan separeras efter steg 3.5.2 och 3.5.3. För en framtida observation av exoplanet, i extrema fall av antingen en helt molnig eller en molnfri exoplanet, skulle endast en dominerande DATOR visas i SVD vid steg 3.3. Spektralanalys är nödvändigt i detta fall att tolka innebörden av denna PC, som kompositioner av moln och yta är olika. Om den dominerande PC:n motsvarar ytan, skulle steg 4 och 5 ändå kunna följas; om den motsvarar moln kan man dra en slutsats om att information om ytan blockeras av moln och därför inte kan extraheras med hjälp av ljuskurvor vid givna våglängder. I det här fallet är inte ytmappning genomförbar. En tredje eller till och med fjärde jämförbara dominerande PC kan också finnas, vilket kan motsvara ett annat lager av moln eller storskaliga hydrologiska processer, och skulle inte ogiltigförklara följande steg i metoden så länge ytan information extraheras.

Degeneracy som följer av faltning av geometri och spektrum är den dominerande faktorn som begränsar kvaliteten på den hämtade kartan, som diskuteras i Cowan & Strait (2013)¹⁴ och Fujii et al. (2017)¹⁵. Eftersom tidsserierna för dominerande datorer endast täcker en liten del av PC-planet finns det alltid en avvägning mellan rumsliga och spektrala variationer. Med andra ord kunde den hämtade kartan (Figur 2a) inte förbättras mycket även med ett oändligt antal tidssteg och perfekta observationer, så länge som man använder ljuskurvor vid samma våglängder. Vi introducerar regularizationen för att delvis avlasta degeneracyen. Det optimala värdet av regulariseringsbeteningen λ i steg 4.4 bestäms med hjälp av observationer som syntetiseras av marksanningen, där den observerade u_j ersätts av viktade och skalade landfraktioner i synfältet (FOV). För att generera den syntetiska observationen använder vi ekvationen vid steg 4.3 och ersätter x med marken sanningen landfraktioner av varje pixel, y. y skalas till samma intervall med x med hjälp av den starka linjära korrelationen mellan PC2 av observation, u₂, och den genomsnittliga FOV^{markfraktion 13}. På grund av degeneracy, y kan inte vara perfekt återhämtat sig från den linjära regression i steg 4.4, så vi bestämmer det optimala värdet av λ genom att hitta minimum av χ², kvadrat rest skalas av variansen för varje pixel. Det senare uppskattas av det absoluta värdet för varje pixel. Detta liknar kriteriet L-kurvan i Kawahara & Fujii (2011)¹⁶. I det särskilda fallet med detta papper där T=9739 och P=3072 är det optimala värdet på λ 10^-3.153 (figur 4).

Observationsbuller, en annan faktor som påverkar kartläggningens kvalitet, kan korrumpera SVD-analysen av ljuskurvor i praktisk. Vi testar protokollets robusthet genom att införa olika nivåer av observationsbuller till de ursprungliga ljuskurvorna. De antas innehålla alla bullerkällor (t.ex. skybakgrund, mörkströms- och avläsningsljud), och följa Gaussisk distribution. I de ursprungliga ljuskurvorna utan brus visar PC2 stark (r²=0,91) linjär korrelation med FOV-landfraktionen¹³, så dess tidsserie används för ytmappningen. Med ökande ljudnivå blir korrelationen mellan PC2 och yta svagare (Bild 5). Korrelationskoefficienten, r², blir under 0,5 när signalen till brusförhållandet (S/N) är mindre än 10 (Figur 5a), även om betydelsen av PC2 fortfarande är dominerande (Figur 5b). Vi föreslår ett minimum S / N på 30 för tryggt tillämpa protokollet i framtida generalisering. Det är värt att notera att S / N här är förhållandet mellan exoplanet signal till observation buller, med signalen av förälder stjärna tas bort.

Visningsgeometrin antas vara känd vid steg 4.2, eftersom exakt härledande visningsgeometri från exoplanetobservationer ligger utanför detta arbetes omfattning. Förutom de omloppselement som kan härledas från ljuskurva observationer, och rotationsperiod från effekttäthetsspektra (Figur 2b och 2d), finns det bara två kvantiteter, sommar / vinter solstånd och obliquity, som krävs för ytan kartläggning. Sommar/vintersolstånd sammanfaller vanligtvis med extremum av tidsserier av ytan motsvarande PC, så länge det finns märkbar asymmetri mellan norra och södra halvklotet. Obliquity av exoplaneten kan härledas från dess påverkan på amplituden och frekvensen av ljus buktar^17,18. Alla dessa härledningar kräver observationer provtagningsfrekvens minst högre än för planetariska rotation, som för närvarande sällan är nöjd för exoplaneter.

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
Python 3.7 with anaconda and healpy packages			Other programming environments (e.g., IDL or MATLAB) also work.