8.15: F 分布

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F Distribution
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April 30, 2023

Overview

F 分布以英国统计学家罗纳德·费舍尔爵士 (Sir Ronald Fisher) 的名字命名。F 统计量是具有两组自由度的比率(分数);一个用于分子,一个用于分母。F 分布源自 Student 的 t 分布。F 分布的值是 t 分布的相应值的平方。单因子方差分析扩展了 t 检验,用于比较两个以上的组。该推导的范围超出了本课程的级别。当有两个以上的组时,最好使用 ANOVA 而不是执行成对 t 检验,因为执行多个测试可能会引入类型 1 错误的可能性。

对方差进行两个估计来计算 F 比值:

  1. 样本之间的方差:σ2 的估计值,即样本的方差均值乘以 n(当样本量相同时)。如果样本大小不同,则对样本之间的差异进行加权,以考虑不同的样本大小。该方差也称为由于处理引起的变异或解释变异。
  2. 样本内的方差:它是σ2 的估计值,即样本方差的平均值(也称为合并方差)。当样本数量不同时,将对样本内的方差进行加权。方差也称为由于误差或无法解释的变异引起的变异。
  • SSbetween = 表示不同样本之间变化的平方和
  • SSwithin = 表示样本内由于偶然性而发生的变化的平方和。

本文改编自 Openstax, 统计学导论, 第 13.2 节 F 分布和 F 比率

Transcript

F 检验以著名统计学家 Ronald Fisher 爵士的名字命名,它比较两个正态分布的总体方差之间的差异。

F 检验使用 F 统计量,该统计量是样本方差的比率,因此永远不会为负。

通常,为了便于计算,分子表示较高的样本方差,而分母表示较小的样本方差。

随着样本方差之间的差异减小,F 统计量越来越接近于统一。

计算两个独立正态分布总体的多个随机样本的 F 统计量,并绘制 F 统计量,得到 F 分布曲线,这是一条不对称的曲线,类似于卡方分布曲线。

但是,与基于卡方的检验不同,F 分布有两组自由度,一组用于分子,另一组用于分母。F 分布曲线的确切形状取决于这两个自由度。

此分布在 F 检验和涉及方差比较的方法(如方差分析)中很有帮助。

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