6.10: Rozkład normalny

Rozkład normalny, ciągły, jest najważniejszym ze wszystkich rozkładów. Jego wykres jest symetryczną krzywą w kształcie dzwonu, którą obserwuje się w prawie wszystkich dyscyplinach. Niektóre z nich obejmują psychologię, biznes, ekonomię, nauki ścisłe, pielęgniarstwo i oczywiście matematykę. Niektórzy instruktorzy mogą używać rozkładu normalnego do ustalania ocen uczniów. Większość wyników IQ ma rozkład normalny. Często ceny nieruchomości mieszczą się w rozkładzie normalnym. Rozkład normalny jest niezwykle ważny, ale nie można go zastosować do wszystkiego w świecie rzeczywistym. Poniższe równanie opisuje ten rozkład:

Gdzie μ oznacza średnią, σ jest odchyleniem standardowym. Wartości π i e są stałe. f(x) reprezentuje prawdopodobieństwo wystąpienia zmiennej losowej x.

Krzywa jest symetryczna względem pionowej linii przechodzącej przez średnią μ. Teoretycznie średnia jest taka sama jak mediana, ponieważ wykres jest symetryczny względem μ. Jak wskazuje zapis, rozkład normalny zależy jedynie od średniej i odchylenia standardowego. Ponieważ pole pod krzywą musi być równe jedności, zmiana odchylenia standardowego σ powoduje zmianę kształtu krzywej; krzywa staje się grubsza lub cieńsza w zależności od σ. Zmiana μ powoduje przesunięcie wykresu w lewo lub w prawo. Oznacza to, że istnieje nieskończona liczba normalnych rozkładów prawdopodobieństwa. Jednym ze szczególnie interesujących jest standardowy rozkład normalny.

Standardowy rozkład normalny jest rozkładem normalnym wartości standaryzowanych, zwanym punktacją Z. Wynik A z mierzy się w jednostkach odchylenia standardowego. Na przykład, jeśli średnia rozkładu normalnego wynosi pięć, a odchylenie standardowe wynosi dwa, wartość 11 oznacza trzy odchylenia standardowe powyżej (lub na prawo) od średniej.

Ten tekst jest adaptacją Openstax, Introductory Statistics, Section 6 Introduction.

Rozkład normalny to ciągły rozkład prawdopodobieństwa z symetrycznym wykresem w kształcie dzwonu. Jest opisany wzorem rozkładu Gaussa ze średnią i odchyleniem standardowym jako stałymi parametrami. π i e są wartościami stałymi.

Weź pod uwagę masę urodzeniową niemowląt ze średnią 3,5 kg i odchyleniem standardowym 0,4 kg. Dane można wizualizować, wykreślając gęstość prawdopodobieństwa w funkcji masy urodzeniowej.

Na podstawie wzoru na wynik z masy urodzeniowej można ustandaryzować na odpowiadające jej wyniki z.

Ponowne wykreślenie gęstości prawdopodobieństwa z wynikiem z pokazuje, że wykres jest teraz wyśrodkowany wokół zera.

Ta ustandaryzowana forma rozkładu normalnego jest znana jako standardowy rozkład normalny, w którym średnia wynosi zero, a odchylenie standardowe wynosi jeden.

Taka konwersja rozkładu normalnego na standardowy rozkład normalny upraszcza wzór na rozkład Gaussa, ułatwiając obliczanie wartości prawdopodobieństwa.

Jest to również przydatne do porównywania zbiorów danych o różnych średnich i odchyleniach standardowych.