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Overview

Fonte: Arianna Brown, Asantha Cooray, PhD, Dipartimento di Fisica e Astronomia, Scuola di Scienze Fisiche, Università della California, Irvine, CA

Le onde stazionarie, o onde stazionarie, sono onde che sembrano non propagarsi e sono prodotte dall'interferenza di due onde che viaggiano in direzioni opposte con la stessa frequenza e ampiezza. Queste onde sembrano vibrare su e giù senza alcun movimento lineare e sono più facilmente identificabili in mezzi finiti vibranti come una corda di chitarra pizzicata, acqua in un lago o aria in una stanza. Ad esempio, se una stringa è fissata a entrambe le estremità e due onde identiche vengono inviate viaggiando lungo la lunghezza, la prima onda colpirà la barriera finale e si rifletterà nella direzione opposta, e le due onde si sovrapporranno per produrre un'onda stazionaria. Questo moto è periodico con frequenze definite dalla lunghezza del mezzo ed è un esempio visivo di semplice moto armonico. Il movimento armonico semplice è un movimento che oscilla o è periodico, in cui la forza di ripristino è proporzionale allo spostamento, il che significa che più qualcosa viene spinto, più duramente spinge indietro.

L'obiettivo di questo esperimento è comprendere i ruoli della sovrapposizione e della riflessione delle onde nella creazione di onde stazionarie e sfruttare questi concetti per calcolare le prime frequenze risonanti, o armoniche, delle onde stazionarie su uno slinky. Ogni frequenza che un oggetto produce ha i suoi schemi di onde stazionaria, in cui l'onda con la frequenza più bassa possibile è chiamata frequenza fondamentale. Un'armonica è un'onda che ha una frequenza proporzionale alla frequenza fondamentale da numeri interi interi.

Principles

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Quando due onde arrivano nello stesso punto di un percorso allo stesso tempo, interferiscono. L'ampiezza dell'onda risultante è la somma dell'ampiezza delle due onde lineari (un risultato diretto del principio di sovrapposizione per le onde lineari). Queste due onde passano l'una attraverso l'altra senza alterare i percorsi o le velocità l'una dell'altra. L'interferenza costruttiva si verifica quando le ampiezze delle onde si sommano, quando arrivano in fase. Quando le onde si incontrano fuori fase, le loro ampiezze sottraggono e subiscono interferenze distruttive. Se due onde con la stessa ampiezza subiscono interferenze distruttive, le loro ampiezze si annullano (Figura 1).

Figure 1
Figura 1: Due onde con ampiezze uguali. A sinistra: interferenza costruttiva. A destra: interferenza distruttiva.

Quando un'onda viaggiante incontra un confine(cioèun mezzo diverso), parte della sua energia viene riflessa, parte viene trasmessa nel nuovo mezzo e parte viene assorbita. Per uno scenario di onde riflesse perfetto, in cui tutta l'energia viene riflessa e quindi nessuna energia esterna deve essere immessa nel sistema, l'energia viene conservata. Per un'onda che viaggia su un mezzo con confini fissi, come una stringa finita, si rifletterà sul confine finale e sperimenterà uno sfasamento di 180 °. Se questo processo continua per un lungo periodo di tempo, le onde che rimbalzano avanti e indietro tra i confini interferiranno e creeranno un modello stazionario noto come onda stazionaria (Figura 2). I punti di ampiezza minima (nodi) sono punti in cui le onde hanno fasi opposte e si annullano a vicenda. I punti di massima ampiezza (antinodi) sono punti in cui le onde hanno la stessa fase e le rispettive ampiezze si combinano.

Figure 2
Figura 2: Un'onda stazionaria su un mezzo di lunghezza 2λ. Questa è anche una rappresentazione visiva della quarta armonica.

L'onda stazionaria più semplice, a volte chiamata frequenza fondamentale, si verifica quando la lunghezza della stringa L è 1/2λ, dove λ è la lunghezza d'onda. Ciò significa,

  Equation 1

quindi la prima vibrazione su una corda con punti fissi sembra simile al profilo di una corda da salto in movimento. Per rendere possibile la successiva onda stazionaria, viene aggiunto un nodo al centro e L diventa equivalente a λ: il risultato è un modello di onda stazionaria con una lunghezza d'onda più corta. I modelli di onde stazionaria con lunghezze d'onda più corte rispetto alla frequenza fondamentale sono noti come armoniche. Continuando ad aggiungere nodi, scopriamo che:

Equation 2(Equazione 1)

dove n è il numero di nodi e l'armonica risultante è talvolta indicata come l'nesima armonica. (Nota: alcuni si riferiscono alla frequenza fondamentale come prima armonica, mentre altri si riferiscono all'armonica n = 2 come prima armonica).

In un'onda di propagazione, l'energia viene trasferita insieme all'onda. Quando una sezione si muove verso l'alto, esercita una forza sulla sezione successiva, spostandola attraverso uno spostamento. In altre parole, il lavoro è fatto. I punti che non subiscono spostamenti, come un nodo in un'onda stazionaria, non possono funzionare sulla sezione vicina. Pertanto, nessuna energia viene trasmessa attraverso un nodo su una stringa e l'energia non si propaga in un'onda stazionaria. Invece, l'energia di un'onda stazionaria si alterna tra energia potenziale elastica quando le onde sono momentaneamente stazionarie alle loro ampiezze massime ed energia cinetica quando la stringa è piatta nel mezzo di un'oscillazione e una particella su un antinodo ha la massima velocità direzionale. Inoltre, si consideri una particella che si trova su un pezzo di corda sottoposto a moto d'onda stazionaria. Poiché le onde stazionarie provocano un semplice movimento avanti e indietro, questa particella sembra muoversi avanti e indietro a una velocità periodica misurabile. Nelle onde stazionarie, questo moto oscillatorio e la relazione tra energia elastica e potenziale è descritto come semplice moto armonico, e quindi ha le proprietà osservabili della frequenza f e del periodo T. Nello scenario delle onde stazionali, la frequenza è definita come il numero di cicli di oscillazione per unità di tempo e il periodo è il tempo necessario per effettuare un ciclo completo, oppure:

Equation 3(Equazione 2)

In questo laboratorio, esploreremo tutte queste proprietà creando varie onde e onde stazionarie usando uno slinky.

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Procedure

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1. Osservare la sovrapposizione e la riflessione degli impulsi di Slinky

  1. Allunga una molla di acciaio o slinky longitudinalmente attraverso un pavimento o un corridoio, con uno studente che tiene un'estremità e un altro studente che tiene l'altra. Usa il nastro adesivo per contrassegnare due "barriere" longitudinali a circa un piede di distanza dal centro dello slinky, su ciascun lato. Ripeti con barriere che sono a due metri di distanza dal centro su ciascun lato.
  2. A turno lancia impulsi (strappando lo slinky una piccola distanza orizzontalmente e immediatamente tornando al punto di partenza) con ampiezze che rimangono all'interno delle barriere marcate.
  3. Quindi, prova a lanciare impulsi identici con la stessa polarità contemporaneamente da entrambe le estremità e nota cosa succede quando gli impulsi si incontrano. L'onda sovrapposta dovrebbe raddoppiare in ampiezza, attraversare le prime barriere nastrate e colpire le seconde barriere nastrate.
  4. Ora, lancia impulsi identici ma con polarità opposta contemporaneamente e osserva le sovrapposizioni di impulsi. Gli impulsi dovrebbero annullarsi a vicenda mentre si sovrappongono, e poi continuare a viaggiare, senza mai toccare le barriere.
  5. Fissare un'estremità dello slinky tenendolo saldamente in posizione. Invia un singolo impulso verso il basso nella posizione fissa e osserva l'ampiezza dell'onda alla riflessione. Si rifletterà indietro con polarità opposta.

2. Misurare la frequenza delle onde stazionarie su una molla

  1. Allunga lo slinky attraverso una stanza o un corridoio e misura e registra la lunghezza allungata.
  2. Con un'estremità fissata dal movimento (tenuta saldamente), inizia delicatamente a far scorrere l'altra estremità orizzontalmente in movimento costante fino a trovare l'onda stazionaria di frequenza fondamentale. Per questa armonica, ci dovrebbe essere una sola cresta d'onda con un'ampiezza che si muove avanti e indietro, come il profilo di una corda da salto in movimento. Utilizzare un cronometro per registrare il tempo necessario per diversi cicli d'onda. Un ciclo completo inizia quando un antinodo si forma su un lato, scorre attraverso il centro per formare un antinodo sull'altro lato e quindi ritorna nella sua posizione originale. Usa queste misurazioni per calcolare la frequenza, il periodo e la lunghezza d'onda per questa onda usando le equazioni 1 e 2.
  3. Aumentare la velocità dell'estremità scorrevole fino a raggiungere l'armonica successiva(n = 2). Per questa armonica, ci dovrebbero essere due creste d'onda su lati opposti che si muovono in direzioni opposte, e potrebbe sembrare la proiezione 2D della lettera 's' che ruota. Misura la frequenza, quindi calcola il periodo e la lunghezza d'onda per questa onda. Qual è il rapporto tra questa frequenza e la frequenza fondamentale?
  4. Ripetere il passaggio precedente per l'armonica successiva (n = 3).

Le onde stazionarie, o onde stazionarie, sono onde che sembrano non propagarsi e sono più evidenti in una vibrazione. Ad esempio, quando una corda tesa viene pizzicata, le onde risultanti sembrano vibrare su e giù, senza alcun movimento lineare. Questi sono in realtà prodotti dall'interferenza di due onde che viaggiano in direzioni opposte, con la stessa frequenza e ampiezza.

Questo movimento oscillante con frequenza periodica è un esempio di semplice movimento armonico. Il movimento si verifica perché la stringa ha una forza di ripristino proporzionale allo spostamento iniziale. Questa relazione tra il ripristino della forza e lo spostamento è data dalla Legge di Hooke - spiegata in dettaglio in un altro video di JoVE Science Education. Ciò significa essenzialmente che più qualcosa viene tirato, come questo colpo di fionda, più difficile respinge.

In questo video, creeremo onde stazionarie usando uno slinky ed esploreremo la fisica alla base del semplice movimento armonico e delle sue applicazioni.

Prima di iniziare la dimostrazione in laboratorio, impariamo un po 'di più sulle onde stazionarie e sul semplice movimento armonico. Un'onda è definita dalla sua lunghezza d'onda, lambda - la distanza tra due creste, e la sua frequenza, f - il numero di occorrenze di creste in unità di tempo, L'ampiezza è la distanza dalla cresta alla depressione. Quando due onde arrivano nello stesso punto di un percorso, allo stesso tempo, interferiscono. L'ampiezza dell'onda risultante è la somma delle ampiezze delle due onde.

L'interferenza costruttiva si verifica quando le ampiezze delle onde sono in fase e aggiungono. L'interferenza distruttiva si verifica quando le onde sono fuori fase e le ampiezze si sottraggono.

Prendiamo ad esempio un impulso su una stringa finita. Idealmente, quando l'impulso viaggiante incontra un confine, viene riflesso. Ora inviamo un'onda lungo la corda e lasciamo che rifletta avanti e indietro per un lungo periodo di tempo. Questa azione crea un modello stazionario o un'onda stazionaria.

I punti di ampiezza minima, chiamati nodi, sono dove le onde hanno fasi opposte e si annullano a vicenda. I punti di massima ampiezza, o antinodi, sono punti in cui le onde hanno la stessa fase e le loro ampiezze si combinano. L'onda stazionaria più semplice si verifica quando la lunghezza d'onda è il doppio della lunghezza della stringa.

La prossima possibile onda stazionaria ha un nodo al centro e la lunghezza d'onda è uguale alla lunghezza della stringa. Se continuiamo ad aggiungere nodi, creiamo onde con lunghezze d'onda sempre più corte. Questi modelli sono chiamati armoniche, dove il numero di antinodi, indicato dalla lettera n, dà l'onda dell'ennesima armonica. Quindi, se l'onda ha quattro antinodi, l'onda è la quarta armonica.

Sulla base della relazione tra la lunghezza d'onda e la lunghezza della corda di ciascuna armonica, possiamo derivare una formula relativa a questi tre termini e dire che lambda di un'ennesima onda stazionaria armonica è uguale a due volte la lunghezza della corda divisa per n.

Poiché 2L è la lunghezza d'onda della prima armonica, la lunghezza d'onda di ogni armonica è Λ1 divisa per n. Ora, sappiamo che Λ e f hanno una relazione inversa. Quindi, possiamo dedurre che la frequenza di ogni armonica sarebbe l'ennesimo multiplo della prima armonica, o il rapporto tra la frequenza e la frequenza della prima armonica produce n. Si noti che la prima armonica è anche conosciuta come la frequenza fondamentale di quella corda.

Ora che abbiamo discusso le basi delle armoniche semplici, diamo un'occhiata a come creare onde stazionarie usando uno slinky e come misurare la frequenza delle onde stazionarie.

In primo luogo, allungare una molla slinky o in acciaio longitudinalmente attraverso il pavimento con una persona che tiene ciascuna estremità. Usa il nastro adesivo per contrassegnare due barriere longitudinali, ciascuna a circa un piede di distanza dal centro dello slinky, su ciascun lato.

Inoltre, aggiungi barriere longitudinali che si trovano a due piedi di distanza dal centro dello slinky su ciascun lato.

Fai a turno per lanciare impulsi d'onda scuotendo lo slinky a una piccola distanza orizzontalmente, quindi riportandolo immediatamente al punto di partenza. Assicurarsi che le ampiezze rimangano all'interno delle barriere contrassegnate.

Quindi, lancia contemporaneamente impulsi identici con la stessa polarità e osserva cosa succede quando gli impulsi si incontrano. L'onda sovrapposta dovrebbe raddoppiare in ampiezza, attraversare le prime barriere nastrate e colpire le seconde barriere nastrate.

Ora, lancia contemporaneamente impulsi identici con polarità opposta. Gli impulsi dovrebbero annullarsi a vicenda mentre si sovrappongono e continuano a viaggiare. Non dovrebbero mai raggiungere le barriere.

Infine, fissare un'estremità tenendola saldamente in posizione. Invia un singolo impulso verso il basso nella posizione fissa e osserva l'ampiezza delle onde mentre viene riflessa. Si rifletterà indietro con polarità opposta.

Ora diamo un'occhiata a come misurare la frequenza delle onde stazionarie. Allunga di nuovo lo slinky attraverso la stanza e misura la lunghezza allungata.

Con un'estremità fissa, inizia delicatamente a far scorrere l'altra estremità orizzontalmente fino a trovare la prima armonica. Per questa armonica, ci dovrebbe essere solo una cresta d'onda con un'ampiezza che si muove avanti e indietro.

Utilizzare un cronometro per registrare il tempo necessario per ogni ciclo d'onda. Un ciclo completo inizia quando un antinodo si forma su un lato, scorre attraverso il centro per formare un antinodo sull'altro lato e quindi ritorna nella posizione originale.

Ora, aumenta la velocità dello scorrimento fino a raggiungere l'armonica successiva. Per la seconda armonica, ci dovrebbero essere due creste d'onda su lati opposti che si muovono in direzioni opposte. Misurare il tempo per un ciclo d'onda.

Ripetete questi passaggi per la terza armonica.

Ora che abbiamo discusso l'esperimento, impariamo come analizzare i dati raccolti al fine di ottenere le frequenze di diverse armoniche. Ricordiamo, la lunghezza d'onda è pari a due volte la lunghezza dello slinky diviso per n. Quindi, per la seconda armonica, la lunghezza d'onda è la lunghezza dello slinky, o 8 m.

La frequenza è definita come il numero di cicli per unità di tempo. Pertanto, la frequenza può essere calcolata per ogni armonica dividendo il numero di cicli per il tempo totale. È evidente che, all'aumentare di n, aumenta anche la frequenza dell'onda.

Questo è stato evidente anche durante l'esperimento. Verifichiamo ora la relazione tra le frequenze e n. Se dividiamo la frequenza di ogni armonica con la frequenza fondamentale, allora otteniamo questi valori. Questi valori dimostrano che la seconda armonica è circa il doppio della frequenza della frequenza fondamentale e la terza armonica è tre volte la frequenza fondamentale. Insieme, questi risultati convalidano le formule armoniche.

Le onde stazionarie possono essere trovate in molti esempi del mondo reale nella scienza e nella natura.

Una corda di chitarra pizzicata è un semplice esempio di onda stazionaria. Una corda pizzicata emette una particolare frequenza sonora a seconda della lunghezza della corda e di quanto sia tesa o densa la corda.

Ogni corda fa solo determinate note perché solo alcune onde stazionarie sono in grado di formarsi su quella corda. Queste onde stazionarie sono tutti multipli interi della frequenza fondamentale della stringa. Il musicista può accorciare la lunghezza della corda, creando un nuovo set di armoniche.

L'acoustoforesi, che significa migrazione con il suono, è una tecnica in ingegneria biomedica che utilizza le onde stazionarie per spostare le particelle in un canale su microscala di liquido che scorre. Questo viene in genere eseguito in un dispositivo microfluidico, che ha canali fluidi su scala micrometrica.

Quando si forma un'onda stazionaria con frequenza specifica all'interno del canale, che focalizza le particelle in un flusso controllato. Usando questo metodo, un ricercatore può rapidamente focalizzare o separare entità microscopiche.

Hai appena visto l'introduzione di JoVE alle onde stazionarie e al semplice movimento armonico. Ora dovresti capire le proprietà delle onde stazionarie e dove sono presenti nelle applicazioni quotidiane. Grazie per l'attenzione!

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Results

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Armonica (n) # Cicli Tempo totale (s) Frequenza (Hz) f/f0 Periodo(i) Lunghezza d'onda (m)
1 10 19.2 0,521 (f0) 1 1.210 16 metri
2 10 9.75 1.026 1.97 0.975 8 metri
3 10 6.21 1.601 3.07 0.625 5,33 m

Tabella 1: Sezione 2 - Lunghezza molla allungata = 8 m

Nella Sezione 1, i principi di sovrapposizione d'onda e riflessione in un mezzo finito sono dimostrati e confermati quando gli impulsi sono stati inviati lungo la lunghezza dello slinky. In particolare, vediamo che quando due onde con ampiezze e fasi identiche si incontrano, subiscono interferenze costruttive e le loro ampiezze si aggiungono. Allo stesso modo, vediamo che quando due onde con polarità opposta (sfasamento di 180 °) e ampiezze identiche si incontrano, subiscono interferenze distruttive e le loro ampiezze si annullano. Quest'ultimo di questi principi è fondamentale per comprendere i modelli di onde stazionaria.

Nella Sezione 2, i nodi e gli antinodi dello slinky erano facilmente visibili a varie frequenze. Con l'aumentare del numero di nodi, aumentava anche la frequenza. La lunghezza d'onda è inversamente proporzionale alla frequenza, quindi c'è naturalmente una diminuzione della lunghezza d'onda. Le frequenze delle armoniche sono multipli interi positivi della frequenza fondamentale che corrispondono a n. Ad esempio, usando l'armonica n = 2, la frequenza viene misurata e definita come il numero di cicli per unità di tempo:

Equation 4

Il periodo è definito come l'inverso della frequenza (Equazione 2) ed è uguale a:

Equation 5

La lunghezza d'onda è definita nell'equazione 1 come:

Equation 6

Infine, possiamo vedere la relazione intero-proporzionale tra le armoniche e la frequenza fondamentale calcolando:

Equation 7

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Applications and Summary

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In questo esperimento, i concetti di sovrapposizione delle onde e onde stazionarie sono stati esplorati in due dimostrazioni. La riflessione delle onde e l'interferenza costruttiva contro distruttiva sono state visualizzate nella prima dimostrazione. Nel secondo, sono stati misurati i cambiamenti di frequenza e periodo e le frequenze armoniche più elevate sono risultate essere multipli interi della frequenza fondamentale.

Un famoso esempio di onde stazionarie nel mondo reale sono le corde di una chitarra o di qualsiasi strumento a corde. In questi strumenti, una corda pizzicata emette una particolare frequenza a seconda di quanto sia tesa e densa la corda e della lunghezza della corda. Ogni corda fa solo certe note perché solo certe onde stazionarie, o armoniche, possono formarsi su quella corda. Il musicista può usare le dita per accorciare la lunghezza della corda, creando un nuovo nodo e un nuovo set di armoniche proporzionali alla frequenza fondamentale. Le vibrazioni che non sono alla giusta frequenza, ad esempio le dita che fissano le corde su un tasto che non consente un'onda stazionaria a quella lunghezza di corda, suoneranno strane e alla fine si annulleranno.

Le onde stazionarie si verificano anche in natura, spesso in corpi idrici delimitati come laghi e porti. A volte, possono formarsi su un letto del fiume consentendo ai surfisti del fiume di cavalcare quest'onda per un lungo periodo di tempo senza muoversi effettivamente. Tipicamente, si formano quando una grande quantità di acqua scorre su un'ostruzione, come una grande roccia, a un ritmo rapido. Mentre l'acqua scorre sulla roccia e si schianta dietro di essa, crea una grande onda nella direzione opposta alla corrente del fiume che interferisce con l'onda incidente dell'acqua. Pertanto, si forma un'onda stazionaria e i surfisti del fiume possono cavalcarla per tutto il tempo che il loro equilibrio glielo consentirà poiché l'onda probabilmente non finirà in pochi secondi.

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